苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷检测题(Word版 含答案)

苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷检测题（Word 版 含答案）
一、压轴题
1．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．
（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
2．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：
若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩
'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是
(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．
（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；
②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）
（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标
b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．
3．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；
（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF
4．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足
|21|280a b a b --+-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：
3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线3
34
y x =-+分别交,x y 轴于A B ，两点，C 为线段
AB 的中点，(,0)D t 是线段OA 上一动点（不与A 点重合），射线//BF x 轴，延长DC
交BF 于点E ． （1）求证：AD BE =；
（2）连接BD ，记BDE 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；
（3）是否存在t 的值，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
6．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．
（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．）
（2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________．
7．如图，A ，B 是直线y =x +4与坐标轴的交点，直线y =-2x +b 过点B ，与x 轴交于点C ．
（1）求A ，B ，C 三点的坐标； （2）点D 是折线A —B —C 上一动点．
①当点D 是AB 的中点时，在x 轴上找一点E ，使ED +EB 的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E 点的坐标．
②是否存在点D ，使△ACD 为直角三角形，若存在，直接写出D 点的坐标；若不存在，请说明理由
8．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
9．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段
CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)． （1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；
（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与
CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？
10．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .
（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；
（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；
（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，
NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.
11．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．
（1）求证：FHA ADC ≌△△； （2）求证：点G 是EF 的中点．
12．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，且AB ＝AD +BC ，E 是DC 的中点，连结BE 并延长交AD 的延长线于G ．
（1）求证：DG ＝BC ；
（2）F 是AB 边上的动点，当F 点在什么位置时，FD ∥BG ；说明理由．
（3）在（2）的条件下，连结AE 交FD 于H ，FH 与HD 长度关系如何？说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为
12
5
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【解析】 【分析】
（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；
②由全等三角形的性质可得BP=PC=1
2
BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解． 【详解】
解：（1）①△BPD 与△CQP 全等， 理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ， ∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ， ∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ， ∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ， 在△BPD 和△CQP 中，
BD CP B C BP CQ =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），
②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， ∴BP ≠CQ ，
∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ， ∴BP =PC =1
2
BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =
52
， ∴点Q 的运动速度=612552
=
cm /s ，
∴当点Q 的运动速度为
12
5
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：
12
5
x ﹣2x =36， 解得：x =90， 点P 沿△ABC 跑一圈需要181810
232
++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），
∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全
等三角形的判定是本题的关键． 2．（1
）①)
；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤．
【解析】 【分析】
（1）利用限变点的定义直接解答即可；
（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；
（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出
m n ，的值，从而求出s 即可；
（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可． 【详解】 解：（1
）①∵2a =
，
∴11b b ==-='，
∴坐标为：)，
故答案为：)；
②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，
∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，
， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2， ∵()2,2满足2y =， ∴这个点是B ， 故答案为：B ；
（2）∵点C 的坐标为(2,2)--， ∴OC 的关系式为：()0y x x =≤， ∵点D 的坐标为(2,2)-，
∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，
∴点P 满足的关系式为：()
()00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩
，
∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为： 当2x ≥时：1b x '=--， 当02x <<时：b x x '=-=， 当0x ≤时，b x x '==-， 图像如下：
通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-， 当2x <时，0b '≥，∴0m =， ∴()033s m n =-=--=；
（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，
，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253
a c ka c k -+=-⎧⎨
+=-⎩，解得：1
3a c =⎧⎨=-⎩，
∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，， ∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)
|3|3(22)
x x b x x x -⎧'=⎨-=--<⎩，
图象如下：
当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2， 当b '＝5时，
x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2， 当b ′＝1时，
x ﹣4＝1，解得：x ＝5， ∵ 25b '-≤≤，
∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤． 【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度． 3．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ； （2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出
∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】
（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发， ∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60° 在△ACD 与△CBE 中， AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）， ∴CD=BE ，即CD 和BE 始终相等； （2）证明：根据题意得：CE=AD ， ∵AB=AC ， ∴AE=BD ，
∴△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°， ∴∠EAB=∠DBC ， 在△BCD 和△ABE 中， BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE ∴△BCD ≌△ABE （SAS ）， ∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°， ∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下： 如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ， ∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ， ∴△ADG 为等边三角形， ∴AD=DG=CE ， 在△DGF 和△ECF 中，
∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC
∴△DGF ≌△EDF （AAS ），
∴DF=EF.
