高等混凝土作业讲解

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高等混凝土
受弯构件承载力计算公式的推导及其
影响因素的分析
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日期：2013年6月
受弯构件正截面承载力计算公式的推导及其
影响因素的分析
内容简介：本文首先推导了矩形截面梁正截面受弯承载力的计算公式，然后对影响正截面受弯承载力的影响因素进行了定量分析，给出了结论。

1推导正截面受弯承载力计算公式
取一个简支的单筋矩形截面钢筋混凝土梁作为为分析研究对象，给出基本假定，从而分别确定钢筋和混凝土的本构关系，然后进行必要的等效简化，从而建立理论平衡方程，推导出正截面承载力的计算公式。

1.1正截面承载力计算采用的基本假定：
（1）截面的应变沿截面高度保持线形关系，平均应变的平截面假定；
本假定指的是在荷载作用下，梁的变形规律符合“平均应变平截面假定”，简称平截面假定。

即构件受力以后，截面各点的混凝土和钢筋纵向应变沿截面高度方向呈直线变化。

（2）不考虑混凝土的抗拉强度；
本假定忽略中和轴一下混凝土的抗拉作用，主要因为混凝土抗拉强度很小，且合力作用点距离中和轴很近，内力矩内力臂很小。

即忽略了受拉区混凝土对受弯承载力的贡献。

（3）混凝土受压的应力应变关系曲线采用Rusch 建议的应力-应变曲线。

本假定确定了混凝土的本构关系，如图1，即抛物线上升段和水平段的混凝土受压应力应变关系曲线。

抛物线形状、峰值应变和极限压应变随混凝土强度等级而不同。

图1 Rusch 建议的应力-应变曲线
当c ε<0ε时(上升段) 01n c c c f εσε??
=-
（1.1-1a ）
当0ε<="" ε时(水平段)="" σ="（1.1-1b" 、0ε、cu="" 式中，参数n="" ）="">
对于各混凝土各强度等级，个参数计算结果见下表1。

,cu k f
≤C50
≤C60
≤C70
≤C80
n
2 1.8
3 1.67 1.5 0ε
0.002 0.00205 0.0021 0.00215 cu ε
0.0033
0.0032
0.0031
0.0030
按图1，设cu C 为混凝土压应力-应变曲线所围的面积，cu y 为吃面积的形心到坐标原点的距离，则有
()cu
cu c
c c C
d εσ
εε=
（1.1-2）
()cu
c
c c c cu cu
d y C εσ
εεε??=
（1.1-3）
令 1cu
c cu
C k f ε=
，2cu
cu
y k ε=
把基本假定3推定的应力-应变关系公式以及参数n 、0ε和cu ε取值代入以上两式中求得1k 、2k ，见下表2，系数1k 、2k 只取决于混凝土受压应力-应变曲线形状，称为混凝土受压-应力应变曲线系数。

表2 混凝土受压应力应变曲线系数1k 、2k
,cu k f
≤C50
≤C60
≤C70
≤C80
1k 0.797 0.774 0.746 0.713 2k
0.588
0.598
0.608
0.619
（4）钢筋的应力-应变曲线通常假定为双折线。

取纵向钢筋的极限拉应变为0.01，即给出了正截面达到承载力极
限状态的另一个标志。

其应力应变关系方程如下：
s s s y E f σε=?≤ （1.1-4）
1.2受压区混凝土的压应力合力及其作用点
本文的分析研究对象为适筋梁，即在外荷载作用下，正截面达到极限弯矩M u 时，截面受拉区钢筋屈服，
截面受压区边缘的混凝土达到极限压应变ε
cu。

本文采用等效矩形应力图进行公式的推导。

试验表明，达到M u 时，ε
cu
约在0.003~0.005范围，本文取εcu
=0.0033。

即超过该应变值，受压区混凝
土被压坏，表明梁达到极限承载力。

实质上是给出了混凝土单周受压情况下的破坏准则。

图2为一单筋矩形截面适筋梁的应力图形，采用了基本假定1和3，其受压区混凝土的压应力图形符合图1的变化规律。

图2 等效矩形应力图
但是，受压区压应力理论应力图与图1所示的应力-应变曲线图形两者变量是不同的，前者变量是任一
纤维到中和轴的距离y, y=0~c x ,后者的应变量是c ε，c ε=0~cu ε。

故受压区混凝土压应力的合力 0
()n
x c
c C b dy σ
ε=
（1.2-1）
合力C 到中和轴的距离 0
00
()()()cu
c
c x c
c c
c c x c
c b y dy ydy
y C
dy
εσ
εσ
εσ
ε=
=
（1.2-2）
式中c x ——中和轴高度，即受压区的理论高度。

