广东省佛山市第一中学2016届高三10月月考数学试题Word版含答案

2015学年度上学期高三级第二次段考文科数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分）
1.集合2
{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B 等于 （ ）
A 、{|01}x x <≤
B 、{|12}x x ≤<
C 、{|12}x x <≤
D 、{|01}x x ≤<
2.已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( ) A 、
3
π B 、
34
π C 、
4
π D 、
6
π 3. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题
B ．命题“p 或q ”是假命题
C ．命题“⌝p 且q ”是真命题
D ．命题“p 且q ⌝”是真命题
4．函数cos(2)4
y x π
=+的图象可由函数cos 2y x =的图象( )
A 、向左平移
8π
个单位长度而得到 B 、向右平移8π
个单位长度而得到
C 、向左平移4π
个单位长度而得到
D 、向右平移4
π
个单位长度而得到
5.设函数x x x f 2cos 32sin )(+=，则下列结论正确的是：( )
A.)(x f 的图象关于点)0,32(
π中心对称 B.)(x f 在]6
,0[π
上单调递增 C.把)(x f 的图象向左平移
12
π
个单位后关于y 轴对称 D.)(x f 的最小正周期为π4
6．“2a =”是“函数()||f x x a =-在)3[∞+上是增函数”的（ )
A. 必要非充分条件
B. 充分非必要条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件 7．函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）
8．已知向量)2,(x a = ，),1(y b = ，其中0,0>>y x ，若4=⋅b a ，则y
x 2
1+的最小值为
（ ） A ．
23 B.2 C.4
9
D.22 9．设函数f (x )＝2x
1＋2x
－1
2
，[]
x 表示不超过x 的最大整数，则函数[])(x f y = 的值域是( )
A ．{0,1}
B ．{0，－1}
C ．{－1,1}
D ．{1,1}
10、如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有(1,)n n n N *
>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则
233445
20122013
9999
a a a a a
a
a a
+++
+
=（ ）
A 、
20102011 B 、20112012 C 、20122013 D 、2013
2012
11．已知函数)2cos()(ϕ+=x x f 满足()(1)f x f ≤对R x ∈恒成立，则（ ） A. 函数(1)f x -一定是奇函数； B. 函数(1)f x -一定是偶函数； C ．函数(1)f x +一定是奇函数； D. 函数(1)f x +一定是偶函数 .
12．已知函数12,02()122,1
2
x x f x x x ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，21
()(())f x f f x =.则满足方程
2()f x x =的根的个数为（ ）
A.0个
B.2个
C.4个
D.6个 二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．函数()ln x
f x e x =⋅在点()1,0处的切线方程为 .
14.设数列{}
的通项n a 公式为72a n -=n ),(+
∈N n 则=++++15321a a a a __________.
1234212213342135456213575678
⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯15．已知正ABC ∆的边长为3，点F 是边AB 上一点，且1
3
BF BA =，则C F C A ⋅＝ .
16．已知下列四个等式：
依此类推，猜想第n 个等式为
.
三、解答题（共70分）
17．（本题12分）已知{}n a 为等差数列，且366,0a a =-=． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足121238,b b a a a =-=++,求{}n b 的前n 项和n S
18．（12
分）已知向量2
(2cos ,)m x =，(1,sin 2)n x =，函数()f x m n =⋅
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．
19．（本小题满分12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：
其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．
（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？ （Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机
地访
问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率． 20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,0
90=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在
棱,PB PC 上，且BC//平面ADE. （Ⅰ）求证：DE ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，
求多面体ABCED 的体积．（请把图画在答卷上） 21. (本小题满分12分)
己知函数 2
1()ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈ (1) 若 (1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;
(2) 若关于x 的不等式 ()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值: (3 若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=， 证明
: 12x x +≥
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B 铅笔在所选题号涂黑。

22. (本小题满分12分) 如图，已知PE 切圆O 于点E ，割线PBA 交圆于B A ,
两点，APE ∠的平分线PC 与AE ，BE 分别交于D C ,. (1)求证：.DE CE =. (2)求证：PB
PE
CE CA =.
23.(本小题满分12分) 已知直线⎩⎨⎧=+=αα
sin cos :t y t m x l (t 为参数)经过椭圆⎩⎨⎧==ϕ
ϕsin 3cos 2:y x C
的左焦点F . (1)求m 的值；
(2)设直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，求||||FB FA ∙的最大值和最小值.
24.(本小题满分12分)若不等式|1|75+>-x x 与不等式022
>-+bx ax 同解，而
k b x a x ≤-+-||||的解集为空集，求实数k 的取值范围.
数学(文科) 参考答案及评分标准
一、选择题： DCCAC BACBB DC
二、填空题：13.0=--e y ex 14. 153 15. 6
16. )()3()2()1()12(75312n n n n n n n
+⨯⨯+⨯+⨯+=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 三．解答题
17．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵366,0a a =-=，∴ 1126
50
a d a d +=-⎧⎨
+=⎩， 2分
解得 110,2
a d =-=. 4分
∴
10(1)2212
n a n n =-+-⋅=-. 6分
（2）设等比数列
{}n a 的公比为q ，∵
12123
8,b b a a a =-=++＝3
2
a ＝－24， 8分
∴ q ＝
21
a a ＝3， 10分
∴ {}n b 的前n 项和n S ＝8(13)
13n ---＝
4(13)n
-. 12分 18．解：（1
）22
()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+ …2分
cos 2122sin(2)16x x x π
=++=++
………4分
∴函数()f x 的最小周期22
T π
π== ………5分
（2）31)6
2sin(2)(=++
=π
C C f ∴1)6
2sin(=+π
C
C 是三角形内角，∴262ππ=+
C 即：6
π
=C ………7分 ∴2
3
2cos 222=
-+=ab c a b C 即：722=+b a ． ………9分 将32=ab 代入可得：7122
2=+a
a ，解之得：432
或=a ∴23或=
a ,∴32或=
b ………11分
b a >,∴2=a ，3=b ． ………12分
19．解：（Ⅰ）解:该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，………1分
其中生活能够自理的人有120+133+32=285人， ………………2分 记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A ， 则P （A ）=
20
19
300285= ………………………………………4分 （Ⅱ ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，
不大于0的老龄人共有70人， …………………………………………………5分
所以，按照分层抽样，，被抽取的5位老龄人中，有
45350
280
=⨯位为健康指数大于0的， 依次记为：a,b,c,d,有一位健康指数不大于0的，记为e 。