【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
4．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-
⎪⎝⎭；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1）21280a b a b --+-=，
又∵|21|0a b --≥280a b +-，
|21|0a b ∴--=280a b +-=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩
， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦
， 化简，得
3||42
t =， 解得，83
t =±， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭；
（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示，
则ECD CEF ∠=∠，
2BCE ECD ∠=∠，
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，
过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示，
则OGP BPE ∠=∠，
PE 平分OPB ∠，
OPE BPE ∴∠=∠，
OGP OPE ∴∠=∠，
由平移得//CD AB ，
//OG FE ∴，
FEP OGP ∴∠=∠，
FEP OPE ∴∠=∠，
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，
CEP CEF OPE ∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE
∴∠=∠-∠，
3()
BCD CEP OPE
∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）
3
6(04)
2
BDE
t t
S-+≤<
=；（3）存在，当
7
8
t=或
4
3
时，使得BDE是以BD为腰的等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）先判断出EBC DAC
∠=∠，CEB CDA
∠=∠，再判断出BC AC
=，进而判断出△BCE≌△ACD，即可得出结论；
（2）先确定出点A，B坐标，再表示出AD，即可得出结论；
（3）分两种情况：当BD BE
=时，利用勾股定理建立方程222
3(4)
t t
+=-，即可得出结论；当BD DE
=时，先判断出Rt△OBD≌Rt△MED，得出DM OD t
==，再用
OM BE
=建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：射线//
BF x轴，
EBC DAC
∴∠=∠，CEB CDA
∠=∠，
又C为线段AB的中点，
BC AC
∴=，
在△BCE和△ACD中，
CEB CDA
EBC DAC
BC AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
BE AD
∴=；
（2）解：在直线
3
3
4
y x
=-+中，
令0
x=，则3
y=，
令0
y=，则4
x=，
A ∴点坐标为(4,0)，
B 点坐标为(0,3)，
D 点坐标为(,0)t ，
4AD t BE ∴=-=，
113(4)36(04)222
BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<；
（3）当BD BE =时，
在Rt OBD ∆中，90BOD ∠=︒，
由勾股定理得：222OB OD DB +=，
即2223(4)t t +=-
解得：78
t =； 当BD DE =时，
过点E 作EM x ⊥轴于M ，
90BOD EMD ∴∠=∠=︒，
//BF OA ，
OB ME ∴=
在Rt △OBD 和Rt △MED 中，
==BD DE OB ME ⎧⎨⎩
， ∴Rt △OBD ≌Rt △MED （HL ），
OD DM t ∴==，
由OM BE =得：24t t =- 解得：43t =
， 综上所述，当78t =或43
时，使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
6．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE，图③中，AE+BE=CE；（3）1.5或4.5
【解析】
【分析】
（1）在BE上截取BF DE
=，连接AF，只要证明△AED≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；
（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进而证出△AFE为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；
（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在BE上截取BF DE
=，连接AF，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，
设∠EAC=∠DAE=x．
∵AD=AC=AB，
∴∠D=∠ABD=1
2
（180°-∠BAC-2x）=60°-x，
∴∠AEB=60-x+x=60°．
∵AC=AB，AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABF=∠ADE，
∵BF DE
=，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，BF=DE，
∴△AFE为等边三角形，
∴EF=AE，
∵AP是CD的垂直平分线，∴CE=DE，
∴CE=DE=BF，
∴CE+AE= BF+FE =BE；
（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，
∵AE =AE
∴△ACE≌△ADE，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABF=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC，BF=CE，
∴△ACE≌△ABF，
∴AE=AF，∠BAF=∠CAE
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°
∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°
∴△AFE为等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；
图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，
∴AB =AD ，CE=DE ，
∵AE =AE
∴△ACE ≌△ADE ，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD ，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC ，BE=CF ，
∴△ACF ≌△ABE ，
∴AE=AF ，∠BAE=∠CAF
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°
∴△AFE 为等边三角形，
∴EF=AE ，
∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；
（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，
∵CE+AE=BE ，
