2013年高考辽宁卷(理)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的11
Z i =-模为
（A ）12
（B ）2 （C （D ）2 2．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则
A ．()01，
B ．(]02，
C ．()1,2
D ．(]12， 3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为
（A ）3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
{}1:n p a 数列是递增数列；
{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为
（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是
（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60
6．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
且a b >，则B ∠=
A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π 7．使得()3n x n N n
+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的
A ．511
B ．1011
C ．3655
D ．7255 9．已知点()()()
30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 A ．3b a = B ．31b a a
=+ C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝
⎭ D ．3310b a b a a -+--= 10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，
112AA =，则球O 的半径为
A ． C ．132
D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=
（A ）2216a a -- （B ）2
216a a +- （C ）16- （D ）16 12．设函数()()()()()2
2
2,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值
（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2
540x x -+=的两个根，则6S = .
15．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=，则C 的离心率e = . 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组
的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）设向量)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦
[来源:Zxxk.] （I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值 [来源:Zxxk.]
18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。

（I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面；
（II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。

（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是
35，答对每道乙类题的概率都是
45
，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线
2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）01x =，切
线.MA 的斜率为12
-。

（I ）求p 的值；
（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程。

()
,,.A B O O 重合于时中点为
21．（本小题满分12分）
已知函数()()()[]3
21,12cos .0,12
e x
x f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11-;1x f x x
≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 取值范围。

[来源:学&科&Z&X&X&K]
[来源:ZXXK]
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题下方的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于CD 于C EF ，，垂直于F ，连接,AE BE 。

证明：[来源:学§科§Z§X§X§K]
（I ）;FEB CEB ∠=∠ （II ）2
.EF AD BC =
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程
分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛
⎫==-= ⎪⎝⎭
. （I ）求1C 与2C 交点的极坐标；
（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点。

已知直线PQ 的参数方程为
()3312
x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数，求,a b 的值。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x a =-，其中1a >。

（I ）当=2a 时，求不等式()44f x x ≥=-的解集；
（II ）已知关于x 的不等式()(){}
222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，求a 的值。

参考答案
一选择题：
1. B
2. D [来源:ZXXK]
3. A
4.D[来源:ZXXK]
5.B
6.A
7.B
8.A
9.C
10.C
11.B
12.D
13.1616
π-
14. 63
15. 5 7
16. 10
17．
[来源:学。

科。

Z。

X。

X。

K]
18．
19．
[来源:Zxxk.]
20．
21．
22．
[来源:学*科*Z*X*X*K]
23．
24．。