辽宁省阜蒙县第二高中2013届高三数学第六次模拟考试试题 理 新人教A版

阜蒙县二高中2012-2013年度（下）高三第六次模拟数学试卷（理）
时间：120分钟 满分：150分．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若bi a i i +=++)43)(21(，（其中a,b ∈R ，i 为虚数单位）则a+b=（ ） A. 5
B.
6 C.
7 D.
8 2．设集合}42|{},01|{3<=≥-=-x x B x x A ，则A ∩B= ( )
A ．}5|{<x x
B ．}1|{≤x x
C ．}51|{<≤x x
D ．}5|{≥x x
3．“φ=0”是“函数)cos(
)(φ+=x x f 为奇函数”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．大商店庆期间，我市物价部门调查了商场的五家出售小米手机的店铺，他们一天的销售量y 及其价格x 之间关系如下：
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=-0.096x+λ，那么λ的值为 （ ）
A ．193.2
B ．195.2
C ．197.2
D ．199.2 5．在△ABC 中，以A 为原点建立直角坐标系，设向量
n AC m AB ==,，其中
)4,3
(),3,4(==n m 。

若=AD ,n m βα+ 且10≤≤≤βα，则
D 的轨迹是下图中的
（ ）
6．如图：不规则图形Ω位于边长为a 的正方形内，向正方形中随机撒入若干芝麻粒，已知落入Ω内和Ω外的芝麻分别为m 粒和n 粒，则图形Ω的面积估计为 （ ）
A ． n m m a +2
B ．n ma
C ．n m a 2
D ．n
m ma +
7. 一个空间几何体的三视图如图，该几何体的体积
为3
5
816+
π则正视图与侧视图中的x 的值为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．5 8．△ABC 中，︒===
45,2,6B b a ，则角A=（ ）
A ．30°或150°
B ．
60°或120° C ．60° D ．30°
9
．已知双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线到圆4)13(2=+-y x 上的点的最短距离
为10，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．
213 B ．2
5
C ．512
D ．513 10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若CB CA CD DB AD μλ+==,3,则λ=（ ） A ．
31 B ．32 C ．41 D ．4
3 11．函数)0)(sin(
2)(>+=ωϕωx x f 的部分图像如图，其中 )0,(),2,(),0,(πP n N m M ,且0<mn A. )4,
0(π
B. )32,
4(
π
π
C ．)43,2(ππ
D ． ),3
2(ππ
12．已知f(x)=⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
≥-<<-≤+1,1121,1221,21x x x x x x ，若数列}{n a 满足*
11),(,37N n a f a a n n ∈==+,
则=2013a （ ） A ．
37 B ．32 C ．34 D ．3
1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．水平放置的某三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，如图，则原三角形的面
积是______.
14. 曲线x
e y =上的点到直线03=--y x 的最短距离是_____
x'
y'
15．已知直线03=++m y x 与圆822=+y x 交于不同的两点A 、B 。

O 是坐标原点，
||||AB OB OA ≥+,那么实数m 的取值范围是
16．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有)1()1(-=+x f x f ，已知当x ∈[0,1]时，2
cos
)(x
x f π=，则以下正确命题的序号是_________ _
①∀)1()1(,x f x f R x +=-∈；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③f(x)的最大值是1，最小值是0；④f(x)的一个对称中心是(5,0)。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（12分）等比数列}{n a 中，a 2αcos 1+=，a 3︒<<︒++=
18090,2
3
cos 42cos ααα
（1）ααα3
2
cos cos 3cos
31+++是数列中的第几项？ （2）若3
4
)180tan(
=-︒α，求数列}{n a 前n 项的和T n 。

已知在全校学生中随机抽取一名，抽到高二年级女生的概率是0.15
（1）求x 的值
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取30名学生，应从高三抽取多少名
（3） 设在（2）中抽取的总人数为m ，其中女生4人，男生4-m 人。

从这m 人中
选
派3人参加某项调查，求女生人数ξ的分布列及期望
19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=CD,AB=4，BC=3，E 是PD 的中点。