…………………………7分 从这5人中抽取3人的基本事件有：（a,b,c ）(a,b,d)(a,b,e)(a,c,d)(a,c,e)(a,d,e) (b,c,d)(b,c,e)(b,d,e)(c,d,e)共10种， ……………………………………………9分 其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有： (a,b,e) (a,c,e)
(a,d,e) (b,c,e)(b,d,e)(c,d,e)共6种， ……………………………………10分 记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件B ，
则P （B ）=
5
3
106= ……………………………12分 20．解：（Ⅰ） BC//平面ADE, BC ⊂平面PBC, 平面PBC ⋂平面ADE=DE
∴BC//ED ………………2分
∵PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ∴PA ⊥BC. …………………………3分
又90BCA ︒
∠=，∴AC ⊥BC.
∵PA ⋂AC=A, ∴BC ⊥平面PAC. …………………………………4分 ∴DE ⊥平面PAC . ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE ⊥平面PAC ，
∵PC ⊂平面PAC ，∴DE ⊥PC ， …………………………………7分 又∵PC ⊥AD ，AD ∩DE=D ，∴ PC ⊥平面ADE ，∴ AE ⊥PC ， ………………9分 ∵AP=AC, ∴E 是PC 的中点，ED 是∆PBC 的中位线。

41P ABC PBC P ADE PED V S V S -∆-∆∴==
…………10分
∴ 11
8244P ADE
P ABC V V --==⨯= …11分
∴
826
ABCED P ABC P ADE V V V --=-=-= …12分
21．（1）因为(1)102
a
f =-
=，所以2a =， ………………1分 此时2
()ln ,0f x x x x x =-+>，
2121
()21(0)x x f x x x x x
-++'=-+=> ………………… 2分
由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．
所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………… 3分
（2）方法一：令2
1()()1)ln (1)12
g x f x ax x ax a x =-=-
+-+-(， 所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=．…………………4分
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，
又因为213
(1)ln11(1)12022
g a a a =-
⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立． ……………5分
当0a >时，21
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x
-+-+-+'==-
， 令()0g x '=，得1x a
=
． 所以当1(0,)x a
∈时，()0g x '>；当1(,)x a
∈+∞时，()0g x '<，
因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a
∈+∞是减函数．
故函数()g x 的最大值为2111111()ln
()(1)1ln 22g a a a a a a a a
=-⨯+-⨯+=-．…6分 令1
()ln 2h a a a
=
-， 因为1(1)02h =
>，1
(2)ln 204
h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．
所以整数a 的最小值为2． ……………………7分 （3）当2a =-时，2
()ln ,0f x x x x x =++>
由1212()()0f x f x x x ++=，即22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++= 从而2
12121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………… 8分
令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1
()t t t
ϕ-'=
可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥， …………………………10分
所以2
1212()()1x x x x +++≥，
因此12x x +成立． ………………………… 12分 22.证明：(1)∵PE 切圆于O 于点E ，∴BEP A ∠=∠ ---------1分 ∵PC 平分APE ∠， ∴DPE BEP CPA A ∠+∠=∠+∠ --------2分 ∴EDC ECD ∠=∠ ---------------3分 ∴ED EC = ---------------------4分 ∴DE CE = ---------------------------5分 (2)∵PCE PDB ECD EDC EDC PDB ∠=∠∠=∠∠=∠,, ∴EPC BPD ∠=∠ -------------6分 ∴PBD ∆∽PEC ∆ ------------7分
∴PD
PC
PB PE = --------------------8分 同理PDE ∆∽PCA ∆ ，∴DE
CA
PD PC = --------9分 ∴PB
PE
CE CA = -------------------------10分
23.解：(1)∵椭圆C 的普通方程为13
42
2=+y x ----------------1分 ∴F 坐标为(-1,0) ------------------------2分 ∵直线l 过F 且l 过点)0,(m -----------4分 ∴1-=m -------------5分
(2)将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程并整理得
09cos 6)sin 4cos 3(222=--+αααt t -----------7分
则||||FB FA ∙=|21t t |=
α
αα222sin 39
sin 4cos 39+=+ --------8分
当0sin =α时，||||FB FA ∙取最大值3 ----------------9分 当1sin ±=α时，||||FB FA ∙取最小值4
9
--------------10分
24.解：(1)|1|75+>-x x 等价于
⎩⎨⎧+>--≥)1(751x x x 或⎩⎨
⎧+>--<)
1(751
x x x ---------------2分 解得4
1
1-
<≤-x 或12-<<-x ---------------4分 所以不等式022
>-+bx ax 的解集为}4
12|{-<<-x x ------------5分
所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
-⨯-=---=-<)41(22
4120a
a
b
a ，解得9,4-=-=
b a --------------7分
因为k x x ≤+++|9||4|的解集为空集需满足min |)9||4(|+++<x x k ---------8分 而5|)9()4(||9||4|=+-+≥+++x x x x ---------------9分 所以实数k 的取值范围是)5,(-∞ -----------------------10分。