全等三角形的性质及判定

全等三角形
第1节全等三角形的性质和判定
【知识梳理】
1、全等图形：
能够完全重合的两个图形就是全等图形．
2、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
4、全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
【诊断自测】
1、如果ΔABC≌ΔDBC，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，
∠DCB的对应角是_____．
2、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝
_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．
3、如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．
【考点突破】
类型一：全等形
例1、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案_____全等图案，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片____全等图形。

（填“是”或者“不是”）
类型二：全三角形的定义和性质
例2、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
例3、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA=28：5：3，则∠α的度数为（）
A．90°B．85°C．80°D．75°
类型三：全等三角形的判定（SSS）
例4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
例5、已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，
只要证______≌______
证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），
∴______＝______
在△______和△______中，
⎪⎩⎪⎨⎧===),
______(____________,
),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．
∴ ∠PRM ＝______（______）．
即RM ．
例6．已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .
类型四：全等三角形的判定（SAS ）
例7. 已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．
求证：∠D ＝∠B ．
分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______
证明：在△AOD 与△COB 中，
⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(
______),(OD CO AO
∴ △AOD ≌△______ （ ）．
∴ ∠D ＝∠B （______）．
例8、小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）
例9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
类型五：全等三角形的判定（AAS和ASA）
例10、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（）
A．SAS B．SSA C．ASA D．HL
例11. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是
例12、已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______，
只要证______≌______．
证明：在△______与△______中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),
______(______),
______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．
∴PA ＝______ （ ）．
∵PM ＝PN （ ），
∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．
例13、已知：AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB ．求证：AD=AC ．
．
例14、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点
D ．求证：△DEC ≌△CDA ．
类型六：全等三角形的判定（HL ） 例15.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和
△DEF 全等的是( )
A.AB=D E,AC=DF
B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF
D.∠C=∠F,BC=EF
例16、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BD=BC,若AC=6，则AE+DE=_____
【易错精选】
1、如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（）
A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，
BC=8，则梯形ABCD的周长为（）
A．22 B．24 C．26 D．28
3、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与
右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度
A C
B
E
D
【精华提炼】
判定三角形全等的基本思路：
SAS SS HL
SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩
找夹角已知两边 找直角 找另一边 AAS ASA SA AAS
SAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AA AAS →⎧⎨→⎩
找两角的夹边已知两角 找任意一边 备注：寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴ 平移全等型
⑵ 对称全等型
⑶ 旋转全等型
【本节训练】
训练【1】如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．
训练【2】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
训练【3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．
【训练4】．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．
基础巩固
一、选择题
1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3、下列说法正确的是（）
A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;
B、全等三角形的周长和面积都一样 ;
C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;
D、全等三角形的边都相等
4、下列两个三角形中，一定全等的是（）
A. 两个等边三角形
B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
5、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )
A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定
6、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
二、填空题
6、如图，在△
ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与
B E相交于点F，
若BF=AC，则∠ABC=_______
7、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ 于E，且AD=2cm，DB=4cm，则梯形ADEC的面积是 _____．
A
8、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；
（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？
三、简答题
9、如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．
10、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高线，求证：AD⊥EF。

11、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，
过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段A E与EF的数量关系，并说明理由。

巅峰突破
1、如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边
三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. △ACE ≌△BCD
B. △BGC ≌△AFC
C. △DCG ≌△ECF
D. △ADB ≌△CEA
2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC ．∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且 BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：
①△BCD ≌△CBE ；②△BAD ≌△BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ； ⑤△ACE ≌△BCE ；上述结论一定正确的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③⑤
D ．①③④
3、如图，△ABC
中，AB=AC ，BD=CE ，BE=CF ，若∠A=40°，则∠DEF 的度数是（ ）
第1题图 第2题图
A．75°B．70°C．65°D．60°
4、如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
5．如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于（）
A．585°B．540°C．270°D．315°
6、如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF．
（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下三种可能的位置时，EF、AE、BF三者之间的数量关系．（直接填空）
①当AD＞BD时，关系是：．
②当AD=BD时，关系是：．
③当AD＜BD时，关系是：．
7、如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
8、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
9、（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．
求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．。