海南省嘉积中学高三数学第一次质量检测(理)

海南省嘉积中学2010届高三教学质量监测（一）
数学科试题（理）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
注意事项：1.请考生把试题卷的答案写在答题卷上；2.禁止考生使用计数器作答；
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合{}{}
5|,09|52≤∈=<-∈=y C N y B x x R x A ，则集合B A 中元素的个数为（ ）
A.0个
B. 1个
C.2个
D. 3个 2. 曲线y =
2
x
x -在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A. y = -2x+1 B. y = -3x+2 C.y = 2x-3 D. y = x-2 3．将函数y=sin 2x 的图像向左平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 （ ）
A.y=cos 2x
B.y=2
2cos x C.y=1+sin 24x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
D.y=2
2sin x 4．已知集合{}11|,8221|
+<<-∈=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<∈=m x R x B R x A x ，若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．2≥m
B ．2≤m
C ．2>m
D ．22<<-m
5. 定义在R 上的偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减，且0)2
1
(=f ，则满足0)(log 4
1<x f 的
x 的集合为（ ）
A ．),2()2
1
,(+∞-∞
B ．)2,1()1,21(
C ．),2()1,21(+∞
D ．),2()2
1,0(+∞
6．已知函数)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=)0('f ( ) A ． 0 B ．!99- C ．!99 D. !100
7．函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤<≤-+=20,cos 01,1)(πx x x x x f 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A.
23 B. 1 C. 2 D. 2
1 8． 已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2
,2(π
π-
∈x 时，x x x f sin )(+=，则（ ）
A ．)0()2()1(f f f <<
B ．)1()0()2(f f f <<
C ．)1()2()0(f f f << D. )2()1()0(f f f <<
9.设函数)1l g ()(2x x x f ++=，则对于任意的实数a 和b ，“0>+b a ”是“0)()(>+b f a f ”的（ ）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要.
10. 设A 、B 是非空集合，定义{}B A x B A x x B A ∉∈=⨯且,|.已知{}
22|x x y x A -== ，
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>-==)0(122|x y y B x x
，则=⨯B A ( )
A. ),2(]1,0[+∞
B. ]1,0[
C. ),2(+∞
D. (]2,1.
11.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线)(x f y =，一种是平均价格曲线)(x g y =（如3)2(=f 表示开始交易后2小时的即时价格为3元，4)2(=g 表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元）.下面所给出的四个图像中，实线表示
)(x f y =，虚线表示)(x g y =，其中可能正确的是（ ）
A.
B. C. D.
12．已知定义在R 上的函数)(x f 的图像关于点)0,4
3
(-
成中心对称，且满足)23()(+-=x f x f ，
2)0(,1)1(-==-f f ，则)2009()2008()2()1(f f f f ++++ 的值为（ ）
A ． 2-
B ．1-
C ．2 D. 1
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知命题P ：),0(π∈∀x ，都有x x cos sin >，则命题P ⌝： .
14.已知二次函数12)2(24)(2
2+----=p p x p x x f .若)(x f 在区间[]1,1-内至少存在
一个实数m ，使,0)(>m f 则实数p 的取值集合为 . 15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到mL mg /3.0，在停止喝酒后，血液
中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过mL mg /09.0，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少要经过 小时才能开车.（精确到1小时） 16.在实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下性质： ①对任意的a b b a R b a **,,=∈； ②对任意的a a R a =∈0*,；
③对任意的c c b c a ab c c b a R c b a 2)*()*()(**)*(,,,-++=∈. 则=2*1 ；)0(1
*)(>=x x
x x f 的最小值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分) 设全集R U =，集合{}{}
21|,4|2<+=>=x x B x x A . （1）求集合U A ；
（2）若不等式022
<++b ax x 的解集为B ，求实数b a ,的值.
18.(本小题满分12分) 已知三个集合{}
043|,01|
2≤--=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<-=x x x B x mx x A ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>=1log |21x x C ；三个命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件.已知三个命题p 、q 、r 都是真命题，求实数m 的值.
19.(本小题满分12分) 设函数)32()]2('2[)13(2
1
31)(2223-++-+--=
a a x a f a x a x x f . （1）用a 表示)2('a f ，若)(x f 的图像有两条与y 轴垂直的切线，求实数a 的取值范围； （2）当2=a 时，求)(x f 在区间[]3,0上的最大值和最小值.
