平面向量加、减运算的坐标表示、平面向量数乘运算的坐标表示高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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), − =2( − ),
∴=3-2 , =2 − ,
∴=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
∴点 M,N 的坐标分别为 M(0,20),N(9,2).
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(6,9),试用, 表示 .
已知A(x1,y1), B(x2,y2),则
= (x2-x1,y2-y1)
过关自诊
1.若a=(3,-2),b=(-1,4),则a+b=
(2,2)
.
2.在平面直角坐标系中,若M(1,-6),N(3,4),则向量 的坐标是 (2,10) ,向
量 的坐标是 (-2,-10) .
解析 =(3,4)-(1,-6)=(2,10),=(1,-6)-(3,4)=(-2,-10).
3.[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标.
解 2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5);
4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18).
知识点2 平面向量共线的坐标表示
利用平面向量共线可解决平面几何中的平行问题
前提条件
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
相应坐标的 和
两个向量差的坐标分别等于这两个向量
相应坐标的 差
实数与向量的积的坐标等于用这个实数
乘原来向量的 相应坐标
向量坐 一个向量的坐标等于表示此向量的有向
标公式 线段的终点的坐标减去起点的坐标
符号表示
a+b= (x1+x2,y1+y2)
a-b= (x1-x2,y1-y2)
λa= (λx1,λy1)
1
1
3a-2b+ c=3(1,2)-2(3,-4)+ (-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17).
2
2
1
c.
2
(2)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求, , + , − ,
2 +
1
.Байду номын сангаас
2
解 ∵A(4,6),B(7,5),C(1,8),∴=(7,5)-(4,6)=(3,-1);
重难探究·能力素养全提升
探究点一
向量的坐标运算
【例1】 (1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+
解 因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
人教A版 数学 必修第二册
课程标准
1.会用坐标表示平面向量加、减运算与数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 平面向量运算的坐标表示
平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则
表示
加法
减法
数乘
文字描述
两个向量和的坐标分别等于这两个向量
这是两向量共线坐标条件的一般化表示,适用于任意两向量共线.
过关自诊
1.若 A,B,C 三点共线,请问 , , 是什么位置关系?
提示 向量, , 共线.
2.若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=
-6
解析 因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.
.
3.[人教B版教材例题]在平面直角坐标系中,已知A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求
证:A,B,C三点共线.
证明 由已知得 =(0,1)-(-2,-3)=(2,4),
=(2,5)-(-2,-3)=(4,8).
因为 2×8=4×4,所以 ∥ ,
因此 A,B,C 三点共线.
∴=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3).
∵=3, =2,∴=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6).
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)=(3,24),=(x2+3,y2+4)=(12,6),
向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四
边形法则的应用.
(2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运
算法则.
(3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行.
变式训练 1 若向量 =(1,2), =(3,4),则 =( A )
A.(4,6) B.(-4,-6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
解析 = + =(1,2)+(3,4)=(4,6).
探究点二
向量坐标运算的应用
【例 2】 (1)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3, =2,求点 M,N 的
坐标.
解 (方法一)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
解 由已知可得 =(1,3), =(2,4), =(5,11).
结论
向量a,b共线的充要条件是 x1y2-x2y1=0
名师点睛
若a,b(b≠0)共线,则可设a=tb(t∈R),转化为坐标即(a1,a2)=t(b1,b2),可得
1 = 1 ,
1
2
若 b1≠0,b2≠0,则有 = =t,即对应坐标成比例.
1
2
2 = 2 .
若再转化为更一般的情况,可得:a1b2-a2b1=0.
=(1,8)-(4,6)=(-3,2).
∴ + =(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
− =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
2
1
1
9
+ 2 =2(3,-1)+2(-3,2)= 2 ,-1
.
规律方法
向量坐标运算要注意的问题
(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有
1 + 3 = 3, 2 + 3 = 12,
1 = 0, 2 = 9,
∴
解得
1 + 4 = 24, 2 + 4 = 6,
1 = 20, 2 = 2,
∴点 M,N 的坐标分别为 M(0,20),N(9,2).
