2018年西宁市中考数学试卷

2018年西宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2018的绝对值是（）
A．2018 B．﹣2018 C．±2018 D．﹣
2．下列计算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．a3•a2=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（a2）4=a8
3．方程2x+1=3的解是（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣2
4．如图，放置于同一水平面上的四个几何体中，俯视图为四边形的是（）
A．B．C．D．
5．使二次根式有意义的x的取值范围是（）
A．x＞2B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
6．若一个不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和1个红球，这些球除颜色外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为（）
A．B．C．D．
7．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
8．小明、小亮同时为校园文化艺术节制作彩旗，已知小明每小时比小亮多做5面彩旗，小明做60面彩旗与小亮做50面彩旗所用时间相同，问小明每小时做多少面彩旗？若设小明每小时做x面彩旗，则下列方程组符合题意的是（）
A．=B．=C．=D．=
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．
A．四B．三C．二D．一
10．如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB=4，∠DAB=60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为（）
A．B．C． +D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为．
12．因式分解：x3﹣x=．
13．随着“青海湖旅游胜地”建设的全面推进，西宁旅游吸引力进一步提高，据统计，2017西宁市共接待国内外游客54.73万人次，将54.73万人次用科学记数法表示为人次．
14．在学校组织的数学实践活动中，小新同学制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是．
15．如图所示，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到F，使EF=DE，若AB=10，BC=8，则四边形BCFD的周长=．
16．如图，已知直线AB与反比例函数和交于A、B两点，与y轴交于点C，若AC=BC，则S△AOB=．
17．如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠ACD的值是．
18．13．甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B两个书店购书，则甲、乙、丙三名学生到同一个书店购书的概率为．
19．如图，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为．
20．如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于
G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为．
三、解答题（本大题共8小题，共70分）
21．计算：（）﹣1﹣+（π﹣1）0+tan60°．
22．先化简，后求值：，其中a=3．
23．如图，已知点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．
24．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源，生活垃圾一般按如图所示A、B、C、D四种分类方法回收处理，某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查、统计了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类处理情况，并将调查统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：
根据图表解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共吨；
（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？
25．如图，山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC，在山脚点D处测得塔顶A和塔基B 的仰角分别为60°和45°．求山的高度BC．（结果保留根号）
26．如图，已知AB是⊙O的直径，弦ED⊥AB于点F，点C是劣弧AD上的动点（不与点A、D重合），连接BC交ED于点G．过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）当点G是BC的中点时，求证：CG2=BF•OB；
（3）已知⊙O的半径为5，在满足（2）的条件时，点O到BC的距离为，求此时△CGP的面积．
27．数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．
下面是他的探究过程，请补充完整：
定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．
（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；
提出猜想
（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）
推理证明：
（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
问题解决
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．
（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）
28．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C 是抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线的对称轴与x轴交于点E．
（1）直接写出抛物线的解析式为；
（2）以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，求⊙E的半径；
（3）连接BC，点P是第三象限内抛物线上的动点，连接PE交线段BC于点D，当△CED为直角三角形时，求点P的坐标．
2018年西宁市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2018的绝对值是（）
A．2018 B．﹣2018 C．±2018 D．﹣
【考点】绝对值．
【分析】直接根据绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣2018的绝对值是2018
故选A．
2．下列计算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．a3•a2=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（a2）4=a8
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式分解化简求出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；
B、a3a2=a5，故此选项错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
D、（a2）4=a8，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算法则以及结合合并同类项法则和完全平方公式等知识，正确掌握相关法则是解题关键．
3．方程2x+1=3的解是（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣2
【考点】一元一次方程的解．
【分析】根据解方程，可得方程的解．
【解答】解：移项，得
2x=3﹣1，
合并同类项，得
2x=2，
系数化为1，得
x=1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用解一元一次方程的一般步骤是解题关键．
4．如图，放置于同一水平面上的四个几何体中，俯视图为四边形的是（）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】可根据各几何体的特点，得出俯视图形状是正方形即可．
【解答】解：圆柱的俯视图是圆形，不符合题意；
三棱柱的俯视图是三角形，不符合题意；
球体的俯视图是圆，不符合题意；
正方体的俯视图为正方形，符合题意；
故选D．
【点评】此题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
5．使二次根式有意义的x的取值范围是（）
A．x＞2B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
6．若一个不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和1个红球，这些球除颜色外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】由一个不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和1个红球，这些球除颜色外其他完全相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和1个红球，这些球除颜色外其他完全相同，
