人教版八年级数学上册完全平方公式教学课件2

1.若x+y=3,xy=1,则
【解析】 答案：7
(x y)2 2xy 32 2 7.
2.化简（x+1)2+2(1-x)-x2.
【解析】原式=x2+2x+1+2-2x-x2=3.
3.计算：(1)(x+2y)2.
(2)(a+b+c) 2.
【解析】(1) 原式=(x+2y)(x+2y) = x2+2×x× 2y+(2y)2 = x2+4y2+4xy.
14.2乘法公式
14.2.2完全平方公式
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.（重点）
2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另
一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
针对训练 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
都是形如(a±b)2的多项式相乘. 思考 观察上面的结果，你发现了什么规律？
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两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)2 =a2+ab+ab+b2 =a2+b2+2ab
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相乘的两个多项式有什么共同点？ （1）（p+1）2 =_p_2_+_1_+__2_p_；（m+2）2 =_4_m__2+__4_+_4_m__； （2）（p-1）2 =__p_2_+_1_-_2_p_；（m-2）2 =_4_m__2_+_4_-_4_m__.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
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验证
先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个长方形组成， 所以大正方形 的面积等于这四个图形的面积 之和．阴影部分的正方形边长 是a，所以它的面积是a2； 另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形 的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式．
思考
（1）（a+b）2 与 （-a-b）2 相等吗？ （2）（a-b）2 与 （b-a）2 相等吗？ （3）（a-b）2 与 a2 -b2 相等吗？为什么？
（1）（2）相等.因为互为相反数的数或式子 平方相等.（3）不相等.因为前者是完全平方， 后者是平方差.
1. 完全平方公式的内容是什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
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例题
例1 运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2) (y - 1 2
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如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；长方形 DCGE与长方形BCHF是全等图 形，长都是a，宽都是b，所以 它们的面积都是a•b；正方形 HCGM的边长是b，其面积就是 b2； 正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(ab)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积 再加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a22ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
(a-b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2+b2-2ab
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一般地, 我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2. 即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
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公式的特点：
1.积为二次三项式；
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2.其中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
)2 = y2 - 2•y• 1
2
1
+ ( 2 )2
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1
= y2-y +
4
针对训练
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (3)(－3a＋b)2.
(2)(－3m－4n)2；
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2 2. 请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是 三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平 方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
3. 我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它 可以是数字、字母或其他式子，只要符合公式 的结构特征，就可以运用这一公式
(2)(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
例题
例2 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2 × 100 × 2 + 22
= 10 000 +400 +4 = 10 404 .
(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2×100 × 1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.
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推进新课
知识点1 探究完全平方公式
探究 计算下列多项式的积. （1）（p+1）2 =_p_2_+_1_+__2_p_；（m+2）2 =_4_m__2+__4_+_4_m__；
（2）（p-1）2 =__p_2_+_1_-_2_p_；（m-2）2 =_4_m__2_+_4_-_4_m__.