再来研究变量y 与c ε的关系，因为中和轴高度为c x ，则由平截面假定可得距离中和轴y 处的压应变 cu
c c
y x εε=
（1.2-3）
由上式，取c
c cu
x y εε=
，c
cu cu
x dy d εε=
，代入上式（1.2-1）和（1.2-2），得受压区应力的合力C 和C 到中和轴的距离分别为
10
()cu
c
cu
c c c c c c cu
cu
x C C b d x b k f bx εσεεεε=
=??
=? （1.2-4）
20
2()(
)cu
c
c c c c
cu
cu
c c c cu
cu
c cu
x b d y y x k x C x b εσεεεεεε=
=?
=??
（1.2-5）
1.3 等效矩形应力图
由式（1.2-4）和（1.2-5）知，合力C 和作用位置c y 仅与混凝土应力-应变曲线系数1k 、2k 及受压区
高度c x 有关，而在极限受压承载力u M 的计算中也仅需知道C 的大小和作用位置c y 就够了。

鉴于此，为简化计算，可取等效矩形应力图来代换受压区混凝土的理论应力图，，如图2，两个图形等效的条件是：
（1）混凝土压应力的合力C 大小相等；（2）两个图形中受压
区合力C 作用点不变。

设等效矩形应力图的应力值为1c f α，高度为x ，则按等效条件，由式（1.2-4）和（1.2-5）可得：11c c C f bx k f bx α== （1.3-1a ）22()2(1)c c c x x y k x =-=- （1.3-1b ）令2/2(1)c x x k β==-，则1
1
11
22(1)
k k k αβ=
=
-，可见系数1α、1β也仅与混凝土应力-应变曲线有关，
称为等效矩形应力图系数。

系数1α是受压区混凝土矩形应力图的应力值与混凝土轴心抗压强度设计值的比值；系数1β是矩形应力图受压区高度x 与中和轴高度c x 的比值。

取值如下表3。

表3 混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤C50
C55 C60 C65 C70 C75 C80 1α 1.0 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 1β
0.8
0.79
0.78
0.77
0.76
0.75
0.74
1.4 界限配筋率
该推导过程针对的是适筋梁，适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即在受拉纵筋屈服的同时，混凝土受压边纤维也达到极限应变值cu ε，截面破坏。

设钢筋屈服时的应变为y ε，则
y y s
f E ε=
，此处s E 为钢筋的弹性模量。

设界限破坏时中和轴高度为cb x ，则有
0cb cu
cu y
x h εεε=+ （1.4-1）把1cb cb x x β=?代入上式，得
图3 适筋梁、超筋梁、界限配筋梁破坏时正截面平均应变图
10b cu
cu y
x h εβεε=+ （1.4-2）设0/b b x h ξ=，称为界限相对受压区高度，则 1
1b y s cu
f E βξε=
+
（1.4-3）
正截面受弯承载力计算中，如果出现ξ>b ξ，则梁超筋，超筋破坏为脆性破坏，结构设计中必须免。

1.5 等效矩形应力图表示的截面平衡方程—基本方程
单筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算简图如图4所示，图中x 称为混凝土受压区高度。

图4 单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图
取钢筋的屈服应力为x y f σ=，y f 为钢筋的设计强度。

由力的平衡条件及力矩平衡条件可得
1c y s f bx f A α= （1.5-1） 0(0.5)u y s M f A h x =- （1.5-2a ）或10(0.5)u c M f bx h x α=- （1.5-2b ）其中x 用相对受压区高度表示,即0x h ξ=，代入（1.5-1）和（1.5-2）得到用受压区高度表示的界面平衡方程
10c y s f b h f A αξ= （1.5-3）00(0.5)u y s M f A h h ξ=-
（1.5-4a ）
或 2
10(10.5)u c M f bh αξξ=- （1.5-4b ）
其中 00y y S c c
f f A x h f bh f ξρ
αα==?= （1.5-5）相对受压区高度ξ不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率ρ），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材料配比本质的参数。

2 受弯构件正截面承载力的影响因素分析
由1中推导的公式可知正截面受弯承载力是若干个设计变量控制的函数，如构件的截面尺寸、配筋率、材料的强度。

即控制其它参数不变，当某个参数单独发生变化时，正截面承载力也随之变化，逐个绘制曲线，通过对曲线形状的分析，考察其对正截面承载力的影响程度。

2.1 两种不同的混凝土本构关系对正截面抗弯承载力的影响
对于不同的混凝土本构关系，可以通过以上公式计算k 1和k 2。

本文中采用两种混凝土应力-应变曲线（如图1和图5）。

Rusch 建议的模型，1k 、2k 计算结果如下表4。

表4 混凝土受压应力应变曲线系数1k 、2k
,cu k f
≤C50
≤C60
≤C70
≤C80
1k 0.797 0.774 0.746 0.713 2k
0.588
0.598
0.608
0.619
为了便于比较，取另一种应力-应变曲线模型。

