抚顺市必修第二册第二单元《复数》检测(答案解析)

一、选择题 1．
12i
12i
+=- A ．43i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．已知复数z 满足2
||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段
C ．2个点
D ．2个圆
4．当
z =时，100501z z ++=（ ） A ．1
B ．-1
C ．i
D ．i -
5．能使得复数()3
2z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）
A ．212a i -+为纯虚数
B ．12ai +模长为3
C ．3ai +与32i +互为共轭复数
D ．0a >
6．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
7．若复数(1a i
z i i
+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
8．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z
=( ) A ．i
B ．i -
C ．2i
D ．2i -
9．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）
A B 1
C ．1
D 10．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．若复数2
(1)34i z i
+=+，则z =（ ）
A ．
45
B ．
35
C ．
25
D ．
5
12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则
01z -的取值范围是（ ）
A
．
)
2 B
．
)
1 C
．)
2-
D
．)
1-
二、填空题
13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，
下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2
2
11z z =；
④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.
14．棣莫弗公式()cos sin cos sin n
x i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫
弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6
cos sin 77i ππ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭在复平面内所对
应的点位于第______象限.
15．设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________.
16．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．
17．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，21
2
x x 是实
数，则2481632
1111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
______．
18．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____ 19．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 20．给出下列四种说法： ①-2i 是虚数，但不是纯虚数；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==； ④如果让实数a 与
ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确说法的为 __________
．
三、解答题
21．已知复数1z i =-. （1）设2
5
341
z z ω=
+-+，求ω的值； （2≥的实数a 的取值范围.
22．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.
（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.
23．已知复数z 满足：||13z i z =+-，求22
(1)(34)
2i i z
++的值．
24．计算下列各式：
（1）
32322323i i
i i
+-+-+；
（2）()
3111i
i i i
+++-；
25．已知m R ∈，复数2(1i)(5i 3)(46i)z m m =+-+-+，当m 为何值时， （1）z 为实数？ （2）z 为虚数？ （3）z 为纯虚数？
（4）z 在复平面内对应的点在第四象限？ 26．已知m ∈R ，复数z ＝()
()22211
m m m m i m +++--，当m 为何值时：
（1）z ∈R ； （2）z 是虚数； （3）z 是纯虚数.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：212(12)341255
i i i
i ++-+==∴-选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
2．D
解析：D 【分析】
先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】
由()()()()
11711768341112i i i i
z i i i i -+--++=
===+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由
222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=
2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，
()
3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，
所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.
3．A
解析：A 【详解】
因为2
||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)
因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
4．D
解析：D 【分析】
根据100501z z ++的结构特点，先由
z =，得到()2
212
-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.
【详解】
因为
z =
所以()2
21,2
-=
=-i z i
所以()
()()25
50
2
50100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，
所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.
5．A
解析：A 【分析】
分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()3
2z a ai a R =-+∈是第三象限的点.
【详解】
322z a ai a ai =-+=--
由题意可知，若复数在第三象限，
需满足20
0a a -<⎧⎨
-<⎩
，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则1
2
a =，满足条件；
B.123z ai =+==，解得：a =a =
C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；
D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】
本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.
6．B
解析：B 【分析】
先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．C
解析：C 【分析】
利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i
z i
+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】
()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22
a a a a
z +++-+=
==+-+-为纯虚数，
1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩
，即1a =，故选C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
8．A
解析：A 【解析】
因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()10
10m m m ⎧-=⎨-≠⎩
，则m =0，所以z i =-，
则
11
i z i
==-. 9．A
解析：A 【解析】 【详解】
∵(
)11z i i i i -=-+，
∴)
()
()(
)
111i i z i i +=
==
-+，则z
，故选A. 10．B
解析：B 【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()
222222,i i i z i i i i -⋅--=
==--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
11．C
解析：C 【分析】
先求出8625
i
z -=，再求出||z 得解. 【详解】
由题得()()()()2
12342863434343425
i i i i i
z i
i i i +-+=
=
==
+++-， 所以2
2
861022525255z ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
. 故选：C
12．A
解析：A 【分析】
根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.
【详解】
因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<
由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=
则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A
【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.
二、填空题
13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复
平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平
解析：①②③ 【分析】
①根据复数加法交换律判定；
②结合复平面中复数模长的几何意义判定； ③由2
2
1111z z z z ==判定； ④结合复平面中向量数量积判定； ⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】
解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，
1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，
若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③2
2
1111z z z z ==成立，故③正确；
④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立， ⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，
121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不
成立.
故答案为：①②③ 【点睛】
与复数的几何意义相关问题的一般步骤：
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.
14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题
解析：二 【分析】
先根据棣莫弗公式得6
66cos sin cos sin
7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭
，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案. 【详解】
由()cos sin cos sin n
x i x nx i nx +=+，得6
66cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝
⎭， ∵
62
7π
ππ<
<，∴6cos 07π<，6sin 07
π
>， ∴复数6
cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.