∴从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为：=．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，
当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．
8．小明、小亮同时为校园文化艺术节制作彩旗，已知小明每小时比小亮多做5面彩旗，小明做60面彩旗与小亮做50面彩旗所用时间相同，问小明每小时做多少面彩旗？若设小明每小时做x面彩旗，则下列方程组符合题意的是（）
A．=B．=C．=D．=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意利用小明做60面彩旗与小亮做50面彩旗所用时间相同得出等式，进而求出答案．
【解答】解：设小明每小时做x面彩旗，根据题意可得：
=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．
A．四B．三C．二D．一
【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据m的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．
【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）=4+4m＜0，
解得：m＜﹣1．
∵一次函数y=（m+1）x+m﹣1中，k=m+1＜0，b=m﹣1＜0，
∴该一次函数图象在第二、三、四象限．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出m的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
10．如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB=4，∠DAB=60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为（）
A．B．C． +D．
【考点】轨迹；菱形的性质．
【分析】画出图象即可知道从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中弧线长，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中弧线长．
由题意可知=，∠DOA2=120°，DO=4
所以点A运动经过的路径的长度=2×+=π+π，
故选A．
【点评】本题考查菱形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是正确画出图象，探究点A的运动轨迹，记
住弧长公式=，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3）．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答．
【解答】解：点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．因式分解：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．随着桂林“国际旅游胜地”建设的全面推进，桂林旅游吸引力进一步提高，据统计，仅2016年春节假日期间，桂林市共接待国内外游客54.73万人次，将54.73万人次用科学记数法表示为 5.473×105人次．【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
故答案为：5.473×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．在学校组织的数学实践活动中，小新同学制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是3π．
【考点】圆锥的计算．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的高，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的母线长==3，
所以这个圆锥的侧面积=•2π•1•3=3π．
故答案为3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．如图所示，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到F，使EF=DE，若AB=10，BC=8，则四边形BCFD的周长=26．
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】根据D、E分别为AB、AC中点，可证明DE为三角形ABC的中位线，通过证明△ADE和△CFE 全等则可得到AD=CF，由已知数据即可求出四边形BCFD的周长．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE=BC，
∵BC=8，
∴DE=4，
∵在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=BD=AB=5，
∵DE=FE=4，
∴DF=8，
∴四边形BCFD的周长为：BD+BC+CF+DF=5+8+8+5=26，
故答案为：26．
【点评】本题考查了三角形的中位线性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，解题的关键是熟记各种性质定理和判定定理．
16．如图，已知直线AB与反比例函数和交于A、B两点，与y轴交于点C，若AC=BC，则
S△AOB=．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图，先证明△ACD≌△BCE得到S△ACD=S△BCE，再利用面积代换得到S△AOB=S△AOD+S△BOE，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义进行计算．
【解答】解：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴S△ACD=S△BCE，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=S△AOD+S△ACD+S△BOC
=S△AOD+S△BCE+S△BOC
=S△AOD+S△BOE
=|﹣1|+|2|
=．
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：一次函数与反比例函数的交点坐标满足两个函数解析式．也考查了反比例函数比例系数k的几何意义．
17．如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，
则sin∠ACD的值是．
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，证出△AEF∽△CEB，得出对应边成比例
=，设AF=DF=a，AE=x，则CE=2x，AC=3x，再证明△AEF∽△ADC，得出，得出x=，
AC=a，再由三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：∵点F是边AD的中点，
∴AF=DF=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，
∴AF=BC，△AEF∽△CEB，
∴=，
设AF=DF=a，AE=x，则CE=2x，AC=3x，
∵BF⊥AC，
∴∠AEF=∠D=90°，
∵∠EAF=∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
即，
解得：x=，
∴AC=a，
∴sin∠ACD==，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
18．【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的情况数，然后根据概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
由树状图知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的有2种情况，
∴甲、乙、丙三名学生到同一个书店购书的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不
重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．【分析】过点O作OE⊥AC，交AC于D，连接OC，BC，证明弓形OC的面积＝弓形BC的面积，这样图中阴影部分的面积＝△OBC的面积．
【解答】解：过点O作OE⊥AC，交AC于D，连接OC，BC，
∵OD＝DE＝OE＝OA，
∴∠A＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC＝2，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC，
∴弓形OC面积＝弓形BC面积，
∴阴影部分面积＝S△OBC＝×2×＝．
故答案为：
【点评】本题考查了折叠问题、扇形的面积．解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为△OBC的面积．
20．【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长．
【解答】解：作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为12，BE＝8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点，
∴DF＝4，CF＝8，EF＝12，
∴MQ＝4，PN＝2，MF＝6，
∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE＝8，DF＝4，
∴△EGB∽△FGD，
∴，
即，
解得，FG＝4，
∴FN＝2，
∴MN＝6﹣2＝4，
∴QH＝4，
∵PH＝PN+QM，
∴PH＝6，
∴PQ＝＝，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共8小题，共70分）
21．计算：（）﹣1﹣+（π﹣1）0+tan60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣2+1+=3﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．先化简，后求值：，其中a=3．
【考点】分式的化简求值．
【分析】现将括号内的部分因式分解，通分后相加，再将除法转化为乘法，最后约分．再将a=3代入即可
【解答】解：÷
=÷
=
=
=
=
=a．
∴当a=3时，原式=3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分是解题的关键．
23．如图，已知点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB=CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE=FD，易证四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∵AE=CF．
∴BE=FD，BE∥FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE=BF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源，生活垃圾一般按如图所示A、B、C、D四种分类方法回收处理，某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查、统计了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类处理情况，并将调查统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：
根据图表解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共3吨；
（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？
【考点】条形统计图；统计表；扇形统计图．
【分析】（1）根据D类垃圾量和所占的百分比即可求得垃圾总数，然后乘以其所占的百分比即可求得每个小组的频数从而补全统计图；
（2）求得C组所占的百分比，即可求得C组的垃圾总量；
（3）首先求得可回收垃圾量，然后求得塑料颗粒料即可．
【解答】解：（1）观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%，
垃圾总量为5÷10%=50（吨），
故B类垃圾共有50×30%=15（吨），
（2）∵C组所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣54%=6%，
∴有害垃圾为：50×6%=3（吨），
故答案为：3；
（3）5000×54%××0.7=378（吨），
答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
25．如图，山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC，在山脚点D处测得塔顶A和塔基B 的仰角分别为60°和45°．求山的高度BC．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】Rt△BCD中，根据∠BDC的正切函数，可用BC表示出CD的长；进而可在Rt△ACD中，根据∠ADC的正切函数，列出关于BC的等量关系式，即可求出BC的长．
【解答】解：由题意知∠ADC=60°，∠BDC=45°，
在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，
在Rt△ACD中，
tan∠ADC===，
∴BC=10（+1），
答：小山高BC为10（+1）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
26．如图，已知AB是⊙O的直径，弦ED⊥AB于点F，点C是劣弧AD上的动点（不与点A、D重合），连接BC交ED于点G．过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）当点G是BC的中点时，求证：CG2=BF•OB；
（3）已知⊙O的半径为5，在满足（2）的条件时，点O到BC的距离为，求此时△CGP的面积．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，根据余角的性质得到∠B=∠OCG，等量代换得到∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是得到∠PGC=∠PCG，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，根据相似三角形的性质得到BG2=BO•BF，等量代换得到结论；
（3）连结OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG2=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；
（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下：连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG2=BO•BF，
∴CG2=BO•BF；
（3）解：连结OE，如图，
由（2）得OG⊥BC，
∴OG=，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG==2，
由（2）得BG2=BO•BF，
∴BF==4，
∴OF=1，
∴FG==2，
过P作PH⊥BC于H，
∵PC=PG，
∴GH=CG=BG=，
∵∠PHG=∠BFG=90°，∠BGF=∠DGH，
∴△BFG∽△PHG，
∴，即，
∴PH=2，
=CG•PH=×2×2=10．
∴S
△CGP
【点评】本题考查了垂径定理以及推论，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27．数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．
下面是他的探究过程，请补充完整：
定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．
（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；
提出猜想
（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）
推理证明：
（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
问题解决
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．
（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）
【分析】（1）在⊙O内任取一点M，连接AM，BM；
（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解；
（3）（i）BM与⊙O相交于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠ACB＝∠M+∠MAC，进而可证出∠ACB＞∠M；（ii）延长BM交⊙O于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠AMB ＝∠ACB+∠CAM，进而可证出∠AMB＞∠ACB；
（4）由（2）的结论，可知：当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．
【解答】解：（1）如图2所示．
（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．
故答案为：小于；大于．
（3）证明：（i）如图1，BM与⊙O相交于点C，连接AC．
∵∠ACB＝∠M+∠MAC，
∴∠ACB＞∠M；
（ii）如图4，延长BM交⊙O于点C，连接AC．
∵∠AMB＝∠ACB+∠CAM，
∴∠AMB＞∠ACB．
（4）如图3，当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．
【点评】本题考查了圆的综合应用以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）依照题意画出图形；
（2）观察图形，找出结论；（3）利用三角形外角的性质证出：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角；（4）利用（2）的结论找出点P的位置．
28．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C 是抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线的对称轴与x轴交于点E．
（1）直接写出抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，求⊙E的半径；
（3）连接BC，点P是第三象限内抛物线上的动点，连接PE交线段BC于点D，当△CED为直角三角形时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先利用一次函数解析式求出A点和B点坐标，再把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；。