2020年高中数学第一章立体几何初步77.1柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
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∴S 上底＝πa2，S 下底＝π(2a)2＝4πa2， S 侧＝π(a＋2a)·2a＝6πa2. ∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面积之比为(πa2)∶ (4πa2)∶(6πa2)＝1∶4∶6. 答案：1∶4∶6
设正三棱锥 S－ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正 三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
∴r＝H－H x·R， ∴S 圆柱侧＝2πr·x ＝2π·x·H－H x·R ＝2πRx－2HπR·x2(0＜x＜H)．
(2)由(1)知 S 圆柱侧表达式是一开口向下的二次函数． 当 x＝－－22×πR2HπR＝H2 此时0＜H2 ＜H时，满足题意． ∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识 7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 掌握柱、锥、台的侧面积公式，能计算简单几何体的侧面积 及表面积.
1．侧面积：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线 剪开后展开在一个平面上，__展_开__图______的面积就是它们的侧面 积．
h′为斜高．
练一练 (2) 已知正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则
此棱锥的侧面积为( )
A．6
B．12
C．24
D．48
解析：∵一个侧面三角形的面积为 S＝12×6× 52－32＝3×4 ＝12，
∴正四棱锥的侧面积为 12×4＝48.
答案：D
求简单几何体的侧面积应注意什么？ 答：无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积，应明确展 开图的形状，再求解侧面积公式中所需要的基本量．对于旋转体， 应在各旋转体的轴截面中，利用关键的直角三角形或直角梯形求 解各基本量；对于多面体，关键是利用直角三角形或直角梯形， 求出侧面的高．
9＋
3 6·
3h′2＝h′2，
h′＝2 3，∴a＝ 3h′＝6.
∴S 底＝ 43a2＝ 43×62＝9 3，
S 侧＝2S 底＝18 3， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝18 3＋9 3＝27 3.
【规律总结】 求正棱锥或正棱台的侧面积或表面积，关键 是求出斜高，主要利用斜高、棱锥(台)的高所构成的直角三角形 或梯形来实现目标．
∴侧面积为：4×1×2＝8.
答案：D
知识点二 锥体的侧面积
2．正三棱锥的底面边长为 a，高为 66a，则此棱锥的侧面积
等于( )
A.34a2
B．32a2
C．34 3a2
D．32 3a2
解析：侧棱长为
66a2＋
33a2＝
22a，
斜高为
22a2－a22＝a2，
∴S 侧＝12×3×a×a2＝34a2.故选 A.
【解】 如图，设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 SE，则 SE⊥AB，即 SE＝h′.
∵S 侧＝2S 底， ∴12·3a·h′＝2·43a2，a＝ 3h′. ∵SO⊥平面 ABC 且 OE 平面 ABC，
∴SO⊥OE，则 OS2＋OE2＝SE2，
∴32＋13× 23a2＝h′2，
课堂互动探究
典例精析 规律总结
牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合 体，尺寸如图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少 需要多少平方米的篷布？(精确到 0.01 m2)
【解】 上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52， 其侧面积为 S1＝π×52× 1.22＋2.52. 下部分圆柱体的侧面积为 S2＝π×5×1.8. S＝S1＋S2＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8 ≈50.03(m2)． 所以，要搭建这样的一个蒙古包至少需要约 50.03 平方米的 篷布．
【规律总结】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积都是由侧面展开 图推导而来的，要注意旋转体中的各量与展开图中各部分的联系．
一个直角梯形的上、下底和高的比为 1∶2∶ 3，则它旋转后的圆台的上底面面积、下底面面积和 侧面面积的比为________．
解析：如图，设梯形的上底、下底和高分别为 a,2a， 3a， 则母线长为 2a－a2＋ 3a2＝2a.
答案：A
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这
个圆锥的全面积是( )
A．3π
B．3 3π
C．6π
D．9π
解析：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 l＝2r.由题意 知，轴截面面积 S＝ 43×(2r)2＝ 3×r2＝ 3.∴r＝1，故圆锥的全 面积 S 全＝πr·l＋πr2＝3π.故选 A.