故答案为：二. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.
15．2【分析】首先将题中所给的式子进行化简求得从而得到其虚部的值【详解】根据可得所以所以复数的虚部为故答案为：2【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算复数的模复数的虚部属于简单
解析：2 【分析】
首先将题中所给的式子进行化简，求得12z i =+，从而得到其虚部的值. 【详解】
根据(12)|34|i z i -=+，可得(12)5i z -==， 所以22
55(12)
12121(2)
i z i i +=
==+-+-， 所以复数z 的虚部为2， 故答案为：2. 【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属于简单题目.
16．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算
解析：0 【分析】
直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】
1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根， 1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，
则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，
2(1)(1)12q i i i =-+=-=，
0p q ∴+=.
故答案为：0 【点睛】
本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.
17．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性
解析：-2 【分析】
设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，22
12x x s t =+．利用
212
x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，22
12x x s t =+．2
1122
10x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取1
2
x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】
设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．
则122x x s +=，22
12x x s t =+．
∵()2
23223
1
22222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t
+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=， ∴223s t =．
∴122x x s +=，22
12x x s t =+．
∴()2
222
1212121242s x x x x x x x x =+=++=，
∴
12
21
10x x x x ++=， 取
1
2
x x ω=， 则210ωω++=， ∴31ω=． 则
2
4
8
16
32
248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
220ωωωω=++++
2=-．
故答案为：2-． 【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.
18．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识
解析：7
【分析】
利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.
【详解】
()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.
【点睛】
本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.
19．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即
【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为
解析：2i +
【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .
【详解】
因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i
+=
=-+,即2.z i =+ 【点睛】
本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部
为b (,)a b 、共轭为.-a bi 20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共
解析：③.
【解析】
分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.
详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；
②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；
③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；
④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题
21．（1）5i ；（2）1(2,][1,)6
-+∞.
【分析】 （1）将复数1z i =-代入25341
z z ω=
+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误； （2）将复数1z i =-
3≥，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.
【详解】
（1）
1z i =-.
()()255314311211i i i i ω∴=++-=+---+ ()()()
512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=； （2
|1|
3
a a i +-≥
≥， 即()2231220
a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，
整理得26710a a -+≥且2a >-，
解得126a -<≤或1a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦
.
【点睛】
本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.
22．（1）23a =
，(0,1)-；（2）2(,)3
+∞. 【分析】
（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.
【详解】
解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23
a =
， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23
a =
，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限， 则23010
a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3
+∞.
【点睛】
本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题. 23．34i +
【分析】
先根据复数相等解得z ，再根据复数运算法则求解
【详解】
设,(,)z a bi a b R =+∈，而||13z i z =+-
130i a bi -++=
则410{,43330
a a z i
b b =--=⇒=-+=-= 所以2222
(1)(34)2(34)2(34)3422(43)2(34)
i i i i i i i z i i i ++++===+-++ 【点睛】
本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
24．（1）0；（2）8i -
【分析】
利用复数的乘除运算法则求解.
【详解】
计算下列各式：
（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i
--++-+=+=-=-+-+；
（2）()())33381
11i i i
i i i i i i +++=-++-=-=-.
【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
25．（1）6m =或1m =-（2）6m ≠且1m ≠-（3）4m =（4）46m <<
【分析】
由题意得解得22
(34)(56)z m m m m i =--+--，
（1）由2560m m --=，求出m 即可；
（2）2560m m --≠，即可得出m ； （3）由22340560
m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得m 范围； （4）根据象限特征，由22340560
m m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得m 范围. 【详解】
解：()()()21i 5i 346i z m m =+-+-+=()()223456i m m m m --+--，
（1）由2560m m --=得6m =或1m =-，
即当6m =或1m =-时，z 为实数；
（2）由2560m m --≠得6m ≠且1m ≠-，
即当6m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；
（3）由22340{560m m m m --=--≠，，
得4m =， 即当4m =时，z 为纯虚数；
（4）由22340{560m m m m -->--<，，
解得46m <<， 即当46m <<时，z 在复平面内对应的点在第四象限.
【点睛】
本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．
26．（1）1m =-+1m =-2）1m ≠-+1m ≠-1m ≠；（3）0m =或2m =-.
【分析】
（1）解221m m +-=0，1m ≠，即可得解；
（2）虚部不为0，则该复数为虚数，则2210m m +-≠，1m ≠即可得解；
（3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠即可得解.
【详解】
（1）z ∈R ，所以221m m +-=0，1m ≠，
2
12
m -±==-
所以，当1m =-+1m =--z ∈R ；
（2）z 是虚数，则2210m m +-≠，1m ≠，
当1m ≠-+1m ≠--1m ≠时，z 是虚数；
（3）z 是纯虚数，()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠，
所以0m =或2m =-时，z 是纯虚数.
【点睛】
此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的取值，需要熟练掌握复数的概念，准确求解.。