镇江市八年级(上)1月月考期末复习数学试卷

镇江市八年级（上）1月月考期末复习数学试卷
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为（ ） A ．31y x =-+
B ．32y x =-+
C ．31y x =--
D ．32y x =--
2．下列志愿者标识中是中心对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3．对函数31y x =-，下列说法正确的是( ) A ．它的图象过点(3,1)- B ．y 值随着x 值增大而减小 C ．它的图象经过第二象限 D ．它的图象与y 轴交于负半轴 4．下列无理数中，在﹣1与2之间的是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣2
C ．2
D ．5
5．下列有关一次函数y =-3x +2的说法中，错误的是（ ） A ．当x 值增大时，y 的值随着x 增大而减小 B ．函数图象与y 轴的交点坐标为
C ．当
时，
D ．函数图象经过第一、二、四象限
6．如图，在放假期间，某学校对其校内的教学楼（图中的点A ），图书馆（图中的点
B ）和宿含楼（图中的点
C ）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资
到点A ，点B 和点C 的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）
A ．AC 、BC 两边高线的交点处
B ．在A
C 、BC 两边中线的交点处 C ．在A ∠、B 两内角平分线的交点处
D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处
7．函数111y k x b =+与222y k x b =+的部分自变量和对应函数值如下： x -4 -3 -2 -1 y
-1
-2
-3
-4
x -4
-3 -2 -1 y
-9
-6
-3
当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >-
B ．2x <-
C ．1x >-
D ．1x <-
8．如图，在R △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，E 为AC 上一点，且AE ＝85
，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（ ）
A ．
185
B ．
245
C ．4
D ．
265
9．如图，若BD 为等边△ABC 的一条中线，延长BC 至点E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A 3
B 3
C 5
D 510．下列各组数是勾股数的是( ) A ．6，7，8 B ．132 C ．5，4，3
D ．0.3，0.4，0.5
二、填空题
11．“徐宿淮盐”铁路是一条连接徐州与盐城的高速铁路，全长约为316000米.将数据
316000用四舍五入法精确到万位，并用科学记数法表示为____________.
12．在平面直角坐标系内，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组11
22y k x b y k x b -=⎧⎨
-=⎩
的解是________．
13．对于分式23x a b
a b x
++-+，当1x =时，分式的值为零，则a b +=__________．
14．已知
113-=a b ，则分式232a ab b a ab b
+-=--__________． 15．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN .连接FN ，并求FN 的长__________．
16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，其面积为12，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F .若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上的一个动点，则PCD ∆周长的最小值为______.
17．2______3
18．用四舍五入法将2.0259精确到0.01的近似值为_____．
19．如图，直线1l x ⊥轴于点(1,0)，直线2l x ⊥轴于点(2,0)，直线3l x ⊥轴于点
(3,0)，…直线n l x ⊥轴于点(,0)n .函数y x =的图像与直线123
,,n l l l l 分别变于点
123,,,
n A A A A ；函数3y x =的图像与直线123,,
,n l l l l 分别交于点123,,,
n B B B B ，如果
11OA B ∆的面积记的作1S ，四边形1221A A B B 的面积记作2S ，四边形2332A A B B 的面积记作3S ，…四边形n 1n n n 1A A B B --的面积记作n S ，那么2020S =________.
20．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 ．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，过点B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，过点
A 作AF BE ⊥，垂足为点F ，且BE AF =.
（1）求证：ABF BCE ∆≅∆；
（2）连接BD ，且BD 平分ABE ∠交AF 于点G .求证：BCD ∆是等腰三角形. 22．如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米处，已知木杆原长25米，求木杆断裂处离地面多少米？
23．已知一次函数y ＝3x +m 的图象经过点A （1，4）． （1）求m 的值；
（2）若点B （﹣2，a ）在这个函数的图象上，求点B 的坐标． 24．（1）计算：3
2216-(3)(3)8+--
（2）化简：22
x 9x 3
1-69x 4
x x -+÷-++ 25．（新知理解）
如图①，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP BP +的值最小. 作法:作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交直线l 于点P ，则点P 即为所求. （解决问题）
如图②，AD 是边长为6cm 的等边三角形ABC 的中线，点P 、E 分别在AD 、AC 上，则PC PE +的最小值为 cm; （拓展研究）
如图③，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠.(保留作图痕迹，并对作图方法进行说明)
四、压轴题
26．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． （1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ． （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？
27．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足
|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：
3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
28．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．
（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；
（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．
29．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两
条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
30．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据左加右减,上加下减的平移规律解题. 【详解】
解：把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为
3(2)4y x =-++,
整理得：32y x =--, 故选D. 【点睛】
本题考查了直线的平移变换,属于简单题,熟悉直线的平移规律是解题关键.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据中心对称图形的概念求解． 【详解】
解：A 、不是中心对称图形，故选项错误； B 、不是中心对称图形，故选项错误； C 、是中心对称图形，故选项正确； D 、不是中心对称图形，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据一次函数的性质，对每一项进行判断筛选即可. 【详解】
A 将x=3代入31y x =-得：3×3-1=8，A 选项错;
B ．一次函数k ＞0，y 值随着x 值增大而增大，B 选项错；
C ．一次函数k ＞0，y 值随着x 值增大而增大，当x=0时，y=-1，故此函数的图像经过一、三、四象限，C 选项错；
D．当x=0时，y=-1，一次函数的图象与y轴交于负半轴，D项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一次函数的性质. 4．C
解析：C
【解析】
试题分析：A1，故错误；B＜﹣1，故错误；C．﹣1<2，故正确；
2，故错误；故选C．
【考点】估算无理数的大小．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
A、∵k=-3＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，正确；
B、函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），正确；
C、当x＞0时，y＜2，错误；
D、∵k＜0，b＞0，图象经过第一、二、四象限，正确；
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质判断即可.