【规律总结】 解决组合体表面积问题，主要通过截面图形， 找到组合体各部分量之间的关系，把空间问题转化为平面问题求 解．
一圆锥底面半径为 2，母线长为 8，SA 为 一条母线，M 为 SA 的中点，由 A 点出发，经过圆 锥侧面绕一条绳子到 M 点，求绳子的最短长度．
解：将圆锥侧面展开在一个平面上(沿 SA 展开)， ∵r＝2，l＝8， ∴∠MSA＝2×82π＝π2. 连接 AM，则 AM 为所求的最小值． 在 Rt△MSA 中，AM＝
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl， S 圆锥侧＝___π_r_l ______. 其中 r 为底面半径，l 为侧面母线长． S 圆台侧＝__π_(_r_1＋__r_2_)l__. 其中 r1，r2 分别为上、下底面半径，l 为侧面母线长．
练一练 (1) 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一 半，且侧面积是 32π，则母线长为________．
2.
答案：A
5．某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则 该几何体的表面积为________．
解析：该几何体上半部分为半个圆柱，下半部分为四棱柱， 表面积为：π×22＋12×(2×π×2×5)＋5×4×2＋4×4×2＋5×4 ＝92＋14π.
答案：92＋14π
S 表面＝S 侧面＋S 底面＝3 215＋32 3＝3
15＋3 2
3 .
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
知识点一 直棱柱的侧面积
1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对
角线长为 6，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：由题意，此直棱柱底面边长为 1，高为 6－2＝2，
正四棱台 ABCD－A1B1C1D1 的两底面的边 长分别是 4 cm 和 16 cm，高是 12 cm.求这个棱台的侧面积．
解：如图，由题意得 O1M1＝12×4＝2 cm，
OM＝12×16＝8 cm，OO1＝12 cm.
过点 M1 作 M1N⊥OM 交 OM 于 N 点． 在 Rt△M1NM 中， M1M＝ M1N2＋NM2＝ 122＋8－22＝6 5 cm. 即该正四棱台的斜高 h′＝6 5 cm.
解析：π(r1＋r2)l＝π·2l·l＝32π，l＝4. 答案：4
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S 直棱柱侧＝___c_h_______，其中 c 为底面周长，h 为高．
1
S 正棱锥侧＝__2_c_h_′___，其中 c 为底面周长，h′为斜高． S 正棱台侧＝__12_(_c_＋__c′_)h_′____，其中 c′，c 分别为上、下底面周长，
∴该棱台的侧面积
S
侧
＝
1 2
(c
＋
c′)h′
＝
1 2
×(16
＋
64)×6
5＝
240 5 cm2.
已知一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在其中有 一个高为 x 的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积； (2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？
【解】 (1)圆锥及圆柱的轴截面如图所示，设所求圆柱底面半 径为 r.由截面图可得线段成比例，即Rr ＝H－H x，
3 .
【错因分析】 未区分开主视图三角形与侧面三角形，误把
棱锥的高作为斜高处理．
【正解】 由三视图可知该几何体是正六棱锥(如图)，其底面
边长为12BC＝12×2＝1，侧棱长为 AC＝2，斜高 AD
＝ AC2－CD2＝
22－122＝
15 2.
S 侧面＝6×12×1× 215＝3 215，
S 底面＝6× 43×12＝3 23，
82＋42＝4 5.
一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的表面 积．
【错解】 由主视图可知，底面六边形的边长为 1，∴S 底＝
6×
43×12＝3
2
3 .
S 侧＝6S△ABC＝6× 43×22＝6 3.
