二维平面的麦克斯韦速率分布

二维平面的麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布是一种描述理想气体中不同速率分子的概率分布的数学模型，能够
很好地解释气体热学性质、动力学性质和传输性质。

它最早由麦克斯韦于1860年提出，是理想气体动力学的重要基础。

二维平面中的麦克斯韦速率分布与三维空间的情况类似，但存在一些不同之处。

本文
将重点介绍二维平面中的麦克斯韦速率分布。

首先，需要了解二维平面上的分子速度是矢量，其大小为速率，给定两个方向分量。

因此，需要以速率的大小为自变量而非速度的大小。

对于具有质量m、速率为v的单个分子，其具有的能量为Ek=1/2mv2，因此速率在
(v,v+dv)范围内的分子具有的能量区间为(Ek, Ek+dEk)。

在单位面积中，速率处于(v,v+dv)的分子数可以通过以下方程计算：
dN = 2πN (m/2πKT) exp(-mv2/2KT) vdvdθ
其中，N为单位体积中的分子数，m为单个分子的质量，T为温度，K为玻尔兹曼常数，θ为速率的方向角。

这个方程的前半部分2πN代表速率和方向角两个自由度。

因此，在任何一个方向上，单位面积中的分子数将是2πN。

后半部分的指数函数代表了分子能量与温度的关系。

因此，对于一个给定的温度，速率较高的分子所占比例相对较小。

二维平面中麦克斯韦速率分布的大小是由分子在两个方向上的速率来描述的，因此需
要乘以2πv。

因此，单位面积中速率为v的分子在速率方向上的数目可以写成以下形式：
其中，dvdvθ表示单位面积范围内速率为(v,v+dv)、方向角为(θ,θ+dθ)的分子所
占的体积分数。

由于在速率方向上，每个分子都可以被描述为一个面积为2πv的圆，因此需要乘以该因子来取得正确的分子数量。

这个方程被称为二维平面麦克斯韦速率分布函数，描述了单位面积中速率在(v,∞)范
围内的分子数。

因为单位面积中速率的数量与速率平方成比例，因此，速率的平均值为：
<v> = ∫vN(v)dv / ∫N(v)dv
=<v2>1/2 = (2KT/πm)1/2
其中，<v>表示速率的平均值，<v2>表示速率平方的平均值。

这个结果与三维情况下相同。

总体上，二维平面的麦克斯韦速率分布与三维情况下类似，但存在一些差异，其中最明显的是速率分布函数中速率、分子数和体积之间的关系。

如果计算正确，上述公式可以很好地解释二维平面理想气体的动力学性质。