平面向量基本定理课件(北京五中王琦)
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对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ， 那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底(base)．
平面向量基本定理
如果存在另一对实数x，y， 使a=xe1+ye2， 则λ1e1+λ2e2=xe1+ye2，即(λ1−x)e1+(λ2−y)e2=0
， 如不果妨设λ1λ−1x−，x ≠λ20−，y 中则有e1一 个y1不x等2 e于2 0， 则e1//e2 ．与e1、e2不共线矛盾， 因此 x=λ1，y=λ2．
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ， 那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ，
那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
平行向量基本定理
向量b与a(a 0)共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa．
小 平面向量基本定理是将平面向量任意化归为 结 确定的理论依据，是由几何到代数的桥梁．
问 通过两个给Biblioteka 向量的线性运算可以表示多少向 题 量，是有限个？无数个？还是任意一个呢？
猜 通过同一平面内两个不共线向量的线性运算 想 可以表示这一平面内任意一个向量．
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量
，问 题 那么对于这一平面内的任意向量a，存在
几对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2？
如图，平行四边形ABCD的两条对角 线相交于点M，点N为线段AD的中点，设
AB a，AD b，用向量a，b的线性运
算表示向量 MN、MA、MB ．
D
C
b N
M
A
a
B
问 想通过线性运算表示这些向量， 题 必须给定两个向量吗？
D
C
b N
M
A
a
B
平行向量基本定理
向量b与a(a 0)共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa．
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ，
那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
平面向量a
一一对应
(λ1 , λ2)
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ，
那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ， 那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底(base)．
平面向量基本定理
如果存在另一对实数x，y， 使a=xe1+ye2， 则λ1e1+λ2e2=xe1+ye2，即(λ1−x)e1+(λ2−y)e2=0
， 如不果妨设λ1λ−1x−，x ≠λ20−，y 中则有e1一 个y1不x等2 e于2 0， 则e1//e2 ．与e1、e2不共线矛盾， 因此 x=λ1，y=λ2．
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ， 那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ，
那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
平行向量基本定理
向量b与a(a 0)共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa．
小 平面向量基本定理是将平面向量任意化归为 结 确定的理论依据，是由几何到代数的桥梁．
问 通过两个给Biblioteka 向量的线性运算可以表示多少向 题 量，是有限个？无数个？还是任意一个呢？
猜 通过同一平面内两个不共线向量的线性运算 想 可以表示这一平面内任意一个向量．
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量
，问 题 那么对于这一平面内的任意向量a，存在
几对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2？
如图，平行四边形ABCD的两条对角 线相交于点M，点N为线段AD的中点，设
AB a，AD b，用向量a，b的线性运
算表示向量 MN、MA、MB ．
D
C
b N
M
A
a
B
问 想通过线性运算表示这些向量， 题 必须给定两个向量吗？
D
C
b N
M
A
a
B
平行向量基本定理
向量b与a(a 0)共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa．
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ，
那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一
对实数λ1、λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2 ．
平面向量a
一一对应
(λ1 , λ2)
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量 ，
那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一