∴S 表＝323＋6
3＝152
答案：A
知识点三 组合体的表面积 4．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此 几何体的表面积是( ) A．(20＋4 2) cm2 B．21 cm2 C．(24＋4 2) cm2 D．24 cm2
解析：此几何体为四棱锥与正方体的组合体．
∴S＝2×2×5＋4×12×2×
2＝20＋4
设正三棱锥 S－ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正 三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
∴r＝H－H x·R， ∴S 圆柱侧＝2πr·x ＝2π·x·H－H x·R ＝2πRx－2HπR·x2(0＜x＜H)．
(2)由(1)知 S 圆柱侧表达式是一开口向下的二次函数． 当 x＝－－22×πR2HπR＝H2 此时0＜H2 ＜H时，满足题意． ∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识 7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 掌握柱、锥、台的侧面积公式，能计算简单几何体的侧面积 及表面积.
1．侧面积：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线 剪开后展开在一个平面上，__展_开__图______的面积就是它们的侧面 积．
h′为斜高．
练一练 (2) 已知正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则
此棱锥的侧面积为( )
A．6
B．12
C．24
D．48
解析：∵一个侧面三角形的面积为 S＝12×6× 52－32＝3×4 ＝12，
∴正四棱锥的侧面积为 12×4＝48.
答案：D
求简单几何体的侧面积应注意什么？ 答：无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积，应明确展 开图的形状，再求解侧面积公式中所需要的基本量．对于旋转体， 应在各旋转体的轴截面中，利用关键的直角三角形或直角梯形求 解各基本量；对于多面体，关键是利用直角三角形或直角梯形， 求出侧面的高．
9＋
3 6·
3h′2＝h′2，
h′＝2 3，∴a＝ 3h′＝6.
∴S 底＝ 43a2＝ 43×62＝9 3，
S 侧＝2S 底＝18 3， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝18 3＋9 3＝27 3.
【规律总结】 求正棱锥或正棱台的侧面积或表面积，关键 是求出斜高，主要利用斜高、棱锥(台)的高所构成的直角三角形 或梯形来实现目标．
∴侧面积为：4×1×2＝8.
答案：D
知识点二 锥体的侧面积
2．正三棱锥的底面边长为 a，高为 66a，则此棱锥的侧面积
等于( )
A.34a2
B．32a2
C．34 3a2
D．32 3a2
解析：侧棱长为
66a2＋
33a2＝
22a，
斜高为
22a2－a22＝a2，
∴S 侧＝12×3×a×a2＝34a2.故选 A.
【解】 如图，设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 SE，则 SE⊥AB，即 SE＝h′.
∵S 侧＝2S 底， ∴12·3a·h′＝2·43a2，a＝ 3h′. ∵SO⊥平面 ABC 且 OE 平面 ABC，
∴SO⊥OE，则 OS2＋OE2＝SE2，
∴32＋13× 23a2＝h′2，
课堂互动探究
典例精析 规律总结
牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合 体，尺寸如图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少 需要多少平方米的篷布？(精确到 0.01 m2)
【解】 上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52， 其侧面积为 S1＝π×52× 1.22＋2.52. 下部分圆柱体的侧面积为 S2＝π×5×1.8. S＝S1＋S2＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8 ≈50.03(m2)． 所以，要搭建这样的一个蒙古包至少需要约 50.03 平方米的 篷布．
【规律总结】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积都是由侧面展开 图推导而来的，要注意旋转体中的各量与展开图中各部分的联系．
一个直角梯形的上、下底和高的比为 1∶2∶ 3，则它旋转后的圆台的上底面面积、下底面面积和 侧面面积的比为________．
解析：如图，设梯形的上底、下底和高分别为 a,2a， 3a， 则母线长为 2a－a2＋ 3a2＝2a.
答案：A
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这
个圆锥的全面积是( )
A．3π
B．3 3π
C．6π
D．9π
解析：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 l＝2r.由题意 知，轴截面面积 S＝ 43×(2r)2＝ 3×r2＝ 3.∴r＝1，故圆锥的全 面积 S 全＝πr·l＋πr2＝3π.故选 A.