20.(本小题满分12分) 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需
向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2
(12)x -万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ．
21.(本小题满分12分) 设函数)(x f 是定义在[)(]1,00,1 -上的奇函数，当[)0,1-∈x 时，
2
1
2)(x ax x f +
=（a 为实数）. （1）求当(]1,0∈x 时，函数)(x f 的解析式；
（2）若1->a ，试判断函数)(x f 在(]1,0上的单调性； （3）是否存在a ，使得(]1,0∈x 时，函数)(x f 有最大值6-？
四、选考题（本题满分10分，请从所给的三道题中任选一题做答，并在答题卷上填写所选题目的题号，如果多做，则按所做的第一题记分.） 22．（本小题满分10分）如图，AB 是⊙o 的一条切线，切点
为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙o 的割线，已知AB AC =.
（1）证明：2
AC AE AD =⋅； （2）证明：FG //AC .
23．（本小题满分10分）已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθ
sin 10cos 102y x （θ为参数），曲线
2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=.
（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C 与2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.
24．（本小题满分10分） （1）已知关于x 的不等式72
2≥-+
a
x x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求实数a 的最小值； （2）已知,1,1<<y x 求证：y x xy ->-1.
o .
C G
D
F E
B
2009-2010学年度第一学期高中教学质量监测（一）
高三数学科参考答案（理）
一、选择题（每小题5分，满分60分）
二．填空题（每小题5分，满分20分）
13. ),0(π∈∃x ，使得x x cos sin ≤； 14. )2
3,3(-; 15. 5； 16. 5， 3. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分) 设全集R U =，集合{}{}
21|,4|2
<+=>=x x B x x A .
（1）求集合U A ；（2）若不等式022
<++b ax x 的解集为B ，求实数b a ,的值.
解：（1） {}
{}22|4|2>-<=>=x x x x x A 或，…………3分 ∴
U
{}22|≤≤-=x x A …………3分
（2）{}
{}13|21|<<-=<+=x x x x B ，…………2分
若不等式022
<++b ax x 的解集为B ，则-3和1是方程022
=++b ax x 的两根.
∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⨯-=+-=-641
32
132
b a b a
…………4分 18.(本小题满分12分) 已知三个集合{}
043|,01|
2≤--=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<-=x x x B x mx x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>=1log |21x x C ；三个命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必
要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件.已知三个命题p 、q 、r 都是真命题，求实数m 的值. 解
：
命题
p
是真命题，即
+
∈<<N m m ,60 ①
∴⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=m x x x mx x A 10|01| …………2分
又{}
{}41|043|2≤≤-=≤--=x x x x x B ，⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<
<=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>=210|1log |2
1x x x x C …………4分 命题q 、r 都是真命题，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤∴21141m m
② …………4分 由①②得1=m .…………2分
19.(本小题满分12分) 设函数)32()]2('2[)13(2
1
31)(2223-++-+--=
a a x a f a x a x x f . （1）用a 表示)2('a f ，若)(x f 的图像有两条与y 轴垂直的切线，求实数a 的取值范围； （2）当2=a 时，求)(x f 在区间[]3,0上的最大值和最小值. 解：（1） )32()]2('2[)13(2
1
31)(2223-++-+--=
a a x a f a x a x x f ∴)]2('2[)13()('22a f a x a x x f -+--=，…………2分
令a x 2=，得a a f a f a a a a a f =⇒-+--=)2(')]2('2[)13(2)2()2('2
2
，…………2分
若)(x f 的图像有两条与y 轴垂直的切线，则方程0
)]2('2[)13()('2
2=-+--=a f a x a x x f 有两不等实根，
∴00)1(0)]2('2[4)]13([222≠⇒>-⇒>----=∆a a a f a a …………2分
（2）当2=a 时，562
531)(2
3++-=
x x x x f ，65)('2+-=x x x f ∴ 3,2065)('212==⇒=+-=x x x x x f ，
,32065)('2<<⇒<+-=x x x x f )(x f 在)3,2(上单调递减，
,32065)('2><⇒>+-=x x x x x f 或)(x f 在)2,-(∞与),3(+∞上单调递增，…………3分
∴)(x f 在区间[]3,0上，当2=x 时，)(x f 取得极大值3
29
)2(=
f ， 当3=x 时，)(x f 取得极小值2
19
)3(=
f ，又5)0(=f ； ∴)(x f 的最大值为3
29
)2(=
f ，)(x f 的最小值为5)0(=f .…………3分 20.(本小题满分12分) 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2
(12)x -万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．…………4分
