切线长定理及三角形内切圆

例2 PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= 5 ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= 6 .
A
O
P
B
二、三角形的内切圆及作法
思考
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使 截下来的圆与三角形的三条边都相切？
思路引导：半径为 r 的☉I 与△ABC 的三 边都相切，圆心 I 到三角形三边的距离相 等，都等于 r.
B
C
F O
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
B
D
C
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
归纳总结
你学会了吗？
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
小试牛刀
1.下列说法错误的是( C ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
24.2.2.3 切线长定理及 三角形内切圆
九年级上
学习目标
1.探索并证明切线长定理. 重点
2.了解三角形内切圆、内心的概念，对比区分内切圆与外接圆的区别
与联系. 难点 3.会运用切线长定理进行计算与证明. 难点
4.能用尺规作图：作三角形的外接圆.
Байду номын сангаас 新课引入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能 过点P画出⊙O的切线吗？
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外
B
C
切三角形.
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9，
BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.
解：设AF=x，则AE=x.CD=CE=AC-AE=13-x,
A E
BD=BF=AB-AF=9-x.
∴∠BID=∠IBD. ∴BD=ID．
课堂小结
切线长定理：从圆外一点可以 引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线 平分两条切线的夹角.
A
O
P
B
切线长定理
和三角形
内切圆
A
1.有关概念：内心的概念及性质
2.作辅助线的方法：①连顶点、
内心产生角平分线；②连切点、
I
内心产生半径及垂直条件.
例3 如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求
∠BIC的度数.
解：连接IB，IC. ∵点I是△ABC的内心， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
A
I
B
C
在△IBC 中，BIC 180 (IBC ICB)
180 1 (ABC ACB) 180 1 (43 61 ) 128 .
数学语言:
A
∵PA、PB是☉O的两条切线，A，B为切点
∴PA=PB,∠APO=∠BPO
O
P
应用条件:
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
B
∠OPA=∠OPB
小试牛刀
例1 下列说法正确的是( C ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
A.6 3
B.5 3
C.4 3
D.3 3
3.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相 交于点D.求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI. ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD. ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
AA
N
M
O
作法： 1.作∠ABC 和∠ACB的平分线 BM 和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
BB
D
CC ☉O就是所求的圆.
归纳总结
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
2
2
归纳总结
三角形内切圆
定义 定义 性质
与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切 圆
三角形三条角平分线的交点，叫做三角形 内心
三角形的内心到三角形三条边的距离相等
A
三角形内心
角度关系 ∠BOC 90 1∠A
2
O
B
C
位置
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的 内心位置均在三角形内部，等边三角形的 内心外心重合
∠BPO有什么关系？
A
O
P
B
如图，连接OA和OB.
A
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
O
P
又OA=OB,OP=OP.
∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP.
B
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
由此得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆
心的连线平分两条切线的夹角.
A
O.
P
B
新知学习 一、切线长定理及应用
下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系. 如图，圆的切线上某一点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
注意： ①切线是直线，不可度量； ②切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线 段的长，可以度量.
探究
如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画 出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO=
随堂练习
1.如图，☉O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，
且DE为☉O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE
的周长是（ A ）
A.7
B.8
C. 9
D. 16
2.如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD=4， BD=6.则△DBC的面积是（ A ）