高三数学(理)二轮复习：专题六解三角形与平面向量

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
专题六 解三角形与平面向量
(见学生用书P 36)
(见学生用书P 36)
1．三角形的有关公式：
(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝sin_C ，sin A ＋B 2＝cos_C
2；
(2)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ；
(3)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a
22bc ；
(4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝1
2r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内
切圆半径)．
2．平面向量的数量积
a ·
b ＝|a ||b |cos_θ．(θ为两个非零向量a ，b 的夹角) 特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．
3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ．
4．平面向量坐标运算
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，b ≠0，则： (1)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；
(2)|a |＝x 21＋y 21，a 2＝|a |2＝x 21＋y 2
1； (3)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－y 1x 2＝0；
(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b
|a |·|b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
．
5．△ABC 中向量常用结论 (1)P A →＋PB
→＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心；
(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； (4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．
(见学生用书P 37)
考点一 解三角形 考点精析
正、余弦定理、推论及其应用 正弦定理 余弦定理
形式 a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C
拓展 或推论
S ＝12ab sin C ＝1
2bc sin A
cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ，
＝1
2ac sin B
cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ， cos C ＝b 2＋a 2－c 2
2ba
解决的 问题类型 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角 (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角 (1)已知三边，求三个角
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个
角
例 1－1(2014·师大附中模拟)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的
边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π
4，则△ABC 的面积为( )
A ．1＋3
3 B.3＋1
C ．1－3
3 D.3－1 考点：正弦定理，三角形面积求法．
分析：利用正弦定理列出关系式，将b ，sin B ，sin C 的值代入求出c 的值，且根据B 与C 的度数求出A 的度数，由b ，c ，sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC 的面积．
解析：在△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，C ＝π
4，
由正弦定理b sin B ＝c sin C 得：c ＝b sin C sin B ＝2×22
32
＝26
3.
∵A ＝π－B －C ＝5π
12，
∴sin A ＝sin 5π
12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
＋π4
＝12×22＋32×2
2＝6＋24，
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×263×6＋24＝1＋3
3. 答案：A
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
例 1－2(2014·湖南模拟)△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ， 角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理的应用．
分析：根据条件求出B＝π
3，然后根据正弦定理即可得到结论．
解析：∵A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B，即3B＝π，∴B＝π3.
∵3b＝23a sin B，
∴根据正弦定理得3sin B＝23sin A sin B，在△ABC中，sin B≠0，
∴3＝23sin A，即sin A＝
3
2，∴A＝
π
3或
2π
3.
当A＝2π
3时，A＋B＝π不满足条件．
∴A＝π
3，此时C＝
π
3.
故A＝B＝C，即△ABC的形状为等边三角形．
答案：C
点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据等差数列的性质求出角B是解决本题的关键．
例1－3(2014·上海模拟)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC()
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．
分析：先根据正弦定理及题设，推断a∶b∶c＝5∶11∶13，再通过余弦定理求得cos C的值小于零，推断C为钝角．
解析：根据正弦定理，a
sin A＝b
sin B＝
c
sin C，
又sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13.
设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)，
∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，
∴cos C＝a2＋b2－c2
2ab＝
25t2＋121t2－169t2
2×5t×11t
＝－
23
110<0，
∴角C 为钝角． 答案：C
点评：本题的关键是应用余弦定理来判断角的类型，注意与正弦定理的巧妙结合．
规律总结 正弦定理，余弦定理是解三角形的基础，是与其他知识的交汇点，因而一直是高考命题的热点问题．考查时，既有小题，也有大题，以选择、填空题形式考查正弦定理、余弦定理的常见类型有：一是解三角形及其应用(如例1－1)；二是判断三角形的形状(如例1－2)；三是正弦定理、余弦定理与其他知识的综合运用(如例1－3)．
变式训练
【1－1】 (2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为
a ，
b ，
c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝3
2，且b <c ，则b ＝( )
A ．3
B ．2 2
C ．2 D. 3
解析：根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ， ∴b 2＝a 2－c 2＋2bc ·cos A ，
即b 2＝4－12＋6b ，解得b ＝2或b ＝4. ∵b <c ，∴b ＝2. 答案：C
【1－2】 (2015·黄冈模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定 解析：由正弦定理及已知条件可知
sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，
所以sin 2A ＝sin A ，又0<A <π，∴sin A >0，
∴sin A ＝1，即A ＝π
2，故选A. 答案：A
【1－3】 (2015·东城模拟)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △
ABC ＝33，则BC ＝( )
A ．5 B.13或37 C.37 D.13
解析：由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝1
2×3×4×sin ∠BAC ＝
33，得sin ∠BAC ＝3
2.