∴BE-CE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=1.5；
在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；
图③中，若26BD AE ==，则AE=3，
∵AE+BE=CE ，
∴CE-BE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=4.5．
即CE=1.5或4.5．
【点睛】
本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①点E 的位置见解析，E （43-
，0）；②D 点的坐标为（-1，3）或（
45
，125） 【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A 、B 的坐标；然后把B 点坐标代入y=−2x ＋b 求出b 的值，确定此函数解析式，然后再求C 点坐标；
（2）①根据轴对称—最短路径问题画出点E 的位置，由待定系数法确定直线DB 1的解析式为y=−3x−4，易得点E 的坐标；
②分两种情况：当点D 在AB 上时，当点D 在BC 上时．当点D 在AB 上时，由等腰直角三角形的性质求得D 点的坐标为（−1，3）；当点D 在BC 上时，设AD 交y 轴于点F ，证△AOF 与△BOC 全等，得OF=2，点F 的坐标为（0，2），求得直线AD 的解析式为122y x =
+，与y=−2x ＋4组成方程组，求得交点D 的坐标为（45
，125）． 【详解】 （1）在y=x +4中，
令x =0，得y=4，
令y =0，得x=-4，
∴A(-4，0) ，B(0，4)
把B(0，4)代入y=-2x+b，得b =4，
∴直线BC为：y=-2x+4
在y=-2x +4中，
令y =0，得x=2，
∴C点的坐标为(2，0)；
（2）①如图
∵点D是AB的中点
∴D（-2，2）
点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，-4），设直线DB1的解析式为y kx b
=+，
把D（-2，2），B1（0，-4）代入，得
22
4
k b
b
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得k=-3，b=-4，
∴该直线为：y=-3x-4，
令y=0，得x=
4
3 -，
∴E点的坐标为（
4
3
-，0）．
②存在，D点的坐标为（-1，3）或（4
5
，
12
5
）．
当点D在AB上时，
∵OA=OB=4，
∴∠BAC=45°，
∴△ACD是以∠ADC为直角的等腰直角三角形，
∴点D的横坐标为42
1 2
，
当x=-1时，y=x+4=3，
∴D点的坐标为（-1，3）；
当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．
∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，∴∠FAO=∠CBO，
又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，
∴△AOF≌△BOC（ASA）
∴OF=OC=2，
∴点F的坐标为（0，2），
设直线AD的解析式为y mx n
=+，
将A（-4，0）与F（0，2）代入得
40
2
m n
n
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
,2
2
m n
==，
∴
1
2
2
y x
=+，
联立
1
2
2
24
y x
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，解得：
4
5
12
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴D的坐标为（4
5
，
12
5
）．
综上所述：D点的坐标为（-1，3）或（4
5
，
12
5
）
【点睛】
本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识．
8．（1522213221
【解析】
【分析】
（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明△ABM≌△CAN，得到
AM=CN，AN=BM，即可得出AB；
（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使
∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通过△PBM和△QCN算出
PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的长；
（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.
【详解】
解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，
由题意可得：∠BAC=90°，
∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，
∴∠MAB=∠NCA，
在△ABM和△CAN中，
=
=
=
AMB CNA
MAB NCA
AB AC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM=CN=2，AN=BM=1，
∴AB=22
25
1=
+；
（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，
在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAB+∠NAC=60°，
∵∠ABM+∠MAB=60°，
∴∠ABM=∠NAC，
在△AMB和△CNA中，
=
=
=
AMB CNA
ABM NAC
AB AC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△AMB≌△CNA（AAS），
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠ANC=120°，
∴∠PMB=∠QNC=60°，
∴PM=1
2
BM，NQ=
1
2
NC，
∵PB=1，CQ=2，
设PM=a，NQ=b，
∴222
1=4
a a
+，222
2=4
b b
+，
解得：
3
=
3
a，
23
=
3
b，
∴CN=AM=
2
2
23
2
3
⎛⎫
+ ⎪
⎪
⎝⎭
=
43
，
∴AB=22
AP BP
+=()22
AM PM BP
++=221；
（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠BCN+∠ACM=120°，
∵∠BCN+∠NBC=120°，
∴∠NBC=∠ACM，
在△BCN和△CAM中，
BNC CMA
NBC MAC
BC AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCN≌△CAM（AAS），
∴CN=AM，BN=CM，
∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，
∴BN=2NP，
在△BPN中，222
BP NP BN
+=，
即222
24
NP NP
+=，
解得：
23
∵∠AMC=60°，AQ=3，
∴∠MAQ=30°， ∴AM=2QM ，
在△AQM 中，222AQ QM AM +=，
即22234QM QM +=，
解得：QM=3，
∴AM=23=CN ，
∴PC=CN-NP=AM-NP=
43， 在△BPC 中，
BP 2+CP 2=BC 2，
即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=221.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.