(方法二)设点 O 为坐标原点,则由=3, =2,可得 − =3( −
∴=3-2 , =2 − ,
∴=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
∴点 M,N 的坐标分别为 M(0,20),N(9,2).
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(6,9),试用, 表示 .
已知A(x1,y1), B(x2,y2),则
= (x2-x1,y2-y1)
过关自诊
1.若a=(3,-2),b=(-1,4),则a+b=
(2,2)
.
2.在平面直角坐标系中,若M(1,-6),N(3,4),则向量 的坐标是 (2,10) ,向
量 的坐标是 (-2,-10) .
解析 =(3,4)-(1,-6)=(2,10),=(1,-6)-(3,4)=(-2,-10).
3.[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标.
解 2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5);
4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18).
知识点2 平面向量共线的坐标表示
利用平面向量共线可解决平面几何中的平行问题
前提条件
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
相应坐标的 和
两个向量差的坐标分别等于这两个向量
相应坐标的 差
实数与向量的积的坐标等于用这个实数
乘原来向量的 相应坐标
向量坐 一个向量的坐标等于表示此向量的有向
标公式 线段的终点的坐标减去起点的坐标
符号表示
a+b= (x1+x2,y1+y2)
a-b= (x1-x2,y1-y2)
λa= (λx1,λy1)
1
1
3a-2b+ c=3(1,2)-2(3,-4)+ (-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17).
2
2
1
c.
2
(2)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求, , + , − ,
2 +
1
.Байду номын сангаас
2
解 ∵A(4,6),B(7,5),C(1,8),∴=(7,5)-(4,6)=(3,-1);
重难探究·能力素养全提升
探究点一
向量的坐标运算
【例1】 (1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+
解 因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
人教A版 数学 必修第二册
课程标准
1.会用坐标表示平面向量加、减运算与数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 平面向量运算的坐标表示
平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则
表示
加法
减法
数乘
文字描述
两个向量和的坐标分别等于这两个向量
这是两向量共线坐标条件的一般化表示,适用于任意两向量共线.
过关自诊
1.若 A,B,C 三点共线,请问 , , 是什么位置关系?
提示 向量, , 共线.
2.若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=
-6
解析 因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.
.
3.[人教B版教材例题]在平面直角坐标系中,已知A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求
证:A,B,C三点共线.
证明 由已知得 =(0,1)-(-2,-3)=(2,4),
=(2,5)-(-2,-3)=(4,8).
因为 2×8=4×4,所以 ∥ ,
因此 A,B,C 三点共线.
∴=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3).
∵=3, =2,∴=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6).
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)=(3,24),=(x2+3,y2+4)=(12,6),
向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四
边形法则的应用.
(2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运
算法则.
(3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行.
变式训练 1 若向量 =(1,2), =(3,4),则 =( A )
A.(4,6) B.(-4,-6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
解析 = + =(1,2)+(3,4)=(4,6).
探究点二
向量坐标运算的应用
【例 2】 (1)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3, =2,求点 M,N 的
坐标.
解 (方法一)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
解 由已知可得 =(1,3), =(2,4), =(5,11).
结论
向量a,b共线的充要条件是 x1y2-x2y1=0
名师点睛
若a,b(b≠0)共线,则可设a=tb(t∈R),转化为坐标即(a1,a2)=t(b1,b2),可得
1 = 1 ,
1
2
若 b1≠0,b2≠0,则有 = =t,即对应坐标成比例.
1
2
2 = 2 .
若再转化为更一般的情况,可得:a1b2-a2b1=0.
=(1,8)-(4,6)=(-3,2).
∴ + =(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
− =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
2
1
1
9
+ 2 =2(3,-1)+2(-3,2)= 2 ,-1
.
规律方法
向量坐标运算要注意的问题
(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有
1 + 3 = 3, 2 + 3 = 12,
1 = 0, 2 = 9,
∴
解得
1 + 4 = 24, 2 + 4 = 6,
1 = 20, 2 = 2,
∴点 M,N 的坐标分别为 M(0,20),N(9,2).
(方法二)设点 O 为坐标原点,则由=3, =2,可得 − =3( −