图5 Hongnestad 建议的应力-应变曲线
图5中曲线的上升段采用抛物线形式，下降段为斜直线，表达式为：
当0εε≤（上升段）01n c c c f εσε??
=-
（2.1-1）
当0cu εεε<<（斜线下降段）
00
10.15c c c cu
f εεσεε
-=-??-?
（2.1-2）
式中:f c 为峰值应力(混凝土极限抗压强度)；ε0为相应与峰值应力时的应变,取ε0=0.002；εcu 为极限压应变,取εcu =0.0038。

为了便于横向比较两种不同的本构关系对抗弯承载力影响，计算时取εcu =0.0033以左的图形进行计算。

Hongnestad 建议的应力-应变曲线图计算的k 1和k 2如表5所示。

表5 Hongnestad 受压应力-应变曲线系数k 1和k 2
50C ≤
60C
70C
80C
k 1 k 2
0.779 0.575
- -
- -
- -
计算应力-应变曲线系数的目的是确定应力图形系数α和等效矩形受压高度系数β，其对应关系的推导过程如下：
由实际应力图和等效应力图的对应关系，有
1c c c c C f bx k f bx αβ== （2.1-3）
22()2(1)c c c x x y k x =-=- （2.1-4）
由上面两式可得：
22(1)k β=- （2.1-5）
1
1
22(1)
k k k αβ
=
=
- （2.1-6）
可见，若采用实际应力图计算抗弯承载力时，只需知道系数k 1和k 2的值，若采用等效应力图计算抗弯承载力时，需要根据k 1和 k 2的值来确定α和β的值，按照实际应力图计算抗弯承载力公式为：021(1)y s u y s c f A M f A h k k f b ??
=--?
（2.1-7）
将前面已经计算好的两种不同的混凝土本构关系的k 1和 k 2的值分别代入公式（2.1-7）中，可以得到
两个不同的抗弯承载力值，且相差很小。

即在截面配筋相同，尺寸相同，材料相同的前提下，抗弯承载力因采用了不同的混凝土应力-应变曲线相差很小，这足以说明不同的混凝土本构关系对截面抗弯承载力的影响，正因如此，我国规范建议采用上升段加水平直线段的本构关系图。

2.2 截面尺寸的影响
分析每个因素的影响程度时都取三组数据，而且受弯构件承载力
计算是建立在适筋梁基础上的，题中每组给定的钢筋面积均已经过计算，从而保证了不少筋也不超筋，即为适筋梁，然后计算得到三组结果，绘制出受弯承载力关于响应因素变化的三条曲线。

2.2.1宽度b 变化的影响
三组数据梁高均为h=600，配筋面积均为s A =20002
mm ，钢筋强度等级均为HRB335，梁宽度从200增加到380，增加幅度均为20mm ，混凝土强度等级为：第一组C25，第二组C30，第三组C35，每组均使截面宽度b 变化，其他数据不变，承载力计算结果分别如表6、图6所示。

表6 截面宽度b 对抗弯承载力的影响
b
h/b
M u 幅度1 幅度2 数据组别①
②
③
① ② ③ ① ② ③ 380 1.58 290.2 296.9 301.6 0.76% 0.64% 0.50%
13.99% 11.04% 9.24% 360 1.67 288.0 295.0 300.1 0.88% 0.68%
0.64% 13.21% 10.45% 8.69% 340 1.62 285.5 293.0 298.2 0.99%
1.0% 0.64% 1
2.22% 9.70% 8.00% 320 1.72 282.7 290.1 296.3 1.11% 1.04% 0.75% 11.12% 8.61% 7.32% 300 1.83 279.6 288.0 294.1 1.30% 1.05% 0.89% 9.91% 7.82% 6.52% 280 1.96 276.0 285.0 291.5 1.55% 1.21% 1.04% 8.49% 6.70% 5.58% 260 2.12 271.8 281.6 288.5 1.80% 1.44% 1.19% 6.84% 5.43% 4.49% 240 1.29 267.0 277.6 285.1 2.22% 1.76% 1.46% 4.95%
3.93% 3.26% 220 2.50 261.2 272.8 281.0 2.67% 2.13% 1.77% 2.67% 2.13% 1.77% 200
2.75
254.4 267.1 276.1
0%
0%
0%
0%
0%
0%
说明：增幅1是相对于前一个截面，增幅2是相对于最初截面。

a 第一组
b 第二组
c 第三组
图6 截面宽度变化对受弯承载力的影响
从三组数据的图和表可以看出，截面宽度从200mm 增加到380mm ，承载力只增加了10%左右，并且随着截面宽度的增加，承载力增加逐渐减缓，所以宽度的变化对正截面抗弯承载力的提高较小。