9．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83
；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；
（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；
（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；
（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．
【详解】
（1）由题意知，BP=2t ，则
PC=BC-BP=6-2t ，
故答案为：6-2t ；
（2）全等，理由如下：
∵p Q V V =，t=1，
∴BP=2=CQ ，
∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=4（cm ），
又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），
在BPD △和CQP 中
BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD △≌CQP （SAS ）
故答案为：全等．
（3）∵p Q V V ≠，
∴BP CQ ≠，
又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，
∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，
∴点,P Q 运动时间322
BP t ==（s ）， ∴48332
Q CQ V t
===（cm/s ）， 故答案为：8
3；
（4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，
∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =
， ∴2t+8+8=83t ，
解得：t=24
此时点Q 走了824643⨯=（cm ），
∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），
∴6422220÷=，
∴20-8-8=4（cm ），
经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，
故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得
CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；
（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．
【详解】
（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒
9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
CD ED ∴=
在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩
()BCD BED HL ∴∆≅∆
BC BE ∴=
EBC ∴∆是等边三角形；
（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF
3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=
60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒
MDF ∴∆是等边三角形
,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒
60BMG ∠=︒
DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠
在FMG
∆和DMB
∆中，
60
F MDB
MF MD
FMG DMB
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
FMG DMB ASA
∴∆≅∆
GF BD
∴=，即DF DG BD
+=
AD DF DG MD DG
∴=+=+
即AD DG MD
=+；
（3）结论：AD DG ND
=-，证明过程如下：
如图，延长BD使得DH ND
=，连接NH
由（2）可知，60,18060,
ADE HDN ADE BDE AD BD
∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN
∴∆是等边三角形
,60
NH ND H HND
∴=∠=∠=︒
60
BNG
∠=︒
HND BND BND
BNG
∠+∠=+∠
∴∠，即N
HNB D G
∠=∠
在HNB
∆和DNG
∆中，
60
H NDG
NH ND
HNB DNG
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
HNB DNG ASA
∴∆≅∆
HB DG
∴=，即DH BD DG
+=
ND AD DG
∴+=
即AD DG ND
=-．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC
=，利用AAS得到AFH CAD
∆≅∆；
（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD
=，再EK AD
⊥，交DG延长线于点K，同理可得到AD EK
=，等量代换得到FK EH
=，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS得到FHG EKG
≅
△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】
证明：（1）∵FH AG
⊥，
90
AEH EAH
∴∠+∠=︒，
90
FAC
∠=︒，
90
FAH CAD
∴∠+∠=︒，
AFH CAD
∴∠=∠，
在AFH
∆和CAD
∆中，
90
AHF ADC
AFH CAD
AF AC
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
AFH CAD AAS
∴∆≅∆，
（2）由（1）得AFH CAD
∆≅∆，
FH AD
∴=，
作FK AG
⊥，交AG延长线于点K，如图；
同理得到AEK ABD
∆≅∆，
EK AD
∴=，
FH EK
∴=，
在EKG
∆和FHG
∆中，
90
EKG FHG
EGK FGH
EK FH
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
EKG FHG AAS
∴∆≅∆，
EG FG
∴=．即点G是EF的中点．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字形全等进行证明是解本题的关键．12．（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题．
（2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．
（3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，
∵E是DC的中点，即DE＝CE，
∴△DEG≌△CEB（AAS），
∴DG＝BC；
（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．
理由：由（1）知DG＝BC，
∵AB＝AD+BC，AF＝AD，
∴BF＝BC＝DG，
∴AB＝AG，
∵∠BAG＝90°，
∴∠AFD＝∠ABG＝45°，
∴FD∥BG，
故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG；
（3）解：结论：FH＝HD．
理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，
∵FD∥BG，
∴AE⊥FD，
∵△AFD为等腰直角三角形，
∴FH＝HD，
故答案为：FH＝HD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角
形全等的判定和性质是解题的关键．。