单叶双曲面直母线族中平行直线的性质

0 M
臼
。
,
y
。
,
) 0
,
由于 点
0 M
二
~
在 单 叶双 曲面 上 将
l
0 M
, ,
坐标 代入 曲面 方程
(1 )
得
若
~
y
O
不
“
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门-
不歹
“
若
. ,
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“
,
口
.
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V
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.
,
一_ ~ 拟 点 阴 竺怀 刊 与 成 似
.
u
族 中的任何一条 直母 线 如果在
.
v
族 中存在 两条直
母线 与之平 行 则这 两条 直母线 也相 互平行 这 与引理 中的同族 任 两条直 母线是 异 面 直线矛 盾
.
再 证存 在性
, .
先 在 单 叶 双 曲 面 上 取 一 点 为计 算 方便 不 妨 将 此 点取 成 曲面 与
X 口y
:
坐标 面交点
: 叹 `J 七 | 、 o t
“
族和
v
.
族 其方程分
V “
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t
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兰) 一
“
门 +
华
O
“
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“ C
拱
0
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v
(1
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( v
在
2 ) (
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“
,
兰 ) 一
亡
一
( 1 十 t
.
中
,
w 2 ) (
二
“
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3 ) (
,
在
`
3 ) (
中
t
,
v
.
不全 为零
通 过整理
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和
一
也可 写成
“
“ V
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号
犷 二
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,
之
一 。
+
含
+
一
一 管 誉 + 含 手
,
之
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一 。 一 。
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号
引理
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一 一 含 子
.
,
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`
一 。
:
对 于 单 叶双 曲 面 的两族 直母 线 有 下 面 一 些性 质
) 而 同族 的任何两 条直母线 必 是异 面 直线 ` 见 图 l
9 卷 第3 期 第1 19 9 年1 月
零陵 师范高 等专科 学 校学报
一
】 19
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0
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单 叶 双 曲 面 直 母 线 族 中 平 行 直 线 的 性 质
陈 孝成
零 陵 师 专数 学系 永 州
【 摘要 1
,
42 500 6 )
(
一
二
。
,
:
x b
。
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—
知+ a
偏
.
+
偏 一
:
2
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一
二
, 若
,
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丙
z
一
二
, + 若
“
。
x
器
而
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v
5 ) (
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Z
一
a v
2
.
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一
。
r
Z
一 二
2
}
如果 在
族 中存在 与
v
l
。
,
平行 的直 线 则
/
a v
Z
“
。
,
两矢量分 量对应成 比例 即
a “
t
Z
二:
工
0 x
,
再将此 比值 代入 方程
4 (
,
可求得
“
族中
M 点的直母 线方程 为 0
、 `J | l e tI“
+
礼
U 。
J
一
二。
.
。
+
一 一
几丁 U
y
卞 一
偏一
f
二
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乙
一
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一 。
乙 了
0
求得
;
z
、 (
的方 向矢量为
一 {a x 。一
v 。
。
。 。 +
—
X
o
十
孔
b , 若
2
二
若 ,
— 住
芯
卞
偏
2
[’ 」
.
单 叶 双 曲面上 异族 任何两 条直母线 必 共面
收 稿 日期
1 9 98 一
0
6 一 27
第
期
陈孝成
“
直 母 线 族 中平行 直 线 的性 质 单叶双 曲面 3
,
定理
:
对于
.
族 中任 何 一 条直母线 在
, .
v
.
族 中有 且 只有 一 条 直 母线与之 平行
.
证 唯 一性 是 显 然 的 事实 上 对 于
,
“
,
族 中任何一 条直母 线 在
,
v
族 中有且 只 有一条 直母线 与之平
,
行 同样 在 v 族 中任 何 一 条直 母线 在
,
“
族 中也有 唯一条直母 线与之平 行 由于 两族母线 的
. .
情形是对 等 的 所 以 两族 中的 平行直 线是 一 一 对应 的 性质
l
每 对平 行直母 线必 通过单 叶双 曲腰 椭 圆的一双对径 点
,
偏
〔
,
一
二
若
Z
.
+
a 八 一 了 +
偏
b
:
—
二。
一
义
。
一
一
一
下
之
卞
— 二
a
寸
v
/
“
。
一
苗 6
一
U
零陵师范高等专科 学 校 学 报
.
8
年
于 是定理 得到证 明
.
对 于 单 叶双 曲面异族 间的平 行直 母线 还具有下 列性质 性质
. .
工
两母线族 间的平行 直线一 一对应
,
从 定理 的证 明可 知 对 于
本文对单叶 双 曲 面直 母 线进 行了深 入 的探 索 特别 对 两异 族 直母 线中平行直线独 特的性质作 了较
.
详 细 的论述 关键词 单 叶双 曲面 直母线 腰椭圆 平行 对径点 直纹 面
我 们知道 柱 面 和锥面 都可 以 由一族 直母线构 成 这 种能 由一族 直线构 成的 曲面 叫做 直
。
二
,
,
,
,
L
_
,
,
b
。
Z
v
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万
:
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,
~
_
_
卜
面 再求
族 中过 点
0 M
、
的直母 线方 程 将
、 .
0 点坐标 代入 M
“
族方 程 ( 2 ) 得
r e s | l 之
…
从上方程 组解得 过
w
:
“ W 一 X
1 !
一
了 .
1 十
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亚
1 一
“
(
:
。
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:
+
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腰椭 圆方 程 为
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( 由于 点 M 0 x
。
,
.
,
丁 会办 橇
。少是单 叶双 曲面 与
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坐 标面的交 点 所 以 点 M 0 在腰椭
0 x
,
圆上 而
,
0 M
点关 于 腰椭 圆
帆
。 即原 点 ,
的对 称点为
一 M。 0
,
一
,
会石二确
,
.
) 0
.
那么 点
0 与M M 0 是腰 椭 圆的一双对径 点 ( 即腰 椭 圆直径 的两 个端 点) 显然 M 0 点坐 标 满足 几的方
程
8 ) (
, ,
因此 两族 母 线中的平行 直线对分 别通过腰 椭 圆的 一 双对径点
班
性质
设
d
2 簇 为平行直母 线 间距离 那么 b
(l )
.
d
a
a 簇 2
a (
> 句
,
,
我 们不妨先设 单 叶双 曲面 方程
Z 圆的最长 的直 径为 a
. , ,
,
.
纹曲 面 在 二次 曲 面 中 单 叶双 曲面也 可 以 由两族 不 同的直母 线各 自单独构 成 且 这些 直 母
.
线具有奇妙 独特 的性 质 设 单叶双 曲面方 程为
万牙 十
“一
Z x
2 b 之
扩 沙 一
一
一
,
它 由不同的两块 直母线 单独组 成 我 们把这两族 直母线 分别 叫做 别为
一
Zb t v 一
二
一 “
。
2
一
四
, 若
2
2
对 一
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碗
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2
, 若 一
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。
。 。
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( a
、
一
扎
:
一
二
+
〔:
诱
求得
:
,
一
v
+
孔
一
2
Hale Waihona Puke 瑞。.:、
。
将 上 比值 代入
母 线族方 程
丈 。
3 ) (
2
可求出
:
v
族中与
“
Z
。
平行 的直 线
们 `了
,
…
、
偏
a :
一
活
2
+
、
一
会十
端
y