初三数学二次函数y=ax2+bx+c的图象和试题

初三数学二次函数y=ax2+bx+c的图象和试题
1.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是，
求和的值．
【答案】，．
【解析】根据抛物线的顶点在抛物线上，可得，再由抛物线在轴上
截得的线段长是，结合两点间的距离公式即可求得结果。

，顶点在上，，
．
又它与轴两交点的距离为，
，
求得，，即，或，．
【考点】本题考查的是二次函数
点评：解答本题的关键是熟练掌握与x轴相交的两点间的距离公式。

2.已知关于的函数：中满足．
（1）求证：此函数图象与轴总有交点．
（2）当关于的方程有增根时，求上述函数图象与轴的交点坐标．
【答案】（1）见解析；（2）和．
【解析】（1）首先对分类讨论，当时，为一次函数，可判断结论，当时，先求出
根的判别式，再根据，即可判断结论；
（2）先去分母得到，再得到方程有增根，即可求得结果。

（1）当时，函数为，图象与轴有交点．
当时，
当时，，此时抛物线与轴有交点．
因此，时，关于的函数的图象与轴总有交点．
（2）关于的方程去分母得：，．
由于原分式方程有增根，其根必为．这时
这时函数为，它与轴的交点是和．
【考点】本题考查的是二次函数的性质
点评：解答本题的关键是首先对分类讨论，同时掌握方程的增根的定义。

3.抛物线的对称轴是直线（）
A．B．C．D．
【答案】Ａ
【解析】根据顶点式直接判断即可。

抛物线的对称轴是直线，故选A.
【考点】本题考查的是抛物线的对称轴
点评：解答本题的关键是掌握二次函数的顶点式，其中顶点坐标为（-h，k），对称轴为
4.已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）．
A．B．
C．D．
【答案】Ｂ
【解析】抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位，即可看作把抛物线向下、向左平移2个单位，再根据“左加右减，上加下减”的规律分析即可。

由题意得，在新坐标系下抛物线的解析式是，故选B.
【考点】本题考查的是抛物线的平移
点评：解答本题的关键是掌握平移规律：“左加右减，上加下减”，同时要注意是哪一部分左加右减，哪一部分上加下减。

5.如图，已知抛物线经过，三点，且与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点的坐标和对称轴；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）；（2），；（3）15
【解析】（1）已知了抛物线上三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）的解析式按要求求解即可．
（3）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可将其分割成几个规则图形来求解．
方法不唯一：①可连接OD，将梯形的面积分割成三个三角形的面积进行求解．
②可过D作x轴的垂线，将梯形的面积分割成两个三角形和一个直角梯形进行求解．
（1）抛物线经过三点
解得
抛物线解析式：．
（2）
顶点坐标，对称轴：．
（3）
连结，对于抛物线解析式
当时，得，解得：，
．
【考点】本题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法
点评：解答本题的关键是掌握不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
6.已知函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．或
【答案】Ｄ
【解析】通过观察图象得到x=-1或x=3时，y=1；即二次函数图象在直线y=1上方，即可读出其对应的x的取值范围．
观察图象得，x=-1或x=3时，y=1；
当时，x的取值范围是或．
故选D.
【考点】本题考查了二次函数与不等式的关系
点评：解答本题的关键是观察二次函数的图象，运用二次函数的性质找出满足函数值所对应的自变量的范围．
7.下表给出了代数式与的一些对应值：
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设，则当取何值时，？
（3）请说明经过怎样平移函数的图象得到函数的图象．
【解析】根据与x轴的交点坐标得到什么时候y＞0．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
（1）这个代数式属于二次函数．当x=0，y=3；x=4时，y=3．
说明此函数的对称轴为x=（0+4）÷2=2．那么，b=-4，经过（0，3），
∴c=3，二次函数解析式为y=x2-4x+3，
当x=1时，y=0；
当x=3时，y=0．
（2）由（1）可得二次函数与x轴的交点坐标，由于本函数开口向上，
可根据与x轴的交点来判断什么时候y＞0．
当x＜1或x＞3时，y＞0．
（3）由（1）得y=x2-4x+3，即y=（x-2）2-1．
将抛物线y=x2-4x+3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y=x2．
【考点】本题考查的是二次函数
点评：解答此类问题时常由一些特殊点或与y轴的交点，对称轴等得到二次函数的解析式．
8.若抛物线的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______．
【答案】
【解析】由题意可知抛物线开口向上，且顶点纵坐标为0，即可得到关于m的不等式和方程，解出即可。

由题意得，解得，则
【考点】本题考查的是二次函数的性质
点评：解答本题的关键是由图象的最低点的纵坐标为零，得到抛物线开口向上，且顶点纵坐标为0。

9.对于抛物线，当顶点纵坐标等于_________时，顶点在x轴上，此时抛物线与x轴只有一个公共点，而a≠0，所以，抛物线与x轴只有一个公共点的条件是_________．【答案】0，4ac-b2=0，且a≠0
【解析】由题意得顶点在x轴上，即顶点纵坐标为0，根据顶点坐标即可得到结果。

对于抛物线，当顶点纵坐标等于0时，顶点在x轴上，此时抛物线与x轴只有一个公共点，而a≠0，所以，抛物线与x轴只有一个公共点的条件是4ac-b2=0，且a≠0.
【考点】本题考查的是二次函数的性质
点评：解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标为
10.二次函数的图象向右平移3个单位，在向上平移1个单位，得到的图象的关系式是____．
【答案】
【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律分析即可。

由题意得平移后的关系式是．
【考点】本题考查的是二次函数的性质
点评：解答本题的关键是掌握平移规律：“左加右减，上加下减”，同时要注意是哪一部分左加右减，哪一部分上加下减。