【规律总结】 解决组合体表面积问题，主要通过截面图形， 找到组合体各部分量之间的关系，把空间问题转化为平面问题求 解．
一圆锥底面半径为 2，母线长为 8，SA 为 一条母线，M 为 SA 的中点，由 A 点出发，经过圆 锥侧面绕一条绳子到 M 点，求绳子的最短长度．
解：将圆锥侧面展开在一个平面上(沿 SA 展开)， ∵r＝2，l＝8， ∴∠MSA＝2×82π＝π2. 连接 AM，则 AM 为所求的最小值． 在 Rt△MSA 中，AM＝
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl， S 圆锥侧＝___π_r_l ______. 其中 r 为底面半径，l 为侧面母线长． S 圆台侧＝__π_(_r_1＋__r_2_)l__. 其中 r1，r2 分别为上、下底面半径，l 为侧面母线长．
练一练 (1) 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一 半，且侧面积是 32π，则母线长为________．
2.
答案：A
5．某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则 该几何体的表面积为________．
解析：该几何体上半部分为半个圆柱，下半部分为四棱柱， 表面积为：π×22＋12×(2×π×2×5)＋5×4×2＋4×4×2＋5×4 ＝92＋14π.
答案：92＋14π
S 表面＝S 侧面＋S 底面＝3 215＋32 3＝3
15＋3 2
3 .
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
知识点一 直棱柱的侧面积
1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对
角线长为 6，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：由题意，此直棱柱底面边长为 1，高为 6－2＝2，
正四棱台 ABCD－A1B1C1D1 的两底面的边 长分别是 4 cm 和 16 cm，高是 12 cm.求这个棱台的侧面积．
解：如图，由题意得 O1M1＝12×4＝2 cm，
OM＝12×16＝8 cm，OO1＝12 cm.
过点 M1 作 M1N⊥OM 交 OM 于 N 点． 在 Rt△M1NM 中， M1M＝ M1N2＋NM2＝ 122＋8－22＝6 5 cm. 即该正四棱台的斜高 h′＝6 5 cm.
解析：π(r1＋r2)l＝π·2l·l＝32π，l＝4. 答案：4
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S 直棱柱侧＝___c_h_______，其中 c 为底面周长，h 为高．
1
S 正棱锥侧＝__2_c_h_′___，其中 c 为底面周长，h′为斜高． S 正棱台侧＝__12_(_c_＋__c′_)h_′____，其中 c′，c 分别为上、下底面周长，
∴该棱台的侧面积
S
侧
＝
1 2
(c
＋
c′)h′
＝
1 2
×(16
＋
64)×6
5＝
240 5 cm2.
已知一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在其中有 一个高为 x 的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积； (2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？
【解】 (1)圆锥及圆柱的轴截面如图所示，设所求圆柱底面半 径为 r.由截面图可得线段成比例，即Rr ＝H－H x，
3 .
【错因分析】 未区分开主视图三角形与侧面三角形，误把
棱锥的高作为斜高处理．
【正解】 由三视图可知该几何体是正六棱锥(如图)，其底面
边长为12BC＝12×2＝1，侧棱长为 AC＝2，斜高 AD
＝ AC2－CD2＝
22－122＝
15 2.
S 侧面＝6×12×1× 215＝3 215，
S 底面＝6× 43×12＝3 23，
82＋42＝4 5.
一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的表面 积．
【错解】 由主视图可知，底面六边形的边长为 1，∴S 底＝
6×
43×12＝3
2
3 .
S 侧＝6S△ABC＝6× 43×22＝6 3.
∴S 表＝323＋6
3＝152
答案：A
知识点三 组合体的表面积 4．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此 几何体的表面积是( ) A．(20＋4 2) cm2 B．21 cm2 C．(24＋4 2) cm2 D．24 cm2
解析：此几何体为四棱锥与正方体的组合体．
∴S＝2×2×5＋4×12×2×
2＝20＋4