人教【数学】数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题(含答案)附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．
（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；
（2）求证：直线PC是⊙A的切线；
（3）若OD=10，求⊙A的半径．
【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 .
【解析】
【分析】
（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；
（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】
（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴∠B=∠ODC
∵四边形OHCD是圆内接四边形
∴∠OHB=∠ODC
∴∠OHB=∠B
∴OH=OB=2
∴在Rt△OMH中，
∵∠BOH=30°，
∴MH=1
2
OH=1，33
∴点H的坐标为（13
（2）连接AC．
∵OA=AD，
∴∠DOF=∠ADO
∴∠DAE=2∠DOF
∵∠PCD=2∠DOF，
∴∠PCD=∠DAE
∵OB与⊙O相切于点A
∴OB⊥OF
∵OB∥CD
∴CD⊥AF
∴∠DAE=∠CAE
∴∠PCD=∠CAE
∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线；
（3）解：⊙O的半径为r．
在Rt△OED中，DE=1
2
CD=
1
2
OB=1，OD=10，
∴OE═3
∵OA=AD=r，AE=3﹣r．
在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1
解得r=5
3
．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．
2．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；
（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）
【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－24
7
，
24
7
）；（3）M（－2，2）
【解析】
分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；
（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=3
4
x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代
入y=3
4
x+6得出关于a的方程，求出即可．
（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据
S△ABC=1
2
AO•ME+
1
2
BO•MF+
1
2
AB•MG=
1
2
AO•BO求得r=2，据此可得答案．
详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：
设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，
∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，
∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴
80
6
k b
b
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解
得：k=3
4
，b=6，即直线AB的函数关系式是y=
3
4
x+6．
∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M
（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=3
4
x+6，得：﹣a=
3
4
a+6，得：a=﹣
24 7，∴点M的坐标为（﹣
2424
77
，）．
（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，
∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设
ME=MF=MG=r，则S△ABC=1
2
AO•ME+
1
2
BO•MF+
1
2
AB•MG=
1
2
AO•BO．
∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB，
∴1
2r•8+
1
2
r•6+
1
2
r•10=
1
2
×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，
2）．
点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得
，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出
∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由
DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
试题解析：（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是：
∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2．
考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
4．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG
(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB2＝BC•BF；
(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．
【答案】（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE＝2
【解析】
【分析】
（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即
OC⊥GC，据此即可得证；
（2）证△ABC∽△FBO得BC AB
BO BF
=，结合AB＝2BO即可得；
（3）证ECD∽△EGC得EC ED
EG EC
=，根据CE＝3，DG＝2.5知
3
2.53
DE
DE
=
+
，解之可
得．
【详解】
解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CE，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝∠ACF ＝90°，
∵点G 是EF 的中点，
∴GF ＝GE ＝GC ，
∴∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，
∵OA ＝OC ，
∴∠OCA ＝∠OAC ，
∵OF ⊥AB ，
∴∠OAC +∠AEO ＝90°，
∴∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，
∴CG 与⊙O 相切；
（2）∵∠AOE ＝∠FCE ＝90°，∠AEO ＝∠FEC ，
∴∠OAE ＝∠F ，
又∵∠B ＝∠B ，
∴△ABC ∽△FBO ， ∴
BC AB BO BF
=，即BO •AB ＝BC •BF ， ∵AB ＝2BO ，
∴2OB 2＝BC •BF ；
（3）由（1）知GC ＝GE ＝GF ，
∴∠F ＝∠GCF ，
∴∠EGC ＝2∠F ，
又∵∠DCE ＝2∠F ，
∴∠EGC ＝∠DCE ，
∵∠DEC ＝∠CEG ，
∴△ECD ∽△EGC ， ∴EC ED EG EC
=， ∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴
32.53DE DE =+，
整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，
解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），
故DE＝2．
【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC，OE于点F，G．
（1）求∠DGE的度数；
（2）若CF OF
＝
1
2
，求
BF
GF
的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若
CF
OF
＝k，求1
2
S
S的值．（用含k的式子表示）
【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)