因此，增加宽度以提高正截面受弯承载力不是一种有效的方法。

2.2.2 高度h 变化的影响
三组数据梁宽度均为300mm ，配筋面积s A =22002
mm ，钢筋强度等级为HRB335，梁高从500mm 增加到950mm ，增加幅度取为50mm 。

混凝土强度等级为：第一组C25，第二组C30，第三组C35，每组均使截面高度h 变化，其他数据不变，承载力计算结果如表7、图7所示。

表7 截面宽度h 对抗弯承载力的影响
b
h M u 幅度1 幅度2 数据组别① ② ③ ① ② ③ ①
②
③
950 3.17 533.0 543.2 550.5 6.6% 6.47% 6.38% 125.85% 120.64% 117.16% 900 3.00 500.0 510.2 517.5 7.07% 6.92% 6.81% 111.86% 107.23% 104.14% 850 2.83 467.0 477.2 484.5 7.60% 7.43%
7.31% 97.88% 93.82% 91.12% 800 2.67 434.0 444.2 451.1 8.23%
8.03% 7.89% 83.90% 80.42% 78.11% 750 2.50 401.0 411.2 418.5 8.97% 8.73% 8.56% 69.92% 67.02% 65.09 700 2.33 368.0 378.2 385.5 9.85% 9.56% 9.36% 55.93% 53.61% 52.07% 650 2.17 335.0 345.2 352.5 10.93% 10.57% 10.33% 41.94% 40.21% 39.05% 600 2.00 302.0 312.2 319.5 12.27% 11.82% 11.52% 27.97% 26.81% 26.04% 550 1.83 269.0 279.2 286.5 13.98% 13.40% 13.02% 13.98% 13.40% 13.02 500
1.67
236.0
246.2
253.5
0%
0%
0%
0%
0%
0%
a 第一组
b 第二组
c 第三组
图7 截面高度变化对受弯承载力的影响
从三组数据的图和表可以看出，随着截面高度h 的增大，受弯承载力M 显著增大。

截面高度由500mm 增大至950mm 时，截面受弯承载力M u 增大了120%左右，增大截面是一种比较有效的方式。

然而增大截面高度即增大了截面面积，导致增加水泥用量，成本提高。

因此，提高截面高度是一种有效的方式。

2.3 材料强度等级的影响
根据计算公式（1.5-2b ），材料强度等级的改变将会影响到截面破坏时的受压区高度的大小，详细分析如下。

2.3.1 钢筋强度等级的影响
钢筋共HPB300、HRB335、HRB400、HRB500四个级别，强度分别为f y =270、300、360、410N /mm 2，分析强度变化的影响，仍取三组数据，三组数据钢筋面积均为s A =22002
mm ，混凝土强度等级均为C35，截面尺寸第一组为b*h=250*500，第二组b*h=300*700，第三组b*h=350*900，每组均使钢筋强度变化，其
它数据不变，分别计算其承载力，计算结果如表8、图8所示。

表8 钢筋强度等级f y 的影响
钢筋
f y -N /mm 2
A s
M u 增加幅度1 增加幅度2 数据组别
①
②
③
①
②
③
①
②
③
HRB500 410 2000 288.5 465.9 639.5 10.15% 11.91% 12.77% 38.64% 44.73% 47.32% HRB400 360 2000 261.9 416.3 567.1 15.4% 17.56% 19.61% 25.85% 29.33% 30.64% HRB335 300 2000 226.9 354.1 474.1 9.03% 10.00% 9.21% 9.03% 10.00% 9.21% HPB300 270
208.1 321.9 434.1
0%
0%
0%
0%
0%
0%
a 第一组
b 第二组
c 第三组图8 钢筋强度变化对受弯承载力的影响
由三组数据的图和表可知，在四种不同钢筋强度情况下，随着钢筋强度等级的提高，截面抗弯承载力也在提高，并且提高幅度明显，最大增幅达到40%左右，但是需要指出的是钢筋随着强度提高，韧性在降低。