【详解】
作AC，BC两边的垂直平分线，它们的交点为P，由线段垂直平分线的性质，
P A=PB=PC，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质要点是解决本题的关键.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．
【详解】
解：根据表格可得y1=k2x+b1中y随x的增大而减小，y2=k2x+b2中y随x的增大而增大．且两个函数的交点坐标是（-2，-3）．
则当x＜-2时，y1＞y2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．求出CE′即可．
【详解】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB22
AC BC
+22
68
+，
∴CH=AC BC
AB
⋅
=
24
5
，
∴AH22
AC CH
-=
2
2
24
6
5
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
18
5
，
∴AE=AE′=8
5
，
∴E′H=AH-AE′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE22
CH E H'
+
2
2
24
2
5
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
=
26
5
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系. 9．B
解析：B
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质及已知条件可证BD ＝DE ，可知BC 长及BD ⊥AC ，在Rt △BDC 中，由勾股定理得BD 长，易知DE 长.
【详解】
解：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BC ，
∵BD 为中线，
∴∠DBC ＝
12
∠ABC ＝30°， ∵CD ＝CE ，
∴∠E ＝∠CDE ，
∵∠E +∠CDE ＝∠ACB ，
∴∠E ＝30°＝∠DBC ，
∴BD ＝DE ，
∵BD 是AC 中线，CD ＝1，
∴AD ＝CD ＝1，
∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ＝1+1＝2，且BD ⊥AC ，
在Rt △BDC 中，由勾股定理得：BD ==
即DE ＝BD
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，灵活利用等边三角形三线合一及三个角都是60度的性质是解题的关键. 10．C
解析：C
【解析】
【分析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可．
【详解】
解：A 、222768+≠，故此选项错误；
B
C 、222345+=，故此选项正确；
D 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于
解析：5
3.210
⨯
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
316000≈320000=3.2×105．
故答案为：3.2×105．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
12．．
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
解析：
2
1 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【详解】
∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩
的解是21x y =⎧⎨=⎩． 故答案为21x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．-1且．
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件为0的条件可得且，则可求出的值．
【详解】
解：∵分式，当时，分式的值为零，
∴且，
∴，且
故答案为：-1且．
【点睛】
此题主要考查了分式值为
解析：-1且5233a
b ，． 【解析】
【分析】 根据分式的值为零的条件为0的条件可得10a b
且230a b ，则可求出+a b 的值．
【详解】
解：∵分式
23x a b a b x ++-+，当1x =时，分式的值为零， ∴10a b 且230a b ，
∴1a b +=-，且5233a
b ， 故答案为：-1且5233
a
b ，． 【点睛】 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14．【解析】
【分析】
首先把两边同时乘以，可得 ，进而可得，然后再利用代入法求值即可．
【详解】
解：∵，
∴ ，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时， 解析：34
【解析】
【分析】 首先把
113-=a b
两边同时乘以ab ，可得3b a ab -= ，进而可得3a b ab -=-，然后再利用代入法求值即可．
【详解】 解：∵113-=a b
， ∴3b a ab -= ，
∴3a b ab -=-， ∴2323263334a b ab a ab b
ab ab a ab b a b ab ab ab 故答案为：
34
【点睛】 此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．
15．【解析】
【分析】
设，则，由翻折的性质可知，在Rt△ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt△ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可．
【详解】
【解析】
【分析】
设NC x =，则8DN x ，由翻折的性质可知8EN DN x ==-，在Rt △ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt △ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可．
【详解】
解：如图所示，连接AN ，
设NC x =，则8DN
x ， 由翻折的性质可知：8EN DN x ==-，
在Rt ENC 中， 有222EN EC NC =+，()22284x x -=+，
解得：3x =，
即5DN cm ．
在Rt 三角形ADN 中， 2222
8589AN AD ND ， 由翻折的性质可知89FN
AN ．
【点睛】 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x 的方程是解题的关键．
16．8
【解析】
【分析】
连接AP ，AD ，根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线，求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求周长的最小值
解析：8
【解析】
【分析】
连接AP ，AD ，根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线，求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求PCD ∆周长的最小值
【详解】
解：如下图，连接AP ，AD.