（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823)x a x =-+-． 令0L '=得2
63
x a =+
或12x =（不合题意，舍去）．…………2分 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在2
63
x a =+两侧L '的值由正变负．
所
以（1）当28693a +<≤即9
32
a <≤时
，
2
m a x (9)
(93)(129
)
9(
6)
L L a a ==--
-=-．…………2分 （
2
）
当
22
8
9633
a +≤≤
即
9
52
a ≤≤时
，
2
3
m
a x 2221(6)6312643
333
3L L a a a a a ⎡⎤⎛
⎫⎛
⎫⎛⎫
=+=+
---+=- ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦，…2分 所以3
99(6)32()1943532a a Q a a a ⎧
-<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭
⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932
a <
≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若
952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值3
1()433Q a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（万元）．
…………2分
21.(本小题满分12分) 设函数)(x f 是定义在[)(]1,00,1 -上的奇函数，当[)0,1-∈x 时，
2
1
2)(x ax x f +
=（a 为实数）.（1）当(]1,0∈x 时，求函数)(x f 的解析式；（2）若1->a ，试判断函数)(x f 在(]1,0上的单调性；（3）是否存在a ，使得(]1,0∈x 时，函数)(x f 有最大值6-？
解：（1）设(]1,0∈x ，则[)0,1-∈-x ， 函数)(x f 是定义在[)(]1,00,1 -上的奇函数，
∴)()(x f x f -=-，
即
,12)12()()(22x
ax x ax x f x f -=+
-=--=∴
当
(]
1.0∈x 时，
2
1
2)(x ax x f -
=；…………3分 （2）当(]1,0∈x 时，)1(222)('33x a x a x f +=+
=，
1->a ，又当(]1,0∈x 时，11
3
≥x ， ∴0)1
(222)('33>+=+
=x
a x a x f ，即函数)(x f 在(]1,0上单调递增；…………3分 （3）由（2）知当1->a 时，)(x f 在(]1,0上单调递增，∴12)1()(-==a f x f m an ， 令2
5
612-
=⇒-=-a a （不合，舍去）…………2分 当1-≤a 时，在(]1,0上，令33310)1(222)('a
x x a x a x f -=⇒=+=+
=， 310)('a
x x f -
<⇒>，)(x f 在)1
,(3a --∞上单调递增，
310)('a
x x f -
>⇒<，)(x f 在),1
(3+∞-a 上单调递减，…………2分
∴当31a x -
=时，,226)1()(3-=⇒-=-=a a f x f man 此时(]1,02
2
13∈=
-=a x ∴存在,22-=a 使得(]1,0∈x 时，函数)(x f 有最大值6-.…………2分
四、选考题（本题满分10分，请从所给的三道题中任选一题做答，并在答题卡上填写所选题
目的题号，如果多做，则按所做的第一题记分.） 22．（本小题满分10分）如图，AB 是⊙o 的一条切线，切点为B ，
CGE CFD ADE ,,都是⊙o 的割线，已知AB AC =.（1）证明：
2AC AE AD =⋅；（2）证明：FG //AC .
（1）证明： AB 是⊙o 的一条切线，ADE 是⊙o 的割线
∴由切割线定理得2AB AE AD =⋅，…………2分
又AB AC =∴2
AC AE AD =⋅…………2分
（2）证明：由（1）得
AE
AC
AC AD =，又DAC EAC ∠=∠ ∴ ACE ADC ∆∆~，…………2分
∴ ACE ADC ∠=∠又EGF ADC ∠=∠，∴ACE EGF ∠=∠……2分 ∴
o .
A
C
G
D
F
E
B
FG //AC ……2分
23．（本小题满分10分）已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θ
sin 10cos 102y x （θ为参数），曲线
2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=.（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为普通方程；
（2）曲线1C 与2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.
解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θ
sin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x ， 即为曲线1C 的普通方程…………
2分
θθρsin 6cos 2+= ∴θρθ
ρρs i n 6c o s 22+= θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x
∴ 10)3()1(622222=-+-⇒+=+y x y x y x ，即为曲线2C 的直角坐标方
程…………2分
（2）曲线1C ：10)2(22=++y x 表示圆心为)0,2(1-C ，半径为101=r 的圆；
曲线2C ： 10)3()1(2
2
=-+-y x 圆心为)3,1(1C ，半径为102=r 的圆，…………2分
21222110223)30()12(r r C C +=<=-+--=，∴两圆相交…………2分
设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C ，
∴ 22)10()2
23(
)2(22
2=⇒=+d d …………2分 24．（本小题满分10分）（1）已知关于x 的不等式72
2≥-+
a
x x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求实数a 的最小值；（2）已知,1,1<<y x 求证：y x xy ->-1. （1）解： ),(+∞∈a x ∴ 0>-a x 由a a
x a x a x x 272
)(2722-≥-+-⇔≥-+
在),(+∞∈a x 上恒成立…………1分 而42
)(222)(2=-⋅-≥-+
-a
x a x a x a x …………2分 ∴2
3
274≥
⇒-≥a a ，∴实数a 的最小值为23.…………2分
（2）证明： 01,011,11,12222>->-⇒<<⇒<<y x y x y x …………2分
∴0)1)(1(112222222
2
>--=---=---y x y x y x y
x xy …………2分
∴⇒->-2
2
1y
x xy
y x xy ->-1…………1分。