如何证明极限不存在(精选多篇)

如何证明极限不存在(精选多篇)
证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:lim→x4y2x6+y6;lim→x2y2x2y2+2.
证明一般地,对于选择当沿直线y=kxy=kx趋近于时,有lim→x4y2x6+y6=limx→0k2x6x6=k21+k 6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛物线y=kx2+x→趋近于,则有l..
2
是因为定义域d={|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点
沿着两条直线y=2x
y=-2x趋于时
极限分别为-3和-1/3不相等
极限存在的定义要求延任何过直线求极限时极限都相等
所以极限不存在
3
lim趋向于无穷大/
证明该极限不存在
lim/
=lim/-8y/
=1-lim8/
因为不知道x、y的大校
所以lim趋向于无穷大/
极限不存在
4
如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
若存在实数l，使limsin=l，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，
①记x1=1/∈x，有sin=1，
②记x2=1/∈x，有sin=-1，
使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。

即|1-l|这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。

所以，使limsin=l成立的实数l 不存在。

如何证明极限不存在反证法
若存在实数l，使limsin=l，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，
①记x1=1/∈x，有sin=1，
②记x2=1/∈x，有sin=-1，
使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。

即|1-l|这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。

所以，使limsin=l成立的实数l 不存在。

反证法：
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在
矛盾
所以原命题成立
令y=x,lim趋于xy/x+y
=limx/=0
令y=x-x,lim*b…
因此二项式定理
下面用二项式定理计算这一极
限：
用二项式展开得：
++* +* +…+*—*—*
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。

因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。

余下分母。

于是式一化为：
=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1 /n!
当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。

这一数值定义为e。

证明二重极限不存在如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f不存在,通常的方法是:找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道
limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-=0→时,所得的结论就不同→1)。

为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，一g=0趋近于来讨论，一0g，y。

可能会出现错误，只有证明了不是孤立点后才不会出错。

o13a1673-38780l__0l02__02如何判断二重极限不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这些曲线趋于时，f趋于不同的值，则可判定二重极限limf不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一
点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f一g：0，这样做就很容易出错。

3
当沿曲线y=-x+x趋于时，极限为lim/x=-1;
当沿直线y=x趋于时，极限为limx/2x=0。

故极限不存在。

4
x-y+x+y
f=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x+y
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x+y
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,->时，易证极限不同，所以它的二重极限不存
不如何证明极限不存在
一、归结原则
原理:设f在u0内有定义，limf 存在的充要条件是：对任何含于
x?x0
u且以x0为极限的数列?xn?极限limf都存在且相等。

’
n??
例如：证明极限limsin
x?0
1x
不存在
12n??
证：设xn??
1n?
?,xn?
?
2
，则显然有
xn?0,xn?0，si由归结原则即得结
??
?0?0,si?1?1??xnxn
二、左右极限法
原理：判断当x?x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。

例如：证明f?arctan
当x
?0
时的极限不存在。

1x)?
1x
)??
?
2
x=0，limarctan?lim?arctan，
所以当x?0时，arctan的极限不存在。

三、证明x??时的极限不存在
原理：判断当x?
?
时的极限，只要考察x???与x???时的极限，如果两者
相等，则极限存在，否则极限不存在。

例如：证明f?ex在x?
x???
?
时的极限不存在
x???
x???
xxxx
因为lime?0，lime???；因此，lime?lime
x???
所以当x?
四、柯西准则
?
时，ex的极限不存在。

0’
原理：设f在u内有定义，limf 存在的充要条件是：任给?
x?x0
?0
，存
在正数?，使得对任何x?,x???u0，使得f?f??0。

例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何??0，设正数n?
x??1
n?,x???1
n??1?，令?
2即证。

五、定义法
原理：设函数f在一个形如的区间中有定义，对任何a?r，如果存在
?0?0，使对任何x?0都存在x0?x,使得f?a??0,则f在x???
x???时没有极限。

例如：证明limcosx不存在
设函数f?cosx，f在中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何??0，取?0?0 反证法数学归纳法极限证明
1.设f在上无穷次可微，且f??，求证当k?n?1时，?x， limf?0． x???
2.设f??0sinntdt，求证：当n
为奇数时，f是以2?为周期的周期函数；当n为
偶数时f是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． x
f?0．?{xn}?3.设f在上无穷次可微；ff??0xlim求证：n?1，???
?n，0?xn?xn?1，使f?0．
sin)?1．求证limf存在． 4.设f 在上连续，且xlim???x???
5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。

6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n
7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.
8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。

an?1
t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限。

证明：函数f在?a,b?上有界。

10.设limn??an?a,证明：
lima1?2a2???nana?. n??2n2
11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。

12.证明：若???
af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.
11?an?收敛。

?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2? 2?
n
14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.
15.设f?x?在上连续，且
f?0,记fvn?f,?n?
?exp{
b?a
，试证明：n
1b
lnfdx}并利用上述等式证明下?ab?a
式
2?
?
2?
lndx?2lnr
f?f
?k
b?a
34.设f‘?k,试证明lim
a?0?b?0?
35.设f连续，???0fdt，且lim
x?0
论?’在x?0处的连续性。

f
，求?’，并讨?a
x
36．给出riemann积分?afdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1
lim?s。

n??ni?0n
?x322
,x?y?0?2
37.定义函数f?x???x?y2. 证明
f?x?在?0,0?处连续但不可微。

?0,x?y?0?
n?1
b
38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.
39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0
f?2x??f?x??a,求证：f’?0?存在且等于a.
x
1n
40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.
n??ni?1
41.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f’?x??0,f’’有界，则limt??f’?t??0
42.用???分析定义证明limt??1
? x2?92
43.证明下列各题
?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；
n?1
?
?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;
n??
n?1
?
?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.
?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?
a?1。

45.设an?0，n=1,2，an?a?0,,证 limn
?
46.设f为上实值函数，且f＝1，f?＝〔1，＋?〕
limf存在且小于1＋。

x?＋?4
，证明x?1）2
x2＋f
?
47.已知数列{an}收敛于a，且
a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于a
n
48.若f?x?在?0,???上可微，lim
n??
f
?0，求证?0,???内存在一个单
x??x
调数列{?n}，使得lim?n???且limf??0
n??
x??e?sinx?cosx?,x?0
49.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f’’?x?在???,??处处存在。

??ax?bx?c,x?0。