2.3.2 混凝土强度等级的影响
三组数据梁配筋面积均为s A =24002
mm ，强度等级为HRB335，截面尺寸分别为第一组250*550，第二组300*650，第三组350*800，混凝土强度等级依次取为C25、C30、C35、C40、C45、C50、C55、C60、C65、C70，每组均使混凝土强度变化，其他数据不变，其他条件均不变，分析结果如表9、图9所示。

表9 混凝土强度等级f c 对正截面受弯承载力的影响
混凝土
A s
M u 增幅1
增幅2
①
②
③
①
②
③
①
②
③
C70 2400 320.6 399.1 522.6 0.22% 0.13% 0.096% 17.48% 11.05% 6.96% C65 2400 319.9 398.6 522.1 0.38% 0.25% 0.15% 17.22% 10.91% 6.86% C60 2400 318.7 397.6 521.3 0.47% 0.33% 0.21% 16.78% 10.63% 6.69% C55 2400 317.2 396.3 520.2 0.67%
0.43% 0.29% 16.23% 10.27% 6.47% C50 2400 315.1 394.6 518.7
1.35% 0.89% 0.58% 15.46% 9.79% 6.16% C45 2400 310.9 391.1 515.7 1.70% 1.11% 0.72% 13.92% 8.82% 5.55% C40 2400 305.7 386.8 51
2.0 2.62% 1.71% 1.09% 12.02% 7.62% 4.79% C35 2400 297.9 380.3 506.5
3.62% 2.34% 1.50% 9.16% 5.81% 3.66% C30 2400 287.5 371.6 499.0 5.34% 3.39% 2.13% 5.34% 3.39% 2.13% C25
2400
272.9
359.4
488.6
0%
0%
0%
0%
0%
a 第一组
b 第二组
c 第三组
图9 混凝土强度等级变化对受弯承载力的影响
由三组数据的图和表看出，随着混凝土强度的提高，正截面承载能力提高的幅度很小，所以提高混凝土强度等级并非提高承载力的较有效方式。

2.4 配筋率ρ的影响
分析配筋率的影响时，采用由相对受压区高度表达的承载力公式，即
2
0(10.5)c M f bh αξξ=- （1.5-4b ）
00y y S c c
f f A x h f bh f ξραα=
=?= （1.5-5）
分析时，三组数据梁截面尺寸为300*700，钢筋强度等级为HRB335，混凝土强度等级为分别为C25、C30、C35，配筋率变化范围为0.2%~1.6%，且增加幅度为0.2%，每组数据仅控制配筋率变化，其他因素不变。

由式（1.5-5）确定截面的最小配筋率为0.002和最大配筋率0.0176，然后以步距为0.003，改变配筋率，其他条件均不改变。

分析结果见表10、图10所示。

最小配筋率和最大配筋率的计算公式如下： min 0.45
t
y
f f ρ= （1.5-6a ） 1max c
b
f f αρε= （1.5-6b ）
表10 配筋率对正截面受弯承载力的影响
f y ρ-%
M-KN 增幅1 增幅2 组别①
② ③
①
②
③
①
②
③
300 N/mm 2
1.6 485.7 506.3 521.0 10.79% 11.47% 11.95% 555.47% 579.60% 597.46% 300 N/mm 2 1.4 438.4 454.2 465.4 13.19% 13.86% 14.32% 491.63% 509.66% 523.03% 300 N/mm 2 1.2 387.3 398.9 407.1 16.55% 17.19% 17.62% 42
2.67% 435.44% 444.98% 300 N/mm 2 1.0 332.3 340.4 346.1 21.50% 22.14% 22.60% 348.44% 356.91% 36
3.32% 300 N/mm 2 0.8 273.5 278.7 282.3 29.68% 30.36% 30.75% 269.10% 27
4.09% 277.91% 300 N/mm 2 0.6 210.9 213.8 21
5.9 4
6.05% 46.74% 4
7.27% 184.61% 186.98% 189.02% 300 N/mm 2 0.4 144.4 145.7 146.6 95.27% 95.57% 96.25% 95.27% 95.57% 96.25% 300 N/mm 2
0.2
74.1
74.5
74.7
0%
0%
0%
0%
0%
0%
a 第一组
b 第二组
c 第三组图10 配筋率的变化对受弯承载力的影响
纵向受拉受力钢筋配筋率的提高，正截面的抗弯承载力大幅度提高，但增加纵筋用量不能无限制地提高正截面的抗弯承载力，因为当配筋率逐渐接近最大配筋率时，正截面承载能力的提高幅度开始放缓，这是因为随着受压区高度的增加，受压区合力作用点向中性轴移动，虽然合力增加，但内力臂在减小。

综合以上分析，几个影响梁受弯承载力因素里面，配筋率、截面高度变化、钢筋强度等级影响较大，其他因素影响较小。