因为△ABC 为锐角三角形，
所以∠BAC ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3.
在△ABC 中，由余弦定理得， BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC
＝42＋32
－2×4×3×cos π3＝13. 所以BC ＝13，故选D. 答案：D
例 1－4(2014·广州模拟)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝ sin 2C .
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．
考点：余弦定理；等差数列的性质；平面向量数量积的运算；正弦定理．
分析：(1)根据n 和m 表示出m ·n ，求得m ·n ＝sin C ，进而根据已知可推断出sin C ＝sin 2C ，再用二倍角公式求得cos C 的值，进而求得C .
(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可推断出2sin C ＝sin A ＋
sin B ，利用正弦定理把角转化为边的问题，进而根据CA →·(AB →－AC →)求得ab cos C ＝18，最后由余弦定理求得C .
解析：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C . 又∵m ·n ＝sin 2C ，
∴sin 2C ＝sin C ，即2sin C cos C ＝sin C ，
又sin C ≠0，所以cos C ＝1
2，
而0<C <π，因此C ＝π
3.
(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA
→·(AB →－AC →)＝18， ∴CA
→·CB →＝18，即ab cos C ＝18， 由(1)知cos C ＝1
2，所以ab ＝36.
由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，整理得c 2＝36， ∴c ＝6.
点评：本题主要考查了正、余弦定理和平面向量积的运算．考查了学生综合分析问题和运算的能力，关键是对公式的熟练掌握，难度中等．
规律总结
以解答题形式考查正弦定理、余弦定理及其综合应用一直是高考命题的热点问题．这类问题往往涉及到三角形的面积问题，因此我们必须熟练掌握三角形的面积公式．并且这类问题考查的重点是三角形中的三角变换问题．
变式训练
【1－4】 (2015·兰州诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分
别为a ，b ，c ，已知a 3cos A
＝c
sin C .
(1)求A 的大小；
(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．
解析：(1)∵a 3cos A
＝c sin C ＝a
sin A ，
∴3cos A ＝sin A ，∴tan A ＝3，
∵0<A <π，∴A ＝π
3.
(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝6sin π3
＝43，
∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ， ∴b ＋c ＝43sin B ＋43sin C ＝43[sin B ＋sin(π－A －B )]
＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤
sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B
＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6.
∵π6<B ＋π6<5π
6，
∴6<12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
B ＋π6≤12，
即b ＋c ∈(6，12]． 【1－5】 (2014·黄冈模拟)△ABC 的外接圆的直径为1，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .
(1)求sin A ＋sin B 的取值范围；
(2)若abx ＝a ＋b ，试确定实数x 的取值范围． 解析：(1)∵m ⊥n ， ∴m ·n ＝0，∴a cos A －b cos B ＝0.
由正弦定理知，a sin A ＝b
sin B ＝1， ∴a ＝sin A ，b ＝sin B .
∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . ∵A ，B ∈(0，π)，
∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.
∴A ＝B ，或A ＋B ＝π
2.
又a ≠b ，所以A ≠B ，故A ＋B ＝π
2.
∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
A ＋π4，
∵π4<A ＋π4<3π4，∴2
2<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1.
∴sin A ＋sin B 的取值范围为(1，2]． (2)∵abx ＝a ＋b ，
∴sin A ·sin B ·x ＝sin A ＋sin B ，
∴x ＝sin A ＋cos A sin A cos A .
令sin A ＋cos A ＝t ∈(1，2]，sin A cos A ＝t 2－1
2，
∴x＝
2t
t2－1
＝
2
t－
1
t
.
∵t－1
t在(1，2]上单调递增，
∴0<t－1
t≤2－
1
2
＝
2
2，
∴x≥22，故x的取值范围为[22，＋∞)．
例1－5(2014·上海模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
考点：解三角形的实际应用．
分析：(1)由题意推出∠BAC＝120°，利用余弦定理求出BC＝28，然后推出渔船甲的速度．
(2)(方法1)在△ABC中，直接利用正弦定理求出sin α.
