第14讲 数阵问题(数列群问题)-新高考数学之数列综合讲义

第14讲数阵问题（数列群问题）
一．选择题（共7小题）
1．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，⋯，依次循环的规律分为（1），(3,5)，(7，9，11)，(13)，(15,17)，(19，21，23)，(25)，⋯，则第50个括号内各数之和为()
A．98B．197C．390D．392
【解析】解：由题意可得，将三个括号作为一组，
则由501632
=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，
即50个括号中应有两个数，
因为每组中有6个数，
所以第48个括号的最后一个数为数列{21}
n-的第16696
⨯=项，
第50个括号的第一个数为数列{21}
n-的第166298
⨯+=项，
即2981195
⨯-=，
⨯-=，第二个数是2991197
所以第50个括号内各数之和为195197392
+=，
故选：D．
2．把数列{21}
n+依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，⋯，循环分为：（3），(5,7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25,27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，⋯，则第60个括号内各数之和为()
A．1112B．1168C．1176D．1192
【解析】解：括号里的数有规律：即每四个一组，里面的数都是123410
+++=，
所以到第60个括号时共有数(1234)15150
+++⨯=个数，
第150个数是21501301
+-+-+-=，⨯+=．所以第60个括号里的数之和为301(3012)(3014)(3016)1192
故选：D．
3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N：第2017行的第N项为2的正整数幂．已知10
=，那么该款软件的激活码是()
21024
A ．1040
B ．1045
C ．1060
D ．1065
【解析】解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n 行的公差为12n -，
记第n 行的第m 个数为(,)f n m ，则(f n ，1)(1f n =-，1)(1f n +-，2)2(1f n =-，21)2n -+，
∴
1(,1)(1,1)1
224
n n f n f n --=+， 算得(f n ，21)(1)2n n -=+
(f n ⇒，)(m f n =，11)(1)2n m -+-
22(21)()n m n n N -+=+-∈，
第2017行的第N 项为2的正整数幂，
201722(220171)2k N -∴+-=， 即20162(1008)2k N +=， N 最小四位整数．
当1040N =，满足题意， 故选：A ．
4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式02，12，
22，依此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件
的激活码是( ) A ．110
B ．220
C ．330
D ．440
【解析】由题意可知：02第一项
，012,2第二项
，0122,2,2第三项
，01212,2,2,2n n -⋯⋯第项
，
根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，⋯，21n -，
每项含有的项数为：1，2，3，⋯，n ， 总共的项数为(1)
1232
n n N n +=+++⋯+=
， 所有项数的和为1
2
3
1
2
3
12(21)
:21212121(2222)2221
n n
n
n n S n n n +--+-+-+⋯+-=+++⋯+-=-=---，
由题意可知：12n +为2的整数幂．只需将2n --消去即可， 则①12(2)0n ++--=，解得：1n =，总共有
(11)1
232+⨯+=，不满足100N >， ②124(2)0n +++--=，解得：5n =，总共有
(15)5
3182
+⨯+=，不满足100N >， ③1248(2)0n ++++--=，解得：13n =，总共有
(113)13
4952
+⨯+=，不满足100N >， ④124816(2)0n +++++--=，解得：29n =，总共有(129)29
54402
+⨯+=，满足100N >， ∴该款软件的激活码440．
故选：D ．
5．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为( )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
【解析】解：第i 行第j 列的数记为ij A ，那么每一组i 与j 的组合就是表中的一个数， 因为第一行数组成的数列1(1,2)j A j =⋯是以2为首相，公差为1的等差数列， 所以12(1)11j A j j =+-⨯=+，
所以第j 列数组成的数列(1ij A i =，2，)⋯是以1j +为首项，公差为j 的等差数列， 所以(1)(1)1ij A j i j ij =++-⨯=+， 令1145ij A ij =+=， 则4214423ij ==⨯，
所以145出现的次数为(41)(21)15++=． 故选：C ．
6．设()f n *)n N ∈的整数，如f （1）1=，f （2）1=，f （3）2=，f （4）2=，f （5）
2=，⋯，若正整数m 满足
11114034(1)(2)(3)()
f f f f m +++⋯+=，则(m = ) A ．20162017⨯ B ．22017 C ．20172018⨯ D ．20182019⨯
【解析】解：第一组：1
1(1)
f =，
11(2)f =，共2个，之和为2； 第二组：11(3)2f =，11(4)2f =，11(5)2f =，11
(6)2
f =，共4个，之和为2； 第三组：11(7)3f =，11(8)3f =，11(9)3f =，11(10)3f =，11(11)3f =，11
(12)3f =，6Fong 个，之和为2； 第四组：
11(13)4f =，11(14)4f =，11
(20)4
f ⋯=，共8个，之和为2； ⋯
第n 组：共2n 个，之和为2； ∴
1111403422017(1)(2)(3)()
f f f f m +++⋯+==⨯， 故一共有2017组， 则20172016
201722201720182
m ⨯=⨯+⨯=⨯， 故选：C ．
7．如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．若2013是第m 行从左至右算的第n 个数字，则(,)m n 为( )
A ．(63,60)
B ．(63,4)
C ．(64,61)
D ．(64,4)
【解析】解：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大，可得第63行的数字从左向右依次减小， 可求出第63行最左边的一个数是
63(631)
20162
⨯+=，
从左至右的第4个数应是201632013-=． 故2013在第63行，第4列， 故选：B
．
二．填空题（共8小题）
8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合
{}110110011|2222,,1,,,,01k k k k k k k A x x a a a a k N a a a a --+-==⨯+⨯+⋯+⨯+⨯∈=⋯=或．例如：1{2A =，3}，
