实变函数试题库（4）及参考答案

实变函数试题库（4）及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4）本科
⼀、填空题
1.设为两个集合,则.
,A B __c
A B A B -I 2.设,如果满⾜(其中表⽰的导集),则是
n
E R ?E E E '?E 'E E 3.若开区间为直线上开集的⼀个构成区间,则满(i) (,)αβG (,)αβ）（b a ,G
(ii),a G b G
4.设为⽆限集.则的基数(其中表⽰⾃然数集的基数) A A __A a a N
5.设为可测集, ,则.
12,E E 2mE <+∞1212(\)__m E E mE mE -6.设为可测集上的可测函数列,且,则由______定理可知得,{}()n f x E ()(),n f x f x x E ∈存在的⼦列,使得.
{}()n f x {}
()k n f x .()()
()k a e
n f x f x x E →∈7.设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值
存在且
()f x E n
R ?()f x E L 在上可积.（填“⼀定”
“不⼀定”）|()|f x E L 8.若是上的绝对连续函数,则是上的有 ()f x [,]a b ()f x [,]a b ⼆、选择题1．设，则（）
(){},001E x x =
≤≤ 是中闭集是中完备集
A 1mE =
B 0mE =
C E 2R
D
E 2R 2．设，是上的可测函数，则（）
()f x ()g x E 、不⼀定是可测集、是可测集
A ()()E x f x g x ??≥??
B ()()E x f x g x ??≠??
、是不可测集、不⼀定是可测
C ()()E x f x g x ??≤??
D ()()
E x f x g x ??=??集
3．下列集合关系成⽴的是（
）
A 、　
B 、　
(\)A B B A B =U U (\)A B B A =U C 、 D 、(\)B A A A ?U \B A A
4. 若是开集，则
（）
(
)n
E R
A 、的导集
B 、的开核
C 、
D 、的导集
E E ?E E =E E =E E
=三、多项选择题（每题⾄少有两个以上的正确答案）1．设是上有界函数，且可积，则（）()f x [],a b L 在上黎曼可积在上可测
A ()f x [],a b
B ()f x [],a b 在上⼏乎处处连续在上不⼀定连续
C ()f x [],a b
D ()f x [],a b 2. 设,则(
)
{[0,1]}E =中的⽆理点A 、是可数集 B 、是闭集 C 、中的每个点均是聚点 D 、E E E 0
mE >3.　若()⾄少有⼀个内点，则（
）
E R ?A 、可以等于０ B 、 C 、可能是可数集 D 、不可能是可数集
*m E *
0m E =E E 4．设是可测集，则的特征函数是（）
[,]E a b ?E ()E x χA 、上的符号函数
C 、上的连续函数
[,]a b E B 、上的可测函数 D 、上的连续函数
[,]a b [,]a b
四、判断题
1. 零测集上的函数是可测函数. （）
2. 可列个闭集的并集仍为闭集（）
3. 任何⽆限集均含有⼀个可列⼦集
（）4. 设为可测集，则⼀定存在集，使，且. （
）
E G σG E G ?()\0m G E =五、定义题
1. 为什么说有界变差函数⼏乎处处可微？
2. 简述⽆穷多个开集的交集是否必为开集？
3. 可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？
E 4. 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
[],a b 六、计算题
7. 设，为康托集，求.
()[]3
sin 0,1\x
x P
f x x x P ?∈?=?
∈??P ()[]
0,1f x dx ?8. 求.
()()
0,ln lim
cos x
n n x n e xdx n -→∞+?
七、证明题
1．设是上⼏乎处处有限的可测函数，且，
(),(),(),()n n f x g x f x g x E ()()n f x f x ?，则()()n g x g x ?()()()() n n f x g x f x g x +?+
2．设是上在上也是可积的
(),()f x g x E L -E L -
3．设是可测集上的⾮负可测函数，如果
，则于()f x E ()0E
f x dx =?
()0.f x a e =E
4．证明等式：\()(\)(\)
A B C A B A C =U I
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⼀、填空题
1.等于
2.闭集.
3.
4.
5.
6.黎斯
7.不⼀定不⼀定
8.界变差函数.(a,b)G ?≥≥2、单选题1.B 2.B 3.A 4.B
3、多选题1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC
四、判断题√×√√五、定义题
1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表⽰成两个单调增函数的差，⽽单调函数⼏乎处处可微，所以有界变差函数⼏乎处处可微.
2.答：不⼀定，如[]1
111,11,1n n n +∞
=??
--
-+=- ??
I 3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不⼀定是简单函数，可测函数⼀定可表⽰成简单函数列的极限形式.
4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不⼀定为单调函数，有界变差函数可表⽰成单调函数之差.
六、解答题
1.解：因为，所以于0mP =(),.f x x a e =[]
0,1于是
⽽在上连续，所以
()[]
[]
0,10,1f x dx xdx =??
x []0,1 因此
.[]
()21
2
1000,11
|22x xdx R x dx ===??()[]
0,11
2
f x dx =
2.解：令()()()
()0,ln cos x
n n x n f x x e x n
χ-+=显然在上可测，且
()n f x ()0,+∞()()()()
0,0,ln cos x
n n x n e xdx f x dx n -+∞+=??因为()()()
()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n
-++≤
≤?∈+∞=L 不难验证，当⾜够⼤时，是单调递减⾮负函数，且()()
ln n x n g x n
+=
n ，所以
()lim 0n n g x →∞
=()()()()()()0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==() 0,00dx +∞==?由勒贝格控制收敛定理 ()()
0,lim
n n f x dx →∞
+∞=?
故.
()()
0,ln lim
cos 0x
n n x n e xdx n -→∞+=?七、证明题
1.证明对任何正数，由于
0σ>
|(()())(()())||()()||()()|
n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+- 所以[|(()())(()())|]
n n E x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|[|()()|2
2
n n E x f x f x E x g x g x σ
σ
-≥
-≥
U 于是[|(()())(()())|]
n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|][|()()|]2
2
n n mE x f x f x mE x g x g x σ
σ
≤-≥
+-≥
0()
n →→∞ 故()()()()
n n f x g x f x g x +?+2.证明因是上可积，所以在上可积，从⽽
(),()f x g x E L -|()|,|()|f x g x E L -
可积，
|()||()|f x g x +L -
|()||()|f x g x ≤=+
在上可积
E L -3.证明反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，[|()0]A E x f x =>()f x A 0mA =若不然，则0 mA >由于，所以存在，使1
1
[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞
==>=
≥U 1N ≥1
[|()]0mE x f x d N
≥
=> 于是
1
1
[|()[|()]
111()()[|()0E
E x f x E x f x N
N
d f x dx f x dx dx mE x f x N N N N
≥≥≥≥=≥=>?
因此，⽭盾，故于()0E
f x dx >?
()0.f x a e =E
4.证明
\()()()()()(\)(\)
c c c c c
A B C A B C A B C A B A C A B A C ====U I U I I I I I I。