(方法2)在△ABC中，利用余弦定理求出cos α，然后转化为sin α.
解析：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为
BC
2＝14海里/时．
答：渔船甲的速度为14海里/时．
(2)(方法1)在△ABC中，
因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得AB sin α＝BC
sin 120°
，
即sin α＝AB sin 120°BC
＝12×32
28＝33
14. 答：sin α的值为33
14. (方法2)在△ABC 中，
因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，
由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 2
2AC ×BC
，
即cos α＝202＋282－1222×20×28
＝13
14.
因为α为锐角，
所以sin α＝1－cos 2
α＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13142＝3314.
答：sin α的值为33
14.
点评：本题考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．
规律总结
解三角形的实际应用问题在新的《课程标准》中有所加强．因此这类问题也会出现在高考试卷中，所以我们必须熟练掌握基本的解题方法．
变式训练
【1－6】 (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测
量，cos A ＝1213，cos C ＝3
5.
(1)求索道AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解析：(1)在△ABC 中，
因为cos A ＝1213，cos C ＝3
5，
所以sin A ＝513，sin C ＝4
5.
从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.
由正弦定理AB sin C ＝AC
sin B ，
得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365
×4
5＝1 040(m)．
所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，
所以由余弦定理得
d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2
－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，
因0≤t ≤1 040
130，即0≤t ≤8，
故当t ＝35
37(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理BC sin A ＝AC
sin B ，
得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365
×5
13＝500(m)．
乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .
设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －710
50≤3，解得1 25043≤v ≤625
14，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3
min ，乙步行的速度应控制在1 25043，625
14(单位：m/min)范围内．
考点二 平面向量 考点精析
1．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成0，而不应写成0；在△ABC 中，AB ＋BC ＋CA ＝0(如图)．
2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．
3．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．也就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．
4．由于数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来，在代数中使用的运算或规则不一定成立．以下三点要特别注意．
第一点，当a ≠0时，a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0，所以在代数中我们常用的“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”在向量的数量积中不适用．
第二点，由a·b ＝b·c 不能推出a ＝c ，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式；而a ＝c 是一个向量等式，所以二者不等价．另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约实质是相除，这是不允许的．这就是说，在代数中常见的“若2x ＝6则x ＝3”的变形在数量积中不适用．
第三点，结合律对数量积不成立，即(a·b )c ≠a (b·c )．这是因为(a·b )c 表示一个与向量c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与向量a 共线的向量，但向量a 和向量c 不一定共线(即使共线，其积也不一定相等)，所以(a·b )c ≠a (b·c )．
5．由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示而有两种方式，因此向量问题的解决理论上讲有两个途径，
即基于几何表示的几何法和基本坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
例 2－1(2014·浙江模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (3，1)，B (33，1)，顶点C 在第一象限，若点M (x ，y )在△ABC 的内部或边界，
则z ＝OA
→·OM →取最大值时，3x 2＋y 2有( )
A ．定值52
B ．定值82
C ．最小值52
D ．最小值50 考点：平面向量的综合题．
分析：利用向量的相关运算及线性规划，求出z ＝OA
→·OM →取最大值时，x ，y 满足的关系式，再利用二次函数的相关知识求出最值即可．
解析：由题意得C (23，4)，OA
→＝(3，1)，OM →＝(x ，y )， ∴OA
→·OM →＝3x ＋y ， 由线性规划知当M 在线段BC 上时，
z ＝OA
→·OM →取最大值， 故点M (x ，y )的坐标满足3x ＋y ＝10(23≤x ≤33)． ∴y ＝10－3x (23≤x ≤33)． ∴s ＝3x 2＋y 2
＝3x 2＋(10－3x )2 ＝6x 2－203x ＋100，
∵对称轴x ＝53
3，
∴s ＝f (x )在[23，33]上单调递增， ∴当x ＝23时s 有最小值52. 答案：C
点评：本题主要考查了向量的相关运算及二次函数的最值求解问题．
例 2－2(2014·江苏卷)如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知
AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．
考点：平面向量的加、减法，数乘及数量积等运算的法则与应用． 分析：向量的运算一般有两种方法，即基底法和坐标法，本题可
以以AB
→，AD →作基底，用基底法求解，也可 以以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，用坐标法求解．
解析：(方法1)由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP
→＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，
∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2， 即2＝25－12AD →·AB →－3
16×64，
解得AD
→·AB →＝22.
