第三章傅里叶变换的性质.ppt

0
f (t)奇函数：X ()

f (t)sin tdt 2

f (t)sin tdt

0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。

1 T

(t

T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T

F(
j )

2
2T
(1
cosT )

4
2T
sin
2 (T
2
)

TSa2 (T
2
)
第三章第1讲

12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t

1 2
(e
j0 t

e
j0 t
)
sin
0t

1 2j
(e
j0 t

e j0 t
)
f
(t) cos0t

1 {F[ 2
j(
0 )]

F[
j(
0 )]}
f
(t ) sin
0t

j {F[ 2
j(
0 )]
F[
j(
0 )]}
第三章第1讲
2
§ 3.6 傅里叶变换的性质
F( j)
1
j
Sa(2
j
)e 2

e

j


01
t
0 1t
(1)
第三章第1讲
11
举例
【例 8】三角脉冲 QT(t)
QT (t)
QT (t)
QT(t)
1
T
0T t
1 T
Tt
T 0

1 T
1
1
T
T
T
0T t
2 T
QT
(t)

1 T

(t

T
)

2 T

(t)
【例
19】余弦脉冲
f
(t
)

G2
(t)
cos
2
t
f (t)
已知: G2 (t) 2Sa(),
cos
2
t

[
(

2
)


(

2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos
2
t
t
1 0 1
f
(t)

1 2
2Sa()
[
(

2
)


(

2
)]

F(
j )

Sa(
( j)n
一般公式：一般的求法： f (t) f (t) y(t) ，先求 y(t)的频谱Y ( j)
F[ f (t)] F[ t y(t)dt] 1 Y ( j) Y (0) (),

j
其中： Y (0)



y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
f (t)
1
(2)
0
t
0t 1
0t
f (t) 2 (t) 根据时域微分特性：
( j)2 F( j) 2,

F
(
j )

(
2
j ) 2
2
2
第三章第1讲
14
卷积定理
时域卷积定理： f1(t)三相 f角同2 (t脉门) 冲函F可数1(以的j看卷)F成 积2 ( j两积)个分 如例15的三角脉冲的频谱，可用时域卷积特性来计算：
0)
(
0 )]
f
(t)

2C
[G2C
(
0 )

G2C
(
0 )]
第三章第1讲
17
F (
j
)
e

j
t0 a
a
对称特性： f (同t) 学F们( 可j)自行则证：明F( jt) 2 f () 若 f (t) 是偶函数， f (t) R()，则 R (t) 2 f ()，
第三章第1讲
3
§ 3.6 傅里叶变换的性质
奇偶特性： 若 f (t) 实函数
nF
(1jY)(
j
f
)
(1) (t)
[ f
F(0) ()
() f ()]
1F
(j)
(
j
)
当 F(0) F( j) f (t)djt 0 时，f (n) (t) 1 F ( j)
0

Y ( j)
F
[
f
(t)]
t (t) j () 1 2
第三章第1讲
13
举例
【例 11】| t | 已知: t t (t) t (t)

t (t)
j
(
)

1
2
根据尺度变换特性：

t
(t
)


j
(
)

1
2

|
t
|


2
2
也可以用时域微分特性
f (t)
f (t)
|F(j)|是偶函数；( )是奇函数。即有F(-j)= F*(j)
第三章第1讲
4
举例
【例 1】e j0t
已知：12() , 利用频移特性：e j0t 2(- 0)
【例 2】cos 0t, sin 0t
已知：
cos0 t

1 2
(e
j0 t

e j0 t )
jt
f (0) 1

F( j)d 0
2
1 f (t) F (1) ( j)
jt
【例 9】t 已知：1 2() ，根据频域微分特性
jt 2 () t j2 ()
【例 10】t(t) 已知： (t) () 1 ，根据频域微分特性 j
第三章第1讲
10
举例
【例 7】求下列信号的傅里叶变换：
f (t)
f (t)
1
01
t
f (t)
2
1
01
t
f (t)
1
1
0 1t f (t)
1
0 1t f (t)
1
F( j)
1
Sa(
)

e
j 2
( )
j 2
F( j)
1
Sa(
)
e

j
2
3()
j 2
【例
利用频移特性：e j0t (t) ( 0 ) 4】cos 0t (t)
1
j( 0 )
已知：
cos0 t (t)

