《新高考数学专题强化》考点21 不等关系与不等式20200901

b；若ab＞1，b＜0 则 a＜b)”的原则进行判断． 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
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典例剖析
题型一 不等关系
例 1 某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过 1 000 万元的资金购买
单价分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买 5
y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式(组)表示就是__________．(填序号)
①
②
③
④
答案 ④ 解析 ∵x 不低于 95 分，∴ x≥95. ∵y 是高于 380 分，∴y>380. ∵z 超过 45 分．∴z>45.
解题要点 解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语
3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法
关系
作差比较
法则 作商比较
a＞b
a－b＞0
ab＞1(a，b＞0)或ab＜1(a，b＜0)
a＝b
a－b＝0
ab＝1(b≠0)
a＜b
a－b＜0
ab＜1(a，b＞0)或ab＞1(a，b＜0)
注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若ab＞1，b＞0，则 a＞
辆，B 型汽车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解析 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，
40x＋90y≤1 000， 4x＋9y≤100，
x≥5，
则
y≥6，
x≥5， 即
y≥6，
x，y∈N*.
x，y∈N*.
变式训练 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文④
②ac<bd
③ad>bc
④ad<bc
解析 方法一：令 a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则ac＝－1，bd＝－1，
所以①，②错误；ad＝－32，bc＝－23，所以ad<bc，所以③错误．故选④.
方法二：因为 c<d<0，所以－c>－d>0，所以－1d>－1c>0.
又 a>b>0，所以－ad>－bc，所以ad<bc.故选④.
∴1＋x x2≤12.
变式训练 已知 x<1，试比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小． 解析 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－12)2＋34]，
∵x<1，∴x－1<0.又(x－12)2＋34>0，
∴(x－1)[(x－12)2＋34]<0，∴x3－1<2x2－2x. 解题要点 “作差比较法”的一般步骤为: (1)作差：对要比较大小的两个式子作差；
注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号
而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如 a≤b，b＜c⇒a＜c；
(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a＞b⇒ac2＞
bc2；若无 c≠0 这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
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考点 21 不等关系与不等式
知识梳理
1．不等式 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是
客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不
等关系．
不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数
或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．
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(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形； (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号； (4)作出结论．
题型三 不等式的性质
例 3 （四川）若 a>b>0，c<d<0，则一定有__________．(填序号)
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，n≥2)．
5．不等式的倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.
(2)a＜0＜b⇒1a＜1b.
(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd.
注意：“a≥b”是指“a＞b 或 a=b”，等价说法是“a 不小于 b”，对于“a≥b”而
言，只要 a＞b 和 a=b 中有一个成立，a≥b 就成立，例如：3≥2,2≥2 等都是真命 题．同理，“a≤b”是指“a＜b 或 a=b”，等价说法是“a 不大于 b”，只要 a＜b 和 a=b 中只要有一个成立，a≤b 就成立． 2．同向不等式 我们把 a＞b 和 c＞d(或 a＜b 和 c＜d)这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等 式．
变式训练 设 a，b 是非零实数，若 a<b，则下列不等式成立的是_________．(填序号)
① a2<b2 答案 ③
②ab2<a2b
③a1b2<a12b
④ba<ab
解析 当 a<0 时，a2<b2 不一定成立，故①错． 因为 ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab 符号不确定， 所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定，故②错． 因为a1b2－a12b＝aa－2b2b<0，所以a1b2<a12b，故③正确．
言，它们与不等号的对应关系如下表：
不超过，至 不低于，至 超过，大于， 少于，小于，
文字语言
多，小于等于 少，大于等于
高于
低于
不等号
≤
≥
＞
＜
题型二 比较大小
例 2 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 3x；
(2) 1＋x x2与12.
解析 (1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－32)2＋34≥34＞0，∴x2＋3＞3x. (2) ∵1＋x x2－12＝22x(－1＋1－x2x)2＝－2((x1－＋1x)22) ≤0，