(方法2)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，易得B (8，0)，
设D (x ，y )，则x 2＋y 2
＝5，DP ＝14DC ＝2，
那么P (x ＋2，y )，AP
→＝(x ＋2，y )，BP →＝(x －6，y )． 由AP →·BP →＝2得：(x ＋2)·(x －6)＋y 2＝2，
即x 2＋y 2－4x －12＝2.
将x 2＋y 2＝5代入得x ＝11
4.
所以AB
→·AD →＝8x ＋0×y ＝8x ＝22. 答案：22
点评：解决平面向量数量积问题，一是可以从平面向量基本定理出发，找准“基底”，围绕“基底”运算，二是建立坐标系，将运算坐标化．体会向量是联系代数与几何的“桥梁”．
例 2－3(2014·青州模拟)如图在等腰直角△ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB
→＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )
A.1
2 B ．1 C ．2 D ．3
考点：向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用． 分析：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，由条件求出M 和N 坐标，则由截距式直线方程求出MN 的直线方程，根据点O 在直线上，求出m 和n 的关系式，利用基本不等式求出mn 的最大值，注意等号成立时条件是否成立．
解析：以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则O 点坐标为(1，1)，B (0，2)、C (2，0)．
∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n
， ∴M ⎝
⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0. ∴直线MN 的方程为nx 2＋my
2＝1. ∵直线MN 过点O (1，1)， ∴m 2＋n
2＝1， 即m ＋n ＝2.
∵m ＋n ≥2mn (m >0，n >0)，
∴mn ≤（m ＋n ）2
4
＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号， ∴mn 的最大值为1. 答案：B
点评：本题考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值．注意验证的三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．
规律总结
综观2015年的高考试题，不难发现：高考对平面向量的考查，主要以选择、填空题为主(至于解答题中，也会涉及到平面向量的有关知
识，但考查的重心却是其他知识，此时平面向量只是作为叙述有关条件的工具而已)．而且在选择、填空题考查平面向量有关知识题目与前几年相比较又有所变化：现在的高考题，要么非常常规，只要我们熟练掌握平面向量的基本知识和基本方法即可顺利过关；要么是新型问题．这正是需要我们在二轮复习中重点突破的地方．
变式训练
【2－1】 (2014·广州模拟)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种
向量积a ·b ＝(a 1，a 2)·(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0，
点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，
且满足OQ →＝m ·OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为________．
解析：设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)，
则由OQ →＝m ·OP
→＋n 得 (x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′，12sin x ′＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
3，0，
∴⎩⎨⎧x ＝2x ′＋π3，
y ＝12sin x ′，
消去x ′得y ＝f (x )的解析式为
y ＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2－π6，x ∈R ，
易得y ＝f (x )的最大值为1
2.
答案：12
【2－2】 (2014·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC
＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO
→|的最小值为
________．
解析：如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，
因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°. ∵CO
→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1， ∴O 在AB 上，
∴当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12. 答案：12
(见学生用书P 43)
例在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2
2，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．
考场错解：∵sin A ＋cos A ＝2
2，
∴两边平方得2sin A cos A ＝－1
2. 又0°<2A <360°，
∴2A ＝210°或2A ＝330°， 即A ＝105°或A ＝165°. 当A ＝105°时，
tan A ＝tan(45°＋60°)＝1＋3
1－3，
sin A ＝sin(45°＋60°)＝2＋6
4，
△ABC 的面积为1
2AC ·AB ·sin A ＝3（2＋6）4； 当A ＝165°时，
tan A ＝tan(45°＋120°)＝－2＋3，
sin A ＝sin(45°＋120°)＝6－2
4，
△ABC 的面积为12AC ·AB ·sin A ＝3
4(6－2)．
专家把脉：没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，
若A ＝165°，则sin A ＝6－24，cos A ＝－6＋2
4，
此时sin A ＋cos A ＝－2
2，
显然与sin A ＋cos A ＝2
2的已知条件矛盾．
对症下药：(方法1)∵sin A ＋cos A ＝2
2，
∴2cos(A －45°)＝22，即cos(A －45°)＝1
2，
又0°<A <180°， ∴A －45°＝60°， 即A ＝105°.
