『精选』2020年陕西省西安市高新一中国际部高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

2018学年陕西省西安市高新一中国际部高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若抛物线y2=2px，p＞0的准线过点（﹣1，2），则该抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）
2．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）
A．存在x0∈R，f（x0）=0
B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点
C．若x0是函数f（x）的极小值点，则f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减
D．若x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=0
3．（4分）若双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则离心率e=（）
A．B．C．D．
4．（4分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）
A．B．C．D．
5．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
6．（4分）若函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，则实数c的取值范围是（）
A．[12，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣∞，12]
7．（4分）已知f（x）=，则f′（）等于（）
A．B．C．D．﹣
8．（4分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（4分）定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）
＜f（x），m=，n=，则m，n的大小关系是（）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定
10．（4分）设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，
任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设f（x）=，数列
{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，则f（a i）=（）
A．4034 B．4036 C．2018 D．2017
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）设曲线y=e x上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是．12．（4分）已知点P为抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到抛物线C准线的距离之和的最小值为．
13．（4分）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为时，容器容积最大．
14．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣x2，若对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，则实数a的取值范围是．
三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）已知函数f（x）=．
（1）若函数f（x）在（）上存在单调增区间，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）在（）上单调递增，求实数a的取值范围．
16．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；
（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．
17．（12分）已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）已知点O为坐标原点，A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，求证：为定值．
18．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）．
四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC．求tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值．
20．（12分）在△ABC中，已知B（﹣1，0），C（1，0），且sinB+sinC=2sinA．
（1）求顶点A的轨迹M的方程．
（2）直线l过点B（﹣1，0），且与轨迹M交于P，Q两点，求△CPQ的内切圆面积的最大值．
2018学年陕西省西安市高新一中国际部高二（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若抛物线y2=2px，p＞0的准线过点（﹣1，2），则该抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，2），
∴准线方程为x=﹣1，
∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．
故选：C．
2．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）
A．存在x0∈R，f（x0）=0
B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点
C．若x0是函数f（x）的极小值点，则f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减
D．若x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=0
【解答】解：A：对于三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f （x）→+∞，
函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）=0，故A正确；
B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点，正确，
例如取f（x）=x3，f′（0）=0，而0不是函数f（x）的极值点，
C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，
对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1
∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），
故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C错误；
D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，故D正确．
故选：C．
3．（4分）若双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则离心率e=（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，
其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，
又由双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则有=2，即b=2a，
则c==a，
则其离心率e==，
故选：B．
4．（4分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，
∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），
也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．
∴A 满足上述条件，
B 存在f′（x′）＞f′（x″），
C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），
D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，
故选：A．
5．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，
则圆心坐标为（﹣1，1），半径r=，
∵圆x2+y2+2x﹣2y+m=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，
∴圆心到直线的距离d===，
解得m=﹣4，
故选：B．
6．（4分）若函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，则实数c的取值范围是（）
A．[12，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣∞，12]
【解答】解：函数f（x）=x3﹣6x2+cx，函数f′（x）=3x2﹣12x+c，
∵函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，
∴f′（x）=3x2﹣12x+c中，
△=144﹣12c≤0，
解得：c≥12．
故选：A．
7．（4分）已知f（x）=，则f′（）等于（）
A．B．C．D．﹣
【解答】解：∵f（x）=，
∴f′（x）==，
则f′（）=，
故选：C．
