因动点产生的线段和差问题专项讲解

因动点产生的线段和差问题专项讲解
线段和差的最值问题，常见的有两类：
第一类问题是“两点之间，线段最短”．
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．
三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．
图1 图2 图3
第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．
如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？
如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．
第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．
第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．
图4 图5 图6
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大．拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GC＋GM最小，△CMG 的周长最小．
思路点拨
1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和．
3．第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标．
图文解析
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)、B(2, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－2)．
代入点C(0, 2)，可得a＝－1．
所以这条抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．
（2）如图3，连结OP．设点P的坐标为(x,－x2＋x＋2)．
由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，
所以S四边形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．
因此当x＝1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4．此时P(1, 2)．
（3）第一步，几何说理，确定点G的位置：
如图4，在△CMG中，CM为定值，因此当GC＋GM最小时，△CMG的周长最小．
由于GA ＝GC ，因此当GA ＋GM 最小时，GC ＋GM 最小． 当点G 落在AM 上时，GA ＋GM 最小（如图5）．
图3 图4 图5
第二步，代数计算，求解点G 的坐标：
如图6，5AC =，cos ∠CAO ＝
5
AD AO AE AC ==，所以552AE AD ==，E 3(,0)2． 如图7，由y ＝－x 2＋x ＋2＝219()24x --+，得M 19()24
，． 由A (－1, 0)、M 19()24，，得直线AM 的解析式为3322
y x =+． 作GH ⊥x 轴于H ．设点G 的坐标为33(,)22
x x +． 由于tan ∠GEH ＝tan ∠ACO ＝12，所以12
GH EH =，即EH ＝2GH ． 所以3332()222x x -=+．解得38x =-．所以G 315(,)816-．
图6 图7 图8
考点伸展
第（2）题求四边形ABPC 的面积，也可以连结BC （如图8）．
因为△ABC 的面积是定值，因此当△PCB 的面积最大时，四边形ABPC 的面积也最大． 过点P 作x 轴的垂线，交CB 于F ．
因为△PCF 与△PBF 有公共底边PF ，高的和等于C 、B 两点间的水平距离，所以当PF 最大时，△PCB 的面积最大．
设点P (x ,－x 2＋x ＋2)，F (x ,－x ＋2)，那么PF ＝－x 2＋2x ．
当x ＝1时，PF 最大．此时P (1, 2)．
如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，点B 4(2)3-，和点C (－3,－3)均在抛物线上，点F 3(0)4-，在y 轴上，过点3(0)4
，作直线l 与x 轴平行．
（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；
（2）设点D (x , y )是线段BC 上的一个动点（点D 不与B 、C 重合），过点D 作x 轴的垂线，与抛物线交于点G ，设线段GD 的长为h ，求h 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD 的长度h 最大，最大长度h 的值是多少？
（3）若点P (m , n )是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF 并延长，交抛物线于另一点Q ，过点Q 作QS ⊥l ，垂足为S ，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，试判断△FNS 的形状，并说明理由；
（4）若点A (－2, t )在线段BC 上，点M 为抛物线上的一个动点，连结AF ，当点M 在何位置时，MF ＋MA 的值最小．请直接写出此时点M 的坐标与MF ＋MA 的最小值．
图1
拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D 是BC 的中点时，GD 最大．点击按钮（3），拖动点P 运动，可以体验到，△FNS 保持直角三角形的形状．点击按钮（4），拖动点M 运动，可以体验到，ME 与MF 保持相等，当AE 是垂线段时，ME ＋MA 最小．
思路点拨
1．第（2）题用x 表示G 、D 两点的纵坐标，GD 的长就转化为关于x 的二次函数．
2．第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线l 的距离等于它与点F 间的距离．
3．第（4）题要经过两步说理，得到MF ＋MA 的最小值是点A 到l 的垂线段长．
图文解析
（1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以y ＝ax 2．
代入点C (－3,－3)，得1
3a =-．所以抛物线的解析式为213
y x =-．
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B 4(2)3-，、C (－3,－3)
，得42,33 3.
k b k b ⎧+=-⎪⎨⎪-+=-⎩ 解得13k =
，b ＝－2．所以直线BC 的解析式为123y x =-．
（2）由于点D 、G 分别在直线BC 和抛物线上，所以D 1
(,2)3x x -，G 21(,)3
x x -． 所以h ＝GD ＝211(2)33x x ---＝21125(+)+
3212
x -． 因此当12x =-时，h 取得最大值，最大值为2512
． （3）如图2，设点3(0)4，为H ．设直线PQ 的解析式为34
y kx =-． 联立直线PQ ：34y kx =-与抛物线213y x =-，消去y ，得213034
x kx +-=． 所以x 1·x 2＝94-．它的几何意义是HS ·HN ＝94
． 又因为HF ＝32．所以HF 2＝HS ·HN ．所以HF HS HN HF =． 所以tan ∠1＝tan ∠2．所以∠1＝∠2．
又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以△FNS 是直角三角形．
（4）MF ＋MA 的最小值是8
3，此时点M 的坐标是4(2,)3
--．
图2 图3 图4
考点伸展
第（3）题也可以通过计算得到PF ＝PN ．同理得到QF ＝QS ．这样我们就可以根据“等边对等角”及“两直线平行，内错角相等”，得到∠NFC ＝90°．
应用这个结论，就容易解答第（4）题：
如图3，作ME ⊥l 于E ，那么MF ＝ME ．
当ME＋MA的值最小时，MF＋MA的值也最小．
当A、M、E三点共线时，ME＋MA的值最小，最小值为AE．
而AE的最小值为点A到l的垂线段，即AE⊥l时，AE最小（如图4）．。