利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题

利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题
kuing
近几日，在群内连续两次出现抛物线焦点弦问题，且我发现两题很相似，都可以用一些常用的熟知结论，几何化地去解决，不需要麻烦的代数化去解。

现整理如下。

先以引理结出这些常用结论，其详细证明这里略去，有兴趣可以自己试试证。

引理一：过抛物线焦点F 的直线交抛物线于两点A 、B 两点，过这两点分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，则有：（1）AM BM ⊥；（2）FM AB ⊥；（3）点M 必在抛物线的准线上；
引理二：（光学性质——抛物线）过抛物线焦点F 的光线经抛物线反射后的光线必定平行于抛物线的对称轴；
引理三：过离心率为e ，焦准距为p 的圆锥曲线的焦点F 作两条互相垂直的直线，若这两条直线分别
交圆锥曲线于A 、B 及C 、D ，且F 在A 、B 之间，F 在C 、D 之间，则有：2
1122e AB CD ep
−+=； 引理四：梯形ABCD 中，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点P ，过P 作与梯
形两底边平行的直线交梯形两腰于E 、F ，则有211EF AD BC
=+。

（注：前三个引理我均在人教论坛中某收集解释几何常用结论的贴
中结出过；引理三我在论坛中贴过详细证明，用的是极坐标方法，搜索
我的主题可以找到；引理四是初中内容）
题一：
解：
（I ）如图所示：
由引理一，可知AMB ∆为直角三角形，M 为直角，点M 在准线上，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，取AB 的中点G ，连结GM 。

由于AMB ∆为直角三角形且M 为直角且GM 为其斜边上的中线，于是易得12∠=∠，引理二，可知234∠=∠=∠，因此得到14∠=∠，于是易知GM 也与准线垂直，即GM 为直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以显然A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列，得证。

（II ）由引理一，可知FM AB ⊥，因此由引理三以及抛物线离心率是e=1以及本题中易知焦准距为p=2，代入即知
1114
AB CD +=， 又易知四边形ABCD 的面积为12
S AB CD =⋅，又由基本不等式有
4111AB CD AB CD AB CD
≥⋅+===+， 即得32S ≥，且等号成立当且仅当AB=CD 可取到，即四边形ABCD 的面积的最小值为32。

题二：抛物线24x y =内两条焦点F 的相互垂直的弦AB 和CD 的中点为M 、N 。

求证MN 恒过定点。

解：如图所示：
过A 、B 、C 、D 分别作抛物线的切线，A 、B 的切线交于P ，C 、D 的切线交于Q ，作直线PQ 交y 轴于J ，直线MN 交y 轴于K ，连结MP 、NQ 。

由引理一，可知APB ∆、CQD ∆均为直角三角形，P 、Q 为直角，且直线PQ 即为抛物线的准线。

且PF 垂直于AB 于F ，而CD 也垂直AB 且过F ，因此显然P 、C 、F 、N 、D 共线，同理Q 、A 、F 、M 、B 也共线。

为得出一般性，这里暂且当焦准距为未知数p ，由引理三，可知
1112AB CD p
+=， 由直角三角形斜边上中线等于斜边之半，有AB=2MP ，CD=2NQ ，代入上式即得
111MP NQ p
+=， 由题一的结论可知MP 、NQ 均垂直于准线PQ ，即有MP 平行于NQ ，因此由引理四，就有
211KJ MP NQ
=+，
即得
==，
22
KJ p FJ
于是得到F必为K、J的中点，而F、J都为定点，由此可见K也为定点，得证。

若代回此题中的数据，也易知定点K的坐标为(0,3)。

结尾再说多一句：如果在考试中像我这样的玩法，说不定没什么分会给你，所以这篇文章不适合应试之人观看。

2010-5-25.。