1 [e 2
j0 t (t)

e j0 t (t)]
根据线性特性：
cos

0t
(t
)


2
[
(


0
)


(


0
)]

02
根据线性特性：cos0 t [ ( 0 ) ( 0 )]
已知：
sin
0t

1 2j
(e
j0 t

e j0 t
)
根据线性特性： sin 0t j[ ( 0) ( 0)]
第三章第1讲
5
举例
【例 3】 e j0t (t)
已知： (t) () 1 j
j
2
第三章第1讲
6
举例
【例 5】脉冲调制信号 G (t)cos 0t
f (t)
1
F( j)
2

2

t
2
0
0
0

已知：G
(t)


Sa(
2
)
f
(t)

G
(t) cos0 t

1 2
G
(t)[e j0 t
e j0 t ]
利用频移特性：
F(
j )


9
时域微分和积分特性
结论：
每次对 f (t)求导后的图形的面积为０，即

Y (0) y(t)dt 0
则
F [ f (t)] 1 F [ f (t)]
j
从上面公式可知，一个有始有终的信号,即 f ()= f (-)=0, 则 F(j)中无()项。
一个无限信号是否含()，看是否有 f ()+ f (-)=0
)


Sa(
2
)
，根据对称性：
Sa(
t
2
)

2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
Sa(Ct)


C
G2c
( )
又已知：cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
根据频域卷积定理：
f
(t)

1
2


C
G2C
() [ (

2
)

Sa(

2)si源自( ( 2
2
)
)

sin(
(

2
2
)
)
cos cos cos


2


2
(
2
)
2
2
第三章第1讲
16
卷积定理
【例 12】调制信号 f (t) Sa (Ct)cos0t
已知：
G
(t



F[ f (t)] F[ t f (t)dt] F[ f (t) f ()] F( j) 2 f () (),
由以上三式，可推出一般公式：
F( j) 1 F[ f (t)] [ f () f ()]() j
第三章第1讲
中f反(t)折(Fa=( j-1))则等f (t效 t0于) 在F频( j域)e中 j也t0 反f折(a。t t0 ) 根据时移和尺变换特性有：
1 a
F(
j

)e
j
t0 a
a
f (at t0 )
1 a
F(
j

)e
j t0 a
a
f (t0 at)
1 a

尺度变换特性：f (at)
1 F( j )
aa
a为非零的实常数。
可信f (t)见号，在F信时( j号域) 在中f时扩(a域展t) 中(a<a1压1F缩)(则ja(a等)>效1)f等于(at效在 t于频0) 在域f频中[a(域压t 中缩ta0 )]扩。展信a1；号F(反在ja之时)e，域jta0
2
Sa (
0
2
)



2
Sa (
0
2
)

一般有:
f1(t)
cos0
t

1 2
[F1(
0)

F1(
0
)]
第三章第1讲
7
举例
【例6】 et cos t (t)
已知：et (t) 1 j
et (t) cos t

et (t)
1 2
[e
j t
e j t
]
e t
cos t (t)

1 2



1
j(
)



1
j(



)


(
j j)2
2
第三章第1讲
8
时域微分和积分特性

公式： F( j)
f (n) (t) (
2 f ()
j) ( )
QT (t) 1
T
0T t
1
1 T
GT
(t)
T

1
1 T
GT
(t)
T
T 2 0 T 2
t
T 2 0 T 2
t
门函数的傅里叶变换为：
1 T
GT (t)

T Sa(T )
2
根据时域卷积特性：
F
(
j
)


T
Sa(T
2
) 2

T
Sa2 (T
2
)
第三章第1讲
15
卷积定理
频域卷积定理： G令(ft1)(t2) fG2S2(a(tt)()2 )221Sa(F1)( j) F2 ( j)
F( j)
f (t)e jt dt

f (t) costdt j

f (t)sin tdt



R() jX () F ( j) e j()
f (t)偶函数：R()


f (t) cos tdt 2 f (t) cos tdt
门函数
F( j)
2
e
j
t
dt


Sa(
)

2
2
G (t)
1
F( j)


2
0
2
t
2

0

第三章第1讲
1
§3.6 傅里叶变换的性质
线性特性： 频a1 f谱1(t搬) 移a2技f2 术(t)在通a1信F1(系j统) 中a2F2 ( j) 时移特得性到：广泛f应(t 用 t，0 ) 如调e幅jt、0 F同( j步)解调、变频等