∴tan A ＝tan(45°＋60°)＝－2－3，
sin A ＝sin(45°＋60°)＝2＋6
4，
S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝3
4(6＋2)．
(方法2)∵sin A ＋cos A ＝2
2，
∴2sin A ·cos A ＝－1
2<0. 又0°<A <180°， ∴sin A >0， cos A <0.
∵(sin A －cos A )2
＝1－2sin A cos A ＝32，
∴sin A －cos A ＝6
2.
解得sin A ＝2＋6
4，
cos A ＝2－6
4，
∴tan A ＝sin A
cos A ＝－2－3，
S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝3
4(6＋2)．
专家会诊：解三角形的题目，一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解．要注意角的范围与三角函数值符号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得一些基本关系式sin(B ＋C )＝sin A ，
cos(B ＋C )＝－cos A ，sin B ＋C 2＝cos A
2等，进行三角变换的运用．判断三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，要充分利用正弦定理，余弦定理进行边角转换.
(见学生用书P 159)
一、选择题 1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴2a ＋b ＝(1，0), ∴(2a ＋b )·a ＝1×1＋0×(－1)＝1. 答案：C 2．(2014·武汉模拟)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 解析：∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ， 由正弦定理可得，a 2＋b 2<c 2，
由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab <0， ∴π
2<C <π，∴△ABC 是钝角三角形． 答案：C
3．(2014·长沙市一中模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( )
A. 3
B.7 C ．2 2 D.23
解析：根据题意画出相应的图形，如图所示：
∵AB
→·BC →＝1，设∠B ＝θ，AB ＝2. ∴2·BC ·cos(π－θ)＝1，即cos θ＝－12BC . 又根据余弦定理得：cos θ＝22＋BC 2－324BC
＝BC 2－5
4BC ，
∴－1
2BC ＝BC 2－54BC ，即BC 2＝3， 则BC ＝ 3. 答案：A
4．(2014·福建模拟)锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则a
b 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(1，3)
C ．(2，2)
D ．(2，3)
解析：∵△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，
∴⎩
⎨⎧0<2B <π2，
0<π－3B <π
2，
∴π6<B <π
4，
∴sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ， a b ＝sin A
sin B ＝2cos B ∈(2，3)． 答案：D 5．(2014·雅礼模拟)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为(
)
A.3
3 B.
36 C.6
3 D.66
解析：设AB ＝x ，由题意可得AD ＝x ，BD ＝23x ，BC ＝4
3
x .
△ABD 中，由余弦定理可得
cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 2
2AB ·AD ＝2x 2－4x 232x 2＝1
3，
∴sin A ＝22
3.
△ABD 中，由正弦定理可得AB sin ∠ADB
＝BD
sin A ⇒
sin ∠ADB＝AB
BD sin ∠A＝
x
2
x
3
×
22
3＝
6
3，
∴sin ∠BDC＝
6
3.
在△BDC中，由正弦定理可得
BD
sin C＝
BC
sin∠BDC
，
∴sin C＝
BD·sin∠BDC
BC＝
23
3x·
6
3
43x
3
＝
6
6.
答案：D
6．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()
A．240(3－1) m B．180(2－1) m
C．120(3－1) m D．30(3＋1) m
解析：如图，
由图可知，∠DAB＝15°，
∵tan 15°＝tan(45°－30°)＝
tan 45°－tan 30°
1＋tan 45°tan 30°
＝
1－
3
3
1＋1×
3
3
＝2－ 3.
在Rt△ADB中，又AD＝60，
∴DB＝AD·tan 15°＝60×(2－3)＝120－60 3.
在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，AD＝60，
∴DC＝AD·tan 60°＝60 3.
