2019届陕西省高三第二次教学质量检测数学(文)试卷(word版)

2019年高三第二次教学质量检测
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应的位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和修正液，不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，则为（）
A. B. C. D.
【答案】C
2.设复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
3.已知实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
4.已知命题对任意，总有；命题直线，，若，则
或；则下列命题中是真命题的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
5.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
6.如图是计算值的一个程序框圈，其中判断框内应填入的条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
7.已知点在幂函数图象上，设，，，则、、的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
8.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】C
9.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言。

景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
10.已知抛物线的准线过双曲线（，）的左焦点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
11.一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（）
A. 若，则乙有必赢的策略
B. 若，则甲有必赢的策略
C. 若，则甲有必赢的策略
D. 若，则乙有必赢的策略
【答案】A
12.已知函数，又函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题）
13.双曲线的焦点坐标为_______.
【答案】
14.设函数的导函数为，若函数的图象的顶点横坐标为，且.则的值_______.
【答案】
15.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则______.
【答案】
16.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①②
③④
其中是“垂直对点集”的序号是________.
【答案】①③
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不
考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，.
（1）求服务通道的长度；
（2）当时，赛道的长度？
【答案】(1)5 (2)
【解析】
【分析】
（1）连接，在中，由余弦定理可得，由等腰三角形的性质结合可得
，再由勾股定理可得结果；（2）在中，，，，直接利用正弦定理定理可得结果.
【详解】（1）连接，
在中，由余弦定理得：
，
.，
，
又，，
在中，.
（2）在中，，
.
由正弦定理得，
即：，得
当时，赛道的长度为.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 18.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
个月个月个月个月
如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：，.参考公式：回归直线方程为，其中
.
【答案】(1) , 百万元；(2) 型新材料.
【解析】
【分析】
(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,
再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程，求出对应的的值即可得结果；(2)求出型新材料对应产品的使用寿命的平均数与型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.
【详解】（1）由折线图可知统计数据共有组，
即，，，，，，
计算可得，
所以，
，
所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.
当时，.
故预计甲公司2019年3月份的利润为百万元.
（2）型新材料对应产品的使用寿命的平均数为，型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为
，应该采购型新材料.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
19.在三棱柱，中，已知，，点在底面的射影恰好是线段的中点.
（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；
（2）求三棱柱的侧面积
【答案】(1)见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）连接，作于点，由推出，根据，推出
，再由，推出，即可推出平面，从而证明平面，根据，，结合，即可求得；（2）由(1)可知平面，可证为矩形，分别求出和，即可求得三棱柱的侧面积.
试题解析：(1)证明：连接，在中，作于点.
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴平面
∴
∴平面
又∵,，
∴.
(2)由(1)可知平面.
∴
∴为矩形，故;
连接,.
在中，,.
∴
∵.
∴.
20.已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点，且. （1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于、两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围.【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。

（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。

【详解】解：（1）由题可知，解得，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设，由，得
，
由韦达定理得：，，
由得或.
又因为原点在线段为直径的圆外部，则，
，
即，
综上所述：实数的取值范围为
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。

21.函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，，为曲线上两点，且，设直线斜率为，
，证明：
【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）（3）见证明
【解析】
【分析】
（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，
可得函数的减区间；（2）恒成立，等价于恒成立，设
，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，从而可得结果;（3）要
证即证，设，只需证明，其中，设
，利用导数证明即可得结论.
【详解】（1）当时，函数，.
.
当时，，当时，，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）恒成立，即恒成立，整理得：恒成立，设
，则，令，得，所以，在上函数单调递增，在
上单调递减.
所以当时，函数取得最大值，因此.
（3），
又，所以
要证.
即证，因为，
即证，
设，即证：，
也就是要证：，其中，
设，
则，
所以在上单调递增，因此.即：.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性、不等式的证明以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
，.
（1）以过原点的直线的倾斜角为参数，写出曲线的参数方程；
（2）直线过原点，且与曲线，分别交于，两点（，不是原点）。

求的最大值.
【答案】(1) 圆的参数方程为，（为参数，且）(2)
【解析】
【分析】
（1）将圆的方程化为标准方程，根据倾斜角即可化为参数方程。

（2）将圆的方程化为极坐标方程，根据极坐标方程表示出即可求得最大值。

【详解】解：（1）如图，，
即，
是以为圆心，为半径，且经过原点的圆，
设，
则，
由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则，而，
所以圆的参数方程为，（为参数，且）
（2）根据已知，的极坐标方程分别为，
故，其中.
故当时，等号成立，
综上，的最大值为.
【点睛】本题考查了直角坐标方程和参数方程的转化，极坐标方程的应用，属于中档题。

23.已知对任意实数，都有恒成立.
（I）求实数的范围；
（Ⅱ）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值.【答案】(1) (2)9
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值三角不等式，代入即可求得m的取值范围。

（2）根据柯西不等式，代入即可求得的最小值。

【详解】解（1）对任意实数，都有恒成立，
又
（2）由（1）知，由柯西不等式知：
当且仅当，时取等号，
的最小值为.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用，柯西不等式的用法，属于中档题。