阻抗概念

阻抗[编辑]

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相量图能够展示复阻抗。

阻抗(electrical impedance)就是电路中电阻、电感、电容对交流电的阻碍作用的统称。阻抗衡量流动于电路的交流电所遇到的阻碍。阻抗将电阻的概念加以延伸至交流电路领域,不仅描述电压与电流的相对振幅,也描述其相对相位。当通过电路的电流就是直流电时,电阻与阻抗相等,电阻可以视为相位为零的阻抗。

阻抗通常以符号标记。阻抗就是复数,可以以相量或来表示;其中,就是阻抗的大小,就是阻抗的相位。这种表式法称为“相量表示法”。

具体而言,阻抗定义为电压与电流的频域比率[1]。阻抗的大小就是电压振幅与电流振幅的绝对值比率,阻抗的相位就是电压与电流的相位差。采用国际单位制,阻抗的单位就是欧姆(Ω),与电阻的单位相同。阻抗的倒数就是导纳,即电流与电压的频域比率。导纳的单位就是西门子(单位)(旧单位就是姆欧)。

英文术语“impedance”就是由物理学者奥利弗·赫维赛德于1886年发表论文《电工》给出[2][3]。于1893年,电机工程师亚瑟·肯乃利(Arthur Kennelly)最先以复数表示阻抗[4]。

复阻抗[编辑]

阻抗就是复数,可以与术语“复阻抗”替换使用。阻抗通常以相量来表示,这种表示法称为“相量表示法”。相量有三种等价形式:

1. 直角形式:、

2. 极形式:、

3. 指数形式: ;

其中,电阻就是阻抗的实部,电抗就是阻抗的虚部,就是阻抗的大小,就是虚数单位,就是阻抗的相位。

从直角形式转换到指数形式可以使用方程

、

。

从指数形式转换到直角形式可以使用方程

、

。

极形式适用于实际工程标示,而直角形式比较适用于几个阻抗相加或相减的案例,指数形式则比较适用于几个阻抗相乘或相除的案例。在作电路分析时,例如在计算两个阻抗并联的总阻抗时,可能会需要作几次形式转换。这种形式转换必需要依照复数转换定则。

欧姆定律[编辑]

连接于电路的交流电源会给出电压于负载的两端,并且驱动电

流于电路。

主条目:欧姆定律

借着欧姆定律,可以了解阻抗的内涵[5]:

。

阻抗大小的作用恰巧就像电阻,设定电流 ,就可计算出阻抗两端的

电压降。相位因子则就是电流滞后于电压的相位差 (在时域,电流信

号会比电压信号慢秒;其中, 就是单位为秒的周期)。

就像电阻将欧姆定律延伸至交流电路领域,其它直流电路分析的结果,例如电压

分配(voltage division)、电流分配(current division)、戴维宁定理、诺顿定理等

等,都可以延伸至交流电路领域,只需要将电阻更换为阻抗就行了。

复值电压与电流[编辑]

电路内的广义阻抗可以描绘为与电阻符号相同的形状,或者描绘为加有标签的盒子。

为了简化计算,正弦电压波与正弦电流波通常以指数形式表示为[5]

、

;

其中,就是电压振幅,就是电流振幅,就是正弦波的角频率、就是电压相位,就是电流相位,阻抗定义为电压除以电流:

。

将这公式代入欧姆定律,可以得到

。

注意到对于任意时间 ,这方程都成立。因此,可以令大小与相位分别相等:

、

。

第一个方程乃就是熟悉的表达电压与电流之间关系的欧姆定律,第二个方程给出相位关系。

用相量表示法来描述,相量、分别为

、

。

正弦波、跟相量、的关系为

、

。

阻抗的定义为

。

复数运算的正确性[编辑]

根据欧拉公式,余弦函数可以表示为

。

这就是一个可以用来表示电压或电流波形的实值余弦函数,可以被分解为两个复值函数。所以,只要分析方程右边的两个复值项目的行为,就可以明了方程左边的实值余弦函数的行为。由于这两个复值项目的实部相等,实际而言,只需要分析其中一个项目,取这项目的实部,就可以得到余弦函数:

。

换句话说,只要取计算结果的实部,就可以得到答案。

在傅里叶分析中,激励可以写成多个正弦波的叠加。根据叠加原理,每个正弦波可以单独分析计算出各自的反应,(反应本身也就是一个正弦波,其频率与激励的频率相同,但通常两者的振幅、相位都不相同,

反应的振幅、相位会有所改变。)对于原本激励的响应就是所有单独正弦波的响应在时域的总与(或积分)。这些单独正弦波都可以转换为以复数运算。[6]

相量[编辑]

主条目:相量

相量就是一个常定复数,可以代表参数为时间的正弦函数的复振幅(大小与相位)。电机工程师常会使用相量作复数运算,因为能够简化涉及正弦函数的运算,将一个微分方程问题约化为代数方程问题。

一个电路元件的阻抗可以定义为元件两端的电压相量与通过元件的电流相量,两者之间的比率,即电压与电流之间的相对振幅与相对相位。注意到因子互相抵消,这定义等价于前面由欧姆定律给出的定义,

电路元件的阻抗[编辑]

电容器两端的电压滞后于通过电容器的电流,两者之间的相位差为 ;电感器两端的电压超前于通过电感器的电流,两者之间的相位差为。由于电压与电流的振幅相等,阻抗的的大小为1。

理想电阻器的阻抗就是实数,称为“电阻”:

;

其中,就是理想电阻器的电阻。

理想电容器与理想电感器的阻抗、都就是虚数:

,

;

其中,就是理想电容器的电容,就是理想电感器的电感。

注意到以下两个很有用的全等式:

、

。

应用这些全等式,理想电容器与理想电感器的阻抗以指数形式重写为

、

。

给定通过某阻抗元件的电流振幅,复阻抗的大小给出这阻抗元件两端的电压振幅,而复阻抗的指数因子则给出相位关系。

电阻器、电容器与电感器就是三种基本电路元件。以下段落会推导出这些元件的阻抗。这些导引假定正弦信号。通过傅里叶分析,任意信号可以视为一组正弦函数的总与。所以,这些导引可以延伸至任意信号。

电阻器[编辑]

根据欧姆定律,通过电阻器的含时电流与电阻器两端的含时电压 ,两者之间的关系为

;

其中,就是时间。

设定含时电压信号为

,

则含时电流为

。

两者的大小分别为、 ,相位都就是。所以,阻抗为

。