∴BC ＝DC －DB ＝603－(120－603)＝120(3－1)． ∴河流的宽度BC 等于120(3－1)m. 答案：C
7．(2014·浙江卷)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨
⎪⎧y ，x ≥y ，
x ，x <y ，
设a ，b 为平面向量，则( )
A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}
B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}
C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2
D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2
解析：由于|a ＋b|，|a －b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b|>|a －b|，此时|a ＋b|2>|a|2＋|b|2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b|<|a －b|，此时|a －b|2>|a|2＋|b|2；当a ⊥b 时，|a ＋b|2＝|a －b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.
答案：D 8．(2015·荆州质检)如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图
象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝( )
A.π3
B.π
4 C.π6 D.π12
解析：由题意可知|BC →|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC ＝|AB
→|2，∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，T ＝12，ω＝2πT ＝π
6，故选C.
答案：C 二、填空题 9．(2014·黄山一模)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为
a 、
b 、
c ，且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan A
tan B 的值为______．
解析：由a cos B －b cos A ＝3
5c 及正弦定理可得
sin A cos B －sin B cos A ＝3
5sin C ，
即sin A cos B －sin B cos A ＝3
5sin(A ＋B )，
即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )， 即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，
所以tan A tan B ＝4. 答案：4 10．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4，则a 的值为________．
解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝15
4，
又S △ABC ＝12bc sin A ＝15
8bc ＝315，
∴ bc ＝24，解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧b －c ＝2，
bc ＝24得b ＝6，c ＝4.
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14＝
64，所以a ＝8.
答案：8
11．(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶
600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度CD ＝________m.
解析：在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，AB ＝600 m ，
由正弦定理得，600sin 45°＝BC
sin 30°
，
∴BC ＝300 2 m.
在Rt △DBC 中，∠DBC ＝30°，∴tan 30°＝CD
BC ， ∴CD ＝BC ·tan 30°＝1006(m)．
答案：100 6 三、解答题 12．(2014·山东卷)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c .已知a ＝3，cos A ＝6
3，B ＝A ＋π2.
(1)求b 的值；
(2)求△ABC 的面积．
解析：(1)在△ABC 中，由题意知，
sin A ＝1－cos 2
A ＝33.
又因为B ＝A ＋π
2，
所以sin B ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝6
3.
由正弦定理可得，b ＝a sin B
sin A ＝3×63
33
＝3 2.
(2)由B ＝A ＋π
2得，
cos B ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )， 所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝33×⎝
⎛⎭⎪⎫
－33＋63×63＝13.
因此△ABC 的面积S ＝1
2ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 13．(2015·陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．
(1)求A ；
(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．
解析：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3，
由于0<A <π，所以A ＝π
3.
(2)(方法1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
又a ＝7，b ＝2，A ＝π
3，
所以7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为12bc sin A ＝33
2.
(方法2)由正弦定理，得7sin π3
＝2
sin B ，
从而sin B ＝21
7.
又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝27
7.
故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
B ＋π3
＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝321
14.
所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝33
2. 14．(2015·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，
b ，
c .已知A ＝π4，b 2－a 2
＝12c 2.
(1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．
解析：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2
B －12＝12sin 2
C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .
又由A ＝π4，即B ＋C ＝3
4π，
得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.
(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝5
5.
又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋C ，
所以sin B ＝310
10.
由正弦定理得c ＝22
3b ，
又因为A ＝π4，1
2bc sin A ＝3， 所以bc ＝62，故b ＝3.
15．(2014·潍坊联考)已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝
⎛
⎭
⎪⎫sin x ，－32，
f (x )＝(m －n )·m .
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积
S ＝3，f ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π8＝－24，a ＝3，求b ＋c 的值．
解析：(1)∵m －n ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos x －sin x ，12， ∴f (x )＝(m －n )·m ＝(cos x －sin x )cos x －1
2
＝cos 2x －sin x ·cos x －1
2 ＝12cos 2x －1
2sin 2x
＝22cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4.
令2k π－π≤2x ＋π
4≤2k π，k ∈Z ，
则k π－5π8≤x ≤k π－π
8，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )．
(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π8＝22cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －π4＋π4＝－24，
∴cos 2A ＝－1
2.
∵0<A <π
2， ∴0<2A <π，
∴2A ＝2π3， ∴A ＝π
3.
∵S ＝12bc sin A ＝12bc 1
23＝3， ∴bc ＝4.
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，
即9＝b2＋c2－bc，
又(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝9＋3bc＝21, ∴b＋c＝21.。