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，DC=122
BC =, 1141222
ABC S BC AD AD ∴=
⋅=⨯⨯=, 解得AD=6, ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AP=PC,
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴PCD ∆周长=DP+PC+DC,当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短.能根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短求得DP+PC 的最小值是解决此题的关键.
17．>
【解析】
， .
解析：>
【解析】 23< ，23∴->
18．03
【解析】
【分析】
把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
解：2.0259精确到0.01的近似值为2.03．
故答案为：2.03．
【点睛】
本题考查的知识点是近似数与有效数字，近似
解析：03
【解析】
【分析】
把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
解：2.0259精确到0.01的近似值为2.03．
故答案为：2.03．
【点睛】
本题考查的知识点是近似数与有效数字，近似数精确到哪一位，就看它的后面一位，进行四舍五入计算即可．
19．4039
【解析】
【分析】
根据直线解析式求出An−1Bn−1，AnBn的值，再根据直线ln−1与直线ln互相平行并判断出四边形An−1AnBn Bn−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出Sn的表
解析：4039
【解析】
【分析】
根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n的值，再根据直线l n−1与直线l n互相平行并判断出四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出S n的表达式，然后把n＝2020代入表达式进行计算即可得解．
【详解】
根据题意，A n−1B n−1＝3（n−1）−（n−1）＝3n−3−n＋1＝2n−2，
A n
B n＝3n−n＝2n，
∵直线l n−1⊥x轴于点（n−1，0），直线l n⊥x轴于点（n，0），
∴A n−1B n−1∥A n B n，且l n−1与l n间的距离为1，
∴四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，
S n＝1
2
（2n−2＋2n）×1＝
1
2
（4n−2）=2n-1，
当n＝2020时，S2020＝2×2020-1=4039
故答案为：4039．
【点睛】
本题是对一次函数的综合考查，读懂题意，根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n的值是解题的关键，要注意脚码的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．
20．50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得
∠C=∠ABC，然后根据三
解析：50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得
∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：
【详解】
∵MN是AB的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.
∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为50°．
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明ΔABF≌ΔBCE即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余、角平分线的性质以及余角的性质可得∠DBC=∠BDE，根据等角对等边即可得到BC=CD，从而得到结论．
【详解】
（1）∵BE⊥CD，AF⊥BE，
∴∠BEC=∠AFB=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BAF=∠EBC．
在ΔABF和ΔBCE中，
∵∠AFB=∠BEC，AF=BE，∠BAF=∠EBC，
∴ΔABF≌ΔBCE．
（2）∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°．
∵∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°．
∵BD分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBC=∠BDE，
∴BC=CD，
即ΔBCD是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明
ΔABF≌ΔBCE．
22．木杆断裂处离地面12米．
【解析】
【分析】
设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设木杆断裂处离地面x米，
由题意得：x2＋52＝（25−x）2，
解得x＝12，
答：木杆断裂处离地面12米．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合思想的应用．
23．（1）1；（2）（﹣2，﹣5）．
【解析】
【分析】
（1）把点A（1，4）的坐标代入一次函数y＝3x+m可求出m的值，
（2）确定函数的关系式，再把B的坐标代入，求出a的值，进而确定点B的坐标．
【详解】
解：（1）把点A（1，4）的坐标代入一次函数y＝3x+m得：
3×1+m＝4，
解得：m＝1，
（2）由（1）得：一次函数的关系式为y＝3x+1．
把B（﹣2，a）代入得：a＝3×（﹣2）+1＝﹣5，
∴B的坐标为（﹣2，﹣5）
【点睛】
考查一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
24．(1) 2； (2)
7
3 x
-
-
【解析】
【分析】
（1）首先计算平方根和立方根，然后进行加减运算即可；（2）根据分式的除法和减法进行计算．
【详解】
解：（1）原式=4332-+-=2；
（2）原式=()()()2334133x x x x x +-+-⨯+- =413
x x +-
- =343
x x x ---- =73
x -- 【点睛】 本题考查分式的混合运算和二次根式的混合运算，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
25．（1）3
3；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）作点E 关于AD 的对称点F ，连接PF ，则PE=PF ，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF ⊥AB 时，PC+PE=PC+PF=CF （最短），最后根据勾股定理，求得CF 的长即可得出PC+PE 的最小值；
（2）根据轴对称的性质进行作图．
方法1：作B 关于AC 的对称点E ，连接DE 并延长，交AC 于P ，连接BP ，则∠APB=∠APD ．
方法2：作点D 关于AC 的对称点D'，连接D'B 并延长与AC 的交于点P ，连接DP ，则∠APB=∠APD ．
试题解析：（1）【解决问题】
如图②，作点E 关于AD 的对称点F ，连接PF ，则PE=PF ，
当点F ，P ，C 在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF （最短），
当CF ⊥AB 时，CF 最短，此时BF=12
AB=3（cm ）， ∴Rt △BCF 中，CF=2222=63=33BC BF --cm ），
∴PC+PE 的最小值为3cm ；
（2）【拓展研究】
方法1：如图③，作B 关于AC 的对称点E ，连接DE 并延长，交AC 于P ，点P 即为所
求，连接BP，则∠APB=∠APD．
方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P 即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．
四、压轴题
26．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）15
4
；（4）经过
80
3
s点P
与点Q第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；