（1）证明：PB ∥平面ACE
（2） 求二面角E-AC-B 的平面角的余弦值。

20．（12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b
x a y 经过点)3,21
(，一个焦点是)3,0(-F ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 与y 轴的两个交点为1A 、2A ，点P 在直线2a y =上，直线1PA 、2PA 分别与椭圆C 交于M 、N 两点．试问：当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 是否恒经过定点Q ？证明你的结论．
21．（12分）
已知0>a ，设函数a x a x a x f 22ln )(+⋅-=，2)2(2
1
)(a x x g -=． （Ⅰ）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值；
（Ⅱ）若e 是自然对数的底数，当e a =时，是否存在常数k 、b ，使得不等式
)()(x g b kx x f ≤+≤对于任意的正实数x 都成立？若存在，求出k 、b 的值，若不存在，
请说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知∆ABC 中，AB=AC, D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。

（Ⅰ）求证：AD 的延长线平分∠CDE ； （Ⅱ）若∠BAC=30，∆ABC 中BC 边上 的高为
∆ABC 外接圆的面积。

（23）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为：，
⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θsin 6cos 2y x （θ为参数） ,C 2
（Ⅰ）写出C 1和C 2的直角坐标方程； （Ⅱ）已知射线l 1
l 2
l 1交C 1于M, l 2交C 2于N,求三角形OMN 的面积。

,
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()|1|||f x x x a =-+-。

（Ⅰ）若1,a =-解不等式()3f x ≥；
（Ⅱ）如果x R ∀∈,()2f x ≥,求a 的取值范围。

六模答案理科 说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、ABD BAA CBD CBD
二、24 22 ]4,24()24,4[--⋃ ①③ 三、17.（1）∵2223)cos 1(2
3
cos 42cos a a a •=+=++=
ααα…………2′
∴等比数列}{n a 中，αcos 1,11+==q a ………………4′
∴4332)cos 1(cos cos 3cos 31a =+=+++αααα是数列的第4项…………6′
（2）由34)180tan(
=-︒α，︒<<︒18090α得5
3
cos -=α…………8′ ∴5
2
cos 1,11=
+==αq a ………………10′ ∴])52(1[355
3)52(111n n
n n q q a a T -=-=
--=（最后结果能化成这个形式的都算对）……12′ 18．（1）x=3000×0.15=450………………2′
（2）∵653+647+450+450=2200得高三学生共有800名…………4′ 所以由
800
8
300030=得应从高三抽取8名………………6′
（3）由（2）知m=8，那么男生4人，女生4人 ∴ζ的可能取值为0，1，2，3 ………………8′
∵141
)0(3834===C C p ξ 73)1(3
82414===C C C p ξ 73)2(381424===C C C p ξ 14
1
)3(383
4===C C p ξ ∴
……………………10′
∴2
314137327311410)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ………………12′ 19.（1）连接BD 交AC 于O ，可知O 为BD 中点，连接OE 。