7
2
；(3)1
2
S
S=
21
1
k k
k
++
+
.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得
BF
GF
的值；
（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表
示出1
2
S
S的值．
【详解】
解：(1)∵BC＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠CDB＝1
2
∠COB＝30°，
∵OC＝OD，点E为CD中点，
∴OE ⊥CD ，
∴∠GED ＝90°，
∴∠DGE ＝60°；
(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H
设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3
∵∠COB ＝60°
∴OH ＝12
OF ＝1， ∴HF
HB ＝OB ﹣OH ＝2，
在Rt △BHF 中，BF ==
由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，
又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，
∴∠OGB ＝∠OCB ，
∵∠OFG ＝∠CFB ，
∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF
=， ∴
， ∴BF GF =72
. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，
设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，
∵∠COB ＝60°，
∴OH ＝12OF=12
，
∴HF
=
，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12， 在Rt △BHF 中，
BF =
由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OF
CB BF
=，即1GO k =+， ∴GO
=
过点C 作CP ⊥BD 于点P
∵∠CDB ＝30°
∴PC
＝12CD ， ∵
点E 是CD 中点，
∴DE ＝12
CD ， ∴PC ＝DE ，
∵DE ⊥OE ， ∴12S S =BF GO =22111
k k k k k +++++=211k k k +++
【点睛】
圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．
6．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，OB ＝4，D 是OB 的中点，点E 是弧BC 上的动点，连接AE ，DE ．
（1）当点E 是弧BC 的中点时，求△ADE 的面积；
（2）若3tan 2
AED ∠= ，求AE 的长； （3）点F 是半径OC 上一动点，设点E 到直线OC 的距离为m ，当△DEF 是等腰直角三角形时，求m 的值.
【答案】（1）62ADE S =2）1655
AE =3）23m =，22m =71m =.
【解析】
【分析】
（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，
根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；
（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故AF AD EF BD =，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值.
【详解】 解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，
设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，
∵点E 是弧BC 中点，
∴∠COE ＝∠EOH ＝45°，
∴EH ＝OH ＝2+a ，
在Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，
（2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ）， 解得a ＝222±-，
∴a ＝222-，
EH=22，
S △ADE ＝1622
AD EH =;
（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE
设EF ＝2x ，DF ＝3x
∵DF ∥BE
∴
AF AD EF BD = ∴622
AF x ==3 ∴AF ＝6x
在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2
（6x ）2+（3x ）2＝（6）2
解得x＝2
5 5
AE＝8x＝16
5 5
（3）当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图
设DH＝a
由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH，∴∠DFO=∠EDH
∴△ODF≌△HED
∴OD＝EH＝2
在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH
（2）2＝（6+a）•（2﹣a）
解得a＝±232
-
m＝23
当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFG≌△DEH
设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a
在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH
（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）
解得a＝222
±-
∴m＝22
当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFM≌△FDO
设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2
∴EH＝a+2
在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH
（a+2）2＝（4+a）•（4﹣a）
解得a＝±71
-
m＝71
-
【点睛】
此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.
7．定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.
理解：
⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；
⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（
22
3
-，
1
3
），（
22
3
，
1
3
）．
【解析】
试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
试题解析：
（1）如图1所示：
（2）△AEF是否为“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE=2a，
∵BC：FC=4：1，
∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，
在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，
在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，
在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴AE2+EF2=AF2，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形”；
（3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，
由勾股定理可得PQ=，
PM=1×2÷3=，
由勾股定理可求得OM=，
故点P的坐标（﹣，），（，）．
考点：圆的综合题．
8．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．
（1）当DC⊥AB时，则DA DB
DC
+
＝；
（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；
②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；
（3）当
92
PD
AC
=时，求
DE
OA
的值．
【答案】（12；（2）①DA+DB2DC，②S＝1
2
t2﹣
1
4
m2；（3）
242
35
DE
OA
=.