8．（4分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：函数f（x）=e x+x3﹣2，可得函数f′（x）=e x+3x2＞0；
∴f（x）在R上单调递增；
又f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0；
∴f（x）在区间（0，1）内零点个数是1．
故选：B．
9．（4分）定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）
＜f（x），m=，n=，则m，n的大小关系是（）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定
【解答】解：构造函数g（x）=，
∴g′（x）=＜0，
故g（x）在[0，+∞）上单调递减，
则g（1）＞g（2），
即＞，
所以m＞n．
故选：A．
10．（4分）设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，
任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设f（x）=，数列
{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，则f（a i）=（）
A．4034 B．4036 C．2018 D．2017
【解答】解：f′（x）=x2﹣4x+，f″（x）=2x﹣4，
令f″（x）=0得x=2，又f（2）=2，
∴f（x）的对称中心为（2，2）．
∵a n=n﹣1007，∴{a n}是以﹣1006为首项，以1为公差的等差数列，
∴a1+a2017=a2+a2016=…=a1008+a1010=2a1009=4，
∴f（a1）+f（a2017）=f（a2）+f（a2016）=…=f（a1008）+f（a1010）=4，
∴f（a i）=f（a1）+f（a2）+…+f（a2017）=1008×4+f（a1009）=4032+f（2）=4032+2=4034．故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）设曲线y=e x上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是（0，1）．【解答】解：∵切线与直线x﹣y﹣1=0平行，
∴斜率为1，设切点（x0，f（x0）），
∵曲线y=e x，可得y′=e x，
∴，
∴x0=0，
∴切点为（0，1），
故答案为：（0，1）．
12．（4分）已知点P为抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到
抛物线C准线的距离之和的最小值为．
【解答】解：由题得：如图：
依题设A在抛物线准线的投影为A′，抛物线的焦点为F，A（0，2）．F在准线上的射影A″
∵抛物线y2=4x，∴F（1，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为
|PA″|=|PF|，
则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=．
故选：D．
13．（4分）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为 1.2m时，容器容积最大．
【解答】解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5）m，高为3.2﹣2x．
由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2﹣2x）（0＜x＜1.6）．
整理，得y=﹣2x3+2.2x2+1.6x∴y′=﹣6x2+4.4x+1.6﹣﹣6分
令y′=0，有x=1从而，在定义域（0，1.6）内只有在x=1 处使y取最大值，
这时，高为1.2m．
答：容器的高为1.2m时容积最大，故填1.2m．
14．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣x2，若对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．
【解答】解：对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，
可得f（x）在（1，2）递减，
函数f（x）=alnx﹣x2的导数为f′（x）=﹣2x，
即﹣2x≤0在（1，2）恒成立，
需a≤2x2恒成立，
∵x∈（1，2），
∴2x2的值域为（2，8），
∴a≤2．
可得a的范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）已知函数f（x）=．
（1）若函数f（x）在（）上存在单调增区间，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）在（）上单调递增，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2a，
当∃x∈（，+∞），f′（x）≥0，
∴a≥，
∵y=在（，+∞）上单调递增，
∴y＞（﹣）=﹣，
∴a≥﹣
（2）∀x∈（，1），f′（x）≥0，
a≥，
∵y=在（，1）上单调递增，
∴y＜0，
∴a≥0
16．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；
（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．
【解答】解：（I）曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化为直角坐标方程为：x2+3y2=3，即=1；
曲线C2参数方程是（t为参数）化为直角坐标方程为：x=﹣（y﹣1），即x+y ﹣=0．
（II），解得，
即A（0，1），B（，0），线段AB的中点为M，则
以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为=1．
17．（12分）已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）已知点O为坐标原点，A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，求证：为定值．
【解答】解：（1）设M（x，y），∵动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，∴=|x﹣2|，
∴整理得=1，
∴曲线C的方程为=1．
证明：（2）设A（ρ1，θ1），B（），
∴=1化为极坐标方程，得：=1．
∴（）=1，
•=（）=1，
∴=+=．
∴为定值．
18．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）．
【解答】解：（1）函数f（x）=alnx﹣bx2
则：，
所以：．
且满足：f（2）=aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．
解得：a=2，b=1．
（2）由（1）得：f（x）=2lnx﹣x2，
令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，
则：=，
令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．
在[]内，当x∈时，h′（x）＞0，
所以：h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．
则：方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是，
解不等式得：．
四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC．求tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值．
【解答】解：sinA=2sinBsinC，
即为sin（B+C）=2sinBsinC，
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，
由锐角三角形ABC，上式两边同除以cosBcosC，
∴tanB+tanC=2tanBtanC，
tanA=﹣tan（B+C）=﹣=﹣
设tanBtanC=t，
则tanA=，t＞1．
∴原式=+2t+•t
==
=4•
=4[（t﹣1）++2]
≥4（2+2）=16，
当且仅当t=2时，上式取得等号，
可得所求最小值为16．
20．（12分）在△ABC中，已知B（﹣1，0），C（1，0），且sinB+sinC=2sinA．
（1）求顶点A的轨迹M的方程．
（2）直线l过点B（﹣1，0），且与轨迹M交于P，Q两点，求△CPQ的内切圆面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且sinB+sinC=2sinA．
∴b+c=2a，∴|AC|+|AB|=4，
∴顶点A的轨迹M是以B，C为焦点的椭圆，且2a=4，
∴顶点A的轨迹M的方程为=1．
（2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大，
S△CPQ=
=（PQ+QC+PC）
=，
即△CPQ面积最大时，r最大，
设直线l：x=ky﹣1，
联立，得：（4+3k2）y2﹣6ky﹣9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
则
S=
==，
∴当k=0时，S max=3，此时r=，
∴△CPQ的内切圆面积的最大值为：πr2=．
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
D
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB 组成⊙O 的一条
折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE
、PE 与
PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。