△PBD 中，OE ∥PB 。

由PB ⊄面ACE ，OE ⊂面ACE ，OE ∥PB 得，PB ∥面ACE …………………4′ （2）建系如图：则A(3，0，0) ,C(0，4，0) ,E(0，0，2) ∴)0,4,3(-=AC ，)2,0,3(-=AE …………6′ ∴面EAC 法向量)6,3,4(=m
由题知面BAC 法向量)1,0,0(=n ……8′ ∵6161
6
61
6,cos =
>=
<n m ……10′ ∴求二面角E-AC-B 的平面角的余弦值为6161
6
-………………12′
20. （1）∵椭圆的一个焦点是)3,0('F ，∴22
0)2
1
()32()21(222=+++=
a …2′
∵3=c ，∴1=b ，∴椭圆方程为14
22
=+x y ………………4′ （2）当点P 在y 轴上时，M 、N 分别与A 1、A 2重合，
若直线MN 通过定点Q ，则Q 必在y 轴上，设Q(0，m)………………6′
当点P 不在y 轴上时，设P(t,4)，A 1 (0,2)、A 2 (0,-2)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) 直线PA 1方程22+=
x t y ，PA 2方程26
-=x t
y ， 22+=x t y 代入1422=+x y 得02)1(2
2=++tx x t ，解得2112t t x +-=，221122t t y +-=，
∴)12)2(,12(2
22t
m
t m t t QM +---+-= ……………………8′ 26-=x t y 代入1422=+x y 得06)9(2
2=-+tx x t ，解得2296t t x +=，2
229218t t y +-=，
y
z
∴)9)2(918,96(
2
2
2t t m m t t QM ++--+=………………10′ ∵QN QM //，∴)12(2t t +-
-++--)9)2(918(22t t m m )96(2t t
+0)12)2((2
2=+---t m t m ， ∴0=)t +m)(3-(12，1=m
∴当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 恒经过定点Q(0,1)……………………12′ 方法2：直线恒经过定点
，证明如下： 当斜率不存在时，直线即轴，通过点
，……………（6分） 当点
不在轴上时，设
，
、
，
，
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 方法3：∵、
、
三点共线， 、
、
三点也共线，
∴
是直线
与直线
的交点，
当斜率存在时，设：，代入，
得，，，
直线方程，直线方程，
分别代入，得，，
∴，即，
，
∴对任意变化的
都成立，只能，
∴直线，通过点
当斜率不存在时，直线即
轴，通过点
，……………（10分）
∴当点在直线
上运动时，直线
恒经过定点
．
21.（1）∵)0,0(2
1ln )(2
>>-
=x a x x a x h ………………2′ ∴)0,0()('2
>>-=
-=x a x
x a x x a x h 得到：
∴当a x =时，)(x h 得最大值2
ln )(a
a a a h -=
………………4′ （2）当a=e 时，h(x)=f(x)-g(x)的最大值是0 即f(x )≤g(x)，当且仅当e x =时取等号………………6′
函数f(x)和g(x)的图像在e x =
处有且仅有一个公共点)2
,(e
e
∵e x
e
x f 2)('-=
，函数)(x f 的图像在e x =处切线的斜率是e k -= x
),0(a
a ),(+∞a
)('x h ＋ 0 － )(x h
↗
极大
↘
∵e x x g 2)('-=，函数)(x g 的图像在e x =处切线的斜率是e k -=
∴)(x f 和)(x g 的图像在e x =
处有公切线为2
3e
x e y +
-=…………8′ 设2ln )23()()(e x e x e e x e x f x F +-=+
--=，x
e x e e x e x F )()('--=-= x
),0(e
e
),(+∞e
)('x F
＋ 0 － )(x F
↗
极大
↘
∴当e x =
时，函数)(x F 取得最大值0，∴2
3)(e
x e x f +
-≤恒成立；…………10′ ∵0)(2
1
221)23()(22≥-=+-=+
--e x e x e x e x e x g ， ∴23)(e x e x g +
-≥在x ∈R 时恒成立；∴当a=e 时，e k -=，2
3e b =．…………12′
22.（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点 ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD 的延长线平分∠CDE.…………5′
（Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H,则AH ⊥BC.
连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750
,
∴∠OCH=600
.
设圆半径为r ,
则
2r +=+2r =,外接圆的面积为4π。

…………10′
23. （1）∵⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θsin 6cos 2y x （θ为参数） , ∴C 1
∴C 2
5′
（2）∵l 1
t=2即OM=2
∵l 2
∴2=ρ即ON=2
由题知∠MON=90°，∴S △OMN =2 …………10′
（24）解：
（Ⅰ）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++
由()f x ≥3得
|1||1|x x -++≥3
（ⅰ）x ≤-1时，不等式化为
1-x-1-x ≥3 即-2x ≥3
不等式组1
()3x f x >⎧⎨≥⎩的解集为3[,)
2+∞
综上得，()3f x ≥的解集为33(,][,)
22-∞-+∞
……5′ （Ⅱ）若1,()2|1|a f x x ==-，不满足题设条件
若21,,1,()1,1
2(1),1x a x a a f x a a x x a x -++≤⎧⎪<=-<<⎨⎪-+≥⎩ ()f x 的最小值为1a -
21,1,1,()1,12(1),x a x a f x a x a
x a x a -++≤⎧⎪>=-<<⎨⎪-+≥⎩ ()f x 的最小值为1a -
所以,()2x R f x ∀∈≥的充要条件是|1|2a -≥，从而a 的取值范围为(,1][3,)-∞-+∞ ……10′。