【解析】
【分析】
（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；
（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰
直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形，容易证出线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；
②通过完全平方公式（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB 的变形及将已知条件AB ＝m 代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD 的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∵C 为AB 的中点，
∴AC BC =，
∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°，
∵DC ⊥AB ，
∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，
∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，
∴AE ＝BE ，
∴点E 与点O 重合，
∴DC 为⊙O 的直径，
∴DC ＝AB ，
在等腰直角三角形DAB 中，
DA ＝DB ＝2AB ， ∴DA+DB ＝2AB ＝2CD ，
∴DA DB DC
+＝2；
（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ， 由（1）知AC BC =，
∴AC ＝BC ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，
∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°，
∴∠NBC ＝∠MCA ，
在△NBC 和△MCA 中，
BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△NBC ≌△MCA （AAS ），
∴CN ＝AM ，
由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，
AM ＝2DA ，DN
＝2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝
2DB+2DA ＝2（DB+DA ）， 即DA+DB ＝2DC ；
②在Rt △DAB 中，
DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，
∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，
且由①知DA+DB 2DC 2t ，
∴2t ）2＝m 2+2DA•DB ，
∴DA•DB ＝t 2﹣
12m 2， ∴S △ADB ＝12DA•DB ＝12t 2﹣14
m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝12t 2﹣14
m 2； （3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ，
则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形， 由（1）知AC BC =，
∴AC ＝BC ，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴AB 2AC ，
∵220
PD AC =， 设PD ＝2，则AC ＝20，AB ＝2，
∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ，
∴△ABD ∽△PBA ， ∴AB BD AD PB AB PA ==， ∴20292202
DB =+， ∴DB ＝162， ∴AD ＝
22AB DB -＝122， 设NE ＝ME ＝x ，
∵S △ABD ＝
12AD•BD ＝12AD•NE+12BD•ME ， ∴12×122×162＝12×122•x+12
×162•x ， ∴x ＝
4827， ∴DE ＝2HE ＝2x ＝
967， 又∵AO ＝
12AB ＝102， ∴96242735
102DE OA =⨯=．
【点睛】
本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．
9．已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）332 23
π
-
【解析】
试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．
试题解析：
（1）证明：连接DO．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=AB=2．
∴CD=AC﹣AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=CD=1．
∴DF=，
连接OE，则CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，
∴S扇形OED==，
∴S 阴影=S 直角梯形FDOE ﹣S 扇形OED =﹣．
【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．
10．已知AB ，CD 都是O 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=；
()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；
()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）37
【解析】
【分析】
（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；
（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；
（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；
【详解】
()1证明：如图1中，
O 与CE 相切于点C ，
OC CE ∴⊥，
OCE 90∠∴=，
D E 90∠∠∴+=，
2D 2E 180∠∠∴+=，
AOD COB ∠∠=，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，
AOD 2E 180∠∠∴+=．
()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．
OCF F ORF 90∠∠∠===，
∴四边形OCFR 是矩形，
AF//CD ∴，CF OR =，
A AOD ∠∠∴=，
在AOR 和ODG 中，
A AOD ∠∠=，ARO OGD 90∠∠==，OA DO =，
AOR ∴≌ODG ，
OR DG ∴=，
DG CF ∴=，
()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．
设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，
OCF F BTE 90∠∠∠===，
AF//OC//BT ∴，
OA OB =，
CT CF 3m ∴==，
ET m ∴=， CD 为直径，
CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===，
E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=，
tan E tan CBT ∠∠∴=，
BT CT ET BT
∴=， BT 3m m BT
∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，
3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=，
CWD HDE H ∠∠∠=+，HDE HCE ∠∠=，
H E 60∠∠∴==，
MON 2HCN 60∠∠∴==，
OM ON =，
OMN ∴是等边三角形，
MN ON ∴=，
QM OB OM ==，
MOQ MQO ∠∠∴=，
MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=， PON P ∠∠∴=，
ON NP 141125∴==+=，
CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，
在Rt CDN 中，CN 48==，
在Rt CHN 中，CN 48tan H HN HN
∠===
HN ∴=
在Rt KNH 中，1KH HN 2==NK 24==，
在Rt NMK 中，MK 7===，
HM HK MK 7∴=+=．
【点睛】
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.。