2{4A =，5，6，7}，若将集合4A 的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 376 ；
定义()()0120120,,,,,11,,,,,1k k k x a a a a f x x A x a a a a ⋯⎧=∈⎨⋯⎩
的表达式中等于的个数为偶数
的表达式中等于的个数为奇数现指定5k =，将集合{|()1x f x =，
}k x A ∈的元素从小到大排列组成数列{}n c ，
若将{}n c 的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为 ． 【解析】解：集合43210443210{|22222}A n n a a a a a ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 当41a =，01230a a a a ====时，16n =， 当012341a a a a a =====时，31n =，
所以4{16A =，17，18，⋯，31}共有16个元素，故激活码为
16(1631)
3762
⨯+=；
结合二进制表示，当5k =时，{}n c 的各项可以看成首位为1的六位二进制数， 对于41a =，符合条件()1f x =的有8个数，
同理，对于31a =，21a =，11a =，01a =时，符合条件的也分别有8个数， 故激活码为5432101628(22222)760⨯+⨯++++=， 故答案为376；760．
9．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行：数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第5个数字为 195 ．
【解析】解：由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，
故前1
n-行共有：
(1)
12(1)
2
n n
n
-
++⋯+-=个整数，
故第n行的第一个数为：
(1)
1
2
n n-
+，
第20行的数字从左向右依次增大，可求出第20行最左边的一个数是191，
第20行从左至右的第5个数字应是195．
故答案为：195．
10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第35项是136．
【解析】解：奇数项是后一个数，
每行2个数，则第35项在18行第3个数，
从第3行开始斜行1，3，6，10，⋯，
即为12
2
⨯
，
23
2
⨯
，
34
2
⨯
，⋯，
(1)(2)
2
n n
--
，
则18行第3个数为(181)(171)
136
2
-⨯-
=，
故答案为：136．
11．杨辉三角（如图）是二项式系数在三角形中的一种几何排列．它是我国古代数学的杰出研究成果之一，将二项式系数图形化，是一种离散型的数形结合．杨辉三角蕴含了许多有趣的规律，比如：除1以外，所有正整数在如图中都出现有限次，如2出现1次，3和4都出现2次，试判断数字120在图形中共出现 2 次．
【解析】解：根据杨辉三角的排列规律： 1 1
1 2 1
⋯，
1 21 35 35 21 1 1 2
2 56 70 56 22 1 1 2
3 78 126 126 78 23 1 1 2
4 101 204 252 204 101 24 1
根据杨辉三角，120只出现的位置为两边的数，中间不可能出现， 由于对称性的存在， 所以120出现的次数为2． 故答案为：2．
12．“杨辉三角形”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623~1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年．
“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来．下面数表类似“杨辉三角”，从上到下分别为第1行、第2行、第3行、⋯第n 行、⋯．它满足：①第n 行首尾的数均为n ；②第(3)n n 行除首尾的数外，每一个数都等于它肩上（即第1n -行）两个数之和．记第(2)n n 行的第
二个数为()f n ，则(60)f = 1771 ．
【解析】解：根据题意：f（3）f
-（2）2
=，f（4）f-（3）3
=，
f（5）f-（4）4
=，
⋯，
()(1)1
f n f n n
--=-，
以上2
n-个式子左右分别相加，
得
2
(2)(12)2 ()(2)234(1)
22
n n n n
f n f n
--+---=+++⋅⋅⋅+-==，
所以
22 ()
2
n n
f n
--
=，
于是(60)1771
f=．
故答案为：1771．
13．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(16231662)
-是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列前135项和为18253
-．
【解析】解：杨辉三角形中各行的数字和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为
12
21
12
n
n
n
S
-
==-
-
，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，⋯⋯，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则(1)
2
n n n T +=
， 可得当15n =，即杨辉三角形中的第17行，
再加上第18行的前15项时，所有项的个数和为135，
由于最右侧为2，3，4，5，⋯⋯，为个首项是2、公差为1的等差数列， 则第18行的第17项为17，
则杨辉三角形的前18项的和为181821S =-， 则此数列前135项的和为181********S --=-， 故答案为：18253-．
14．分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角
也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列 203490（或8
21
)C ；并判断其奇偶性 ．（选填“奇”或“偶” )
【解析】解：观察所给数据可得，第22行第9个数是(a +b 21)的第9项二项式系数，
由二项式定理可知，(a +b 21)的第9项二项式系数为：8
212120191817161514
20349087654321
C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．
这个数是偶数．
故答案为：203490（或8
21
)C ；偶． 15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的
一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，52S =，
⋯⋯，则33S = 2
【解析】解：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1 的是第1行，有1个1；第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1；第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第12n -行，有12n -个1，故6n =时，第6152232-==行有32个1，即3232S =，则下一行是2个1，即332S =， 故答案为：2．。