高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 理-

第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应
用 理
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念
y ＝A sin(ωx ＋φ)
(A >0，ω>0)，x ∈R
振幅
周期 频率 相位 初相
A T ＝
2π
ω f ＝1T ＝ω
2π
ωx ＋φ φ
2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：
x
0－φ
ω
π2－φω
π－φω
3π2－φω
2π－φω
ωx ＋φ 0
π
2
π 3π2 2π
y ＝A sin(ωx ＋
φ)
0 A 0 －A
3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：
【知识拓展】
1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω
个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ
＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )
(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )
(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π
ω
.( × )
(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
2，所得图象对应的函数解析
式为y ＝sin 1
2
x .( × )
(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T
2
.( √ )
1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π
3)的振幅，频率和初相分别为( )
A ．2,4π，π3
B ．2，14π，π
3
C ．2，14π，－π3
D ．2,4π，－π
3
答案 C
解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3
.
2．(2015·某某)要得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )
A ．向左平移π12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π3个单位
D ．向右平移π
3个单位
答案 B
解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，
∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2016·某某模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10个单位长度，再把
所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10) B ．y ＝sin(2x －π
5)
C ．y ＝sin(12x －π10)
D ．y ＝sin(12x －π
20)
答案 C
解析 y ＝sin x π
10
−−−−−
→右移个单位
y ＝sin(x －π10)―――――→横坐标伸长到
原来的2倍y ＝sin(1
2x －π
10
)． 4．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f (π2)＝－2
3，则f (－
π
6
)＝________.
答案 －2
3
解析 由题图知，函数f (x )的周期
T ＝2(
11π12－7π12)＝2π
3
， 所以f (－π6)＝f (－π6＋2π3)＝f (π2)＝－23
.
5．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π
4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ
的最小正值是________． 答案
3π8
解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π
4]
＝sin(2x ＋π
4
－2φ)，
又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，
∴φ＝－
k π2－π
8
(k ∈Z )．
当k ＝－1时，φ取得最小正值3π
8
.
题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换
例1 (2015·某某)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx ＋φ 0
π
2 π
3π2 2π
x
π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)
5
－5
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z .
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π12，0成中心对称，
所以令
k π2＋π
12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π
3
，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6.
引申探究
在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π
6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解
析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π
6
)，
因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π
6)．
因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π
12，k ∈Z .
即y ＝g (x )图象的对称中心为(
k π2
－π
12
，0)，k ∈Z .
思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量
代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3
2π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出
五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，
再把所得函数图象向左平移
π
4
个单位，得到的函数图象的解析式是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝－sin 2x
C ．y ＝sin(2x －π4)
D ．y ＝sin(2x ＋π
4)
答案 A
解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin2(x ＋π
4)，即y ＝cos 2x .
题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π
2
，ω>0)的图象的一部分如图所示．
(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．
解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝1
2.
∵|φ|<π2，∴φ＝π
6
，
又∵11
12π是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，
∴
11π12ω＋π
6
＝2π，∴ω＝2.
∴f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)．
(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π
2＋k π，k ∈Z ，
即2x ＋π6＝π
2＋k π(k ∈Z )，
解得x ＝
k π2＋π
6
(k ∈Z )，
∴f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)的对称轴方程为
x ＝k π2
＋π
6
(k ∈Z )．
思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m
2
，B ＝
M ＋m
2
.
(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2π
T
.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋
φ＝π2
；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷
点”)为ωx ＋φ＝3π
2
；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.
(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π
2
)的部分图象
如图所示，则y ＝f (x ＋π
6
)取得最小值时x 的集合为( )
A ．{x |x ＝k π－π
6
，k ∈Z }
B ．{x |x ＝k π－π
3，k ∈Z }
C ．{x |x ＝2k π－π
6，k ∈Z }
D ．{x |x ＝2k π－π
3，k ∈Z }
答案 B
解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2π
ω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x
＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π
2，得φ＝
－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π
3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π
6)取得最小值．
题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用
例 3 (2015·某某)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝
3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 答案 C
解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.
命题点2 函数零点(方程根)问题
例4 已知关于x 的方程2sin 2
x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，
则m 的取值X 围是________． 答案 (－2，－1)
解析 方程2sin 2
x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为
m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x
＝cos 2x ＋3sin 2x
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7
6
π，136π，
∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7
6π，136π有两个不同的实数根．
∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7
6
π，136π的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，m 2的X 围为(－1，－1
2
)，
故m 的取值X 围是(－2，－1)． 引申探究
例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值X 围是__________． 答案 [－2,1)
解析 由例4知，m 2的X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，
∴－2≤m <1，
∴m 的取值X 围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用
例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π
3对称，
且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；
(2)当x ∈[0，π
2
]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．
解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称，
所以2·π3＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
由－π2≤φ<π
2，得k ＝0，
所以φ＝π2－2π3＝－π6.
综上，ω＝2，φ＝－π
6.
(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －
π6
)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π
6，
∴当2x －π6＝π2，即x ＝π
3时，f (x )最大值＝3；
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－3
2
.