（2）利用SAS可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；
（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
27．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-
⎪⎝⎭；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明． 【详解】 解：（1）21280a b a b --++-=，
又∵|21|0a b --≥，280a b +-≥，
|21|0a b ∴--=，280a b +-=，即210280
a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23
a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，1
1195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦
， 化简，得
3||42
t =， 解得，83
t =±， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭；
EF CD，交y轴于点F，如图所示，
（3）证明：过点E作//
∠=∠，
则ECD CEF
BCE ECD
∠=∠，
2
BCD ECD CEF
∴∠=∠=∠，
33
OG AB，交PE于点G，如图所示，
过点O作//
∠=∠，
则OGP BPE
∠，
PE平分OPB
∴∠=∠，
OPE BPE
∴∠=∠，
OGP OPE
CD AB，
由平移得//
∴，
//
OG FE
∴∠=∠，
FEP OGP
∴∠=∠，
FEP OPE
∠=∠+∠，
CEP CEF FEP
∴∠=∠+∠，
CEP CEF OPE
∴∠=∠-∠，
CEF CEP OPE
∴∠=∠-∠．
3()
BCD CEP OPE
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
28．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH2EF，CH＝
2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AB＝AC＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠AED＝20°，
∴∠ABE＝∠AED＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH2EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH2CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH2AF，
∵在Rt △AEF 中，AE
2＝AF 2+EF 2，
∴（2AF ）2+（2EF ）2＝2AE 2，
∴EH 2+CH 2＝2AE 2．
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.
29．（1）5；（2）
221；（3）221 【解析】
【分析】
（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；
（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使
∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；
（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.
【详解】
解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，
由题意可得：∠BAC=90°，
∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，
∴∠MAB=∠NCA ，
在△ABM 和△CAN 中， ===AMB CNA MAB NCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABM ≌△CAN （AAS ），
∴AM=CN=2，AN=BM=1，
∴AB=22251=+；
（2）分别过点B ，C 向l 1
作垂线，交l 1于P ，Q 两点，
在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAB+∠NAC=60°，
∵∠ABM+∠MAB=60°，
∴∠ABM=∠NAC ，
在△AMB 和△CNA 中，
===AMB CNA ABM NAC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△AMB ≌△CNA （AAS ），
∴CN=AM ，
∵∠AMB=∠ANC=120°，
∴∠PMB=∠QNC=60°，
∴PM=
12BM ，NQ=12
NC ， ∵PB=1，CQ=2，
设PM=a ，NQ=b ， ∴2221=4a a +，2222=4b b +，
解得：3=a ，23=b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
=433， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=221；
（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，
过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC ，∠ACB=60°，
∴∠BCN+∠ACM=120°，
∵∠BCN+∠NBC=120°，
∴∠NBC=∠ACM ， 在△
BCN 和△CAM 中，
BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCN ≌△CAM （AAS ），
∴CN=AM ，BN=CM ，
∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，
∴BN=2NP ，
在△BPN 中，222BP NP BN +=，
即22224NP NP +=，
解得：NP=233
， ∵∠AMC=60°，AQ=3，
∴∠MAQ=30°，
∴AM=2QM ，
在△AQM 中，222AQ QM AM +=，
即22234QM QM +=，
解得：QM=3，
∴AM=23=CN ，
∴PC=CN-NP=AM-NP=
43， 在△BPC 中，
BP 2+CP 2=BC 2，
即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=221.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角
形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.
30．（1）①见解析；②DE ＝
297；（2）DE 的值为 【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，
∴△BAE ≌△CAF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，
∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，
∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，
∴∠DAE ＝∠DAF ，
∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，
∴△AED ≌△AFD （SAS ）；
②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，
∴∠DCF ＝90°，
∵△AED ≌△AFD （SAS ），
∴DE ＝DF ＝x ，
∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，
∴x 2＝（7﹣x ）2+32，
∴x ＝297
， ∴DE ＝
297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．
∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝35；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝317，
综上所述，DE的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．。