思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32
]，
则m 的取值X 围是__________． 答案 [2π9，5π
18]
解析 画出函数的图象．
由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π
3
，
因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－3
2]，只
要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18
]．
4．三角函数图象与性质的综合问题
典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π
4
)－sin(x ＋π)．
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图象向右平移π
6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，
π]上的最大值和最小值．
思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π
6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．
规X 解答
解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π
4
)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]
＝2sin(x ＋π
3)，[5分]
于是T ＝2π
1
＝2π.[6分]
(2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π
6)，[8分]
∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π
6]，
∴sin(x ＋π6)∈[－1
2，1]，[10分]
∴g (x )＝2sin(x ＋π
6
)∈[－1,2]．[11分]
故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2
＋b 2
·(sin x ·
a a 2＋b
2
＋cos x ·b a 2＋b 2
)；
第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X ．
1．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π
3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )
A ．向左平移5π
6个单位长度
B ．向右平移5π
6个单位长度
C ．向左平移5π
12个单位长度
D ．向右平移5π
12个单位长度
答案 C
解析 由题意，得y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin 2(x ＋5π
12)，则它是由y ＝sin 2x
向左平移5π
12
个单位得到的，故选C.
2．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝－1，则实数
b 的值为( )
A ．－2或0
B ．0或1
C ．±1 D．±2 答案 A
解析 由f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，
k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56
π.若f (x )
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π＋b ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.
3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π
3，则f (x )的最小正周期为( )
A.π2
B.2π3 C ．π D．2π 答案 C
解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π
6)(ω>0)．
由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝1
2，
∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5
6π(k ∈Z )．
令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5
6π，
∴x 1＝0，x 2＝2π
3ω
.
由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π
3，∴ω＝2.
故f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π
2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－
π6，π
3
)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )
A.12
B.32
C.2
2
D ．1
答案 B
解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．
将(－π6，0)代入上式得sin(－π
3＋φ)＝0，
由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π
3)．
函数图象的对称轴为x ＝－π6＋
π
32＝π
12.
又x 1，x 2∈(－π6，π
3)，
且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22
＝π
12
，
∴x 1＋x 2＝π
6
，
∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝3
2
.故选B.
5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是
奇函数，则函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )
A ．－
32B ．－1
2
C.12
D.32 答案 A
解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π
3＝k π，k ∈Z ，
又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π
3，
所以f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3.
又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，
所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－
3
2
. 6．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π
3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )
A ．关于直线x ＝π12对称
B ．关于直线x ＝5π
12对称
C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称
D ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12，0对称
答案 B
解析 由题意知2π
ω
＝π，∴ω＝2；
又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－23π，此时
关于原点对称，
∴－2π
3＋φ＝k π，k ∈Z ，
∴φ＝2π
3＋k π，k ∈Z ，
又|φ|＜π
2，
∴φ＝－π
3，
∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π
12时，
2x －π3＝－π6，
∴A、C 错误； 当x ＝5π
12时，
2x －π3＝π2
，
∴B 正确，D 错误．
7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案
2π3
解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向
右平移2π
3
个单位长度得到．
8.(2017·某某质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (1
6
)的值为________．
答案
34
解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝1
2cos ωx ，
又由题图知12·2π
ω＝1，所以ω＝π，
所以f (x )＝1
2cos πx ，
故f (16)＝12cos π6＝34
.
9．(2015·某某)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－
ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．
答案
π
2
解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋
π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2
＝π4
＋2k π，k ∈Z .
又ω－(－ω)≤
2π
ω
2
，即ω2
≤
π2，即ω2
＝π4，所以ω＝π2
. 10.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π
2)的图象
如图所示，则当t ＝
1
100
秒时，电流强度是________安．
答案 －5
解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1
100
，
∴ω＝2π
T
＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．
∵图象过点⎝
⎛⎭
⎪
⎫1300，10，
∴10sin(100π×1
300
＋φ)＝10，
∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
∴φ＝2k π＋π
6，k ∈Z ，
又∵0<φ<π2，∴φ＝π
6.
∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，
当t ＝
1
100
秒时，I ＝－5安． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π
12，0)，图象上与点P 最近的一
个最高点是Q (π
3，5)．
(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．
解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π
12)＝π，
∴ω＝2π
π
＝2.
故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π
12，0)，
∴5sin(π
6
＋φ)＝0，
由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π
6，
∴y ＝5sin(2x －π
6
)．
(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π6＋k π≤x ≤π
3
＋k π，k ∈Z ，
故函数f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π
3] (k ∈Z )．
12．已知函数f (x )＝3cos 2
x ＋sin x ·cos x －
3
2
. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π
2＝π，
令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π
2
＋2k π，k ∈Z .
可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π
12＋k π]，k ∈Z .
(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π
2，k ∈Z .
∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为
2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π
3
. *13.(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π
2)的部分图象如图所
示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π
3
]上的最大值，并确定此时x 的值．
解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π
3
，
则
2πω＝4×π3，∴ω＝32
. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π
6)＋φ]
＝2sin(－π
4＋φ)＝0，
∴sin(φ－π
4
)＝0，
∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π
4，
∴φ－π4＝0，即φ＝π
4
，
∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π
4)．
(2)由(1)可得
f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4
]
＝2sin(32x ＋π
8
)，
∴g (x )＝[f (x －π12)]2
＝4×1－cos 3x ＋
π
42
＝2－2cos(3x ＋π
4
)，
∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π
4，
∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π
4
时，g (x )max ＝4.。