湖北省七市(州)高三3月联合考试数学(文科)

机密★启用前 试卷类型：A
湖北省七市（州）2015届高三3月联合考试
数学（文史类）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．若复数z 满足，i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点的坐标是 A ．（4，2） B ．（4，-2） C ．（2，4） D ．（2，-4） 2．设集合，}0)1(log |{2<-=x x B ，那么“x ∈A ”是“x ∈B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观
测数据算得的线性回归方程可能是 A ． B ． C ． D ． 4．已知命题p ：，x -1>ln x ．命题q ：，，则
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧q 是真命题
C ．命题p ∧（q ）是真命题
D ．命题p ∨（q ）是假命题 5．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 A ． B ．
C ．7
D ．6
6．已知函数),0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，为了得到的图像，只需将的图像 A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度
7．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则=
A ．6
B ．-6
C ．2
D ．-2 8．若，，（其中e 为自然对数的底数），则a 、b 、c 的大小关系正确的是
A ．b >a >c
B ．c >b >a
C ．b >c >a
D ．a >b >c
9．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1吨甲产品需要用电2千度、用煤2吨、劳动力6人，产值为6千元；每生产1吨乙产品需要用电2千度、用煤4吨、劳动力3人，产值为7千元．但该厂每天的用电不得超过70千度、用煤不得超过120吨、劳动力不得超过180人．若该厂每天生产的甲、乙两种产品的数量分别为x 、y （单位：吨），则该厂每天创造的最大产值z （单位：千元）为 A ．260 B ．235 C ．220 D ．210
10．过曲线)0,0(1:22
221>>=-b a b
y a x C 的左焦点F 作曲线的切线，设切点为M ，延长FM 交曲线
于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若点M 为线段FN 的中点，则曲线C 1的离心率为
A ．
B ．
C ．+1
D ．
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。

将答案填在答题卡相应位置上。

）
11．某学校高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为160的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． 12．已知角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P （-3，4），则sin （）= ▲ ． 13．已知向量=（2，m ），=（1，），且向量在向量方向上的投影为1，则||= ▲ ． 14．设等差数列的前n 项和为，若=1，则其公差为 ▲ ．
15．执行如右图所示的程序框图，若输出结果是i =3，则正整数的最大值为 ▲ ． 16．已知A 、B 为圆上的任意两点，且|AB |≥8．若线段AB 的中点组成的区域为M ，在圆O 内任取一点，则该点落在区域M 内的概率为 ▲ ． 17．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数
列”．那么2015
2
2015
232221a a a a a +⋯+++是斐波那契数到中的第 ▲ 项．
三、解答题（本大题共5小题，满分65分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 18．（本小题满分12分）
已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设m =（a -b ，c ），n =（a -c ，a +b ），且m ∥n ．
（1）求∠B ;
（2）若a =1，b =，求△ABC 的面积． 19．（本小题满分12分）
如图，在△AOB 中，∠AOB =，∠BAO =，AB =4，D 为线段BA 的中点．△AOC 由△AOB 绕直线AO 旋转而成，记∠BOC =，∈（0，]．
（1）证明：当=时，平面COD ⊥平面AOB ；
（2）当三棱锥D -BOC 的体积为1时，求三棱锥A -BOC 的全面积． 20．（本小题满分13分）
设为公比不为1的等比数列，=16，其前n 项和为，且5、2、成等差数列． （l ）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n 项和.是否存在正整数k ，使得对于任意n ∈N *
不等式>恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）
已知函数（a ∈R ，e 是自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间；
（2）当a =1时，正实数m 、n 满足m +n =2mn ．试比较与的大小，并说明理由； （3）讨论函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+=e e x x x f x F ,1,)()(2
的零点个数．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且直线P A 、PB 的斜率之积为-． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
2015年3月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试
数学(文史类)参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：A 卷 DCACA DCACB
B 卷 BCDCA CAABD
二．填空题：11．48 12． 13．2 14．6 15．3 16． 17．2016 三．解答题：
18．(1)解：∵m ∥n ，∴()()()0a c c a b a b --+-= 2分 ∴
3分 由余弦定理得：2221
cos 22
a c
b B a
c +-==
5分 又．
6分
(2)解：∵，由正弦定理得
1sin sin 3
A ，∴ 8分 ∵a < b ，∴A <
B ，∴ 10分
故()()3
2
C A B π
π
π
ππ=-+=-+
=
11分
∴11
122ABC
S ab ∆==⨯ 12分 19．(1)证：当时，，即 1分 又，
∴OC ⊥平面AOB 3分 ∵OC ⊂平面COD
∴平面COD ⊥平面AOB ．
4分
(2)解：在Rt △AOB 中，46
2
AB BAO AOB π
π
=∠=∠=
，，
∴
5分 取OB 的中点E ，连接DE ，则DE ∥AO 6分 ∴
7分 又AO ⊥平面BOC ，∴DE ⊥平面BOC
8分
∴111
22sin 1332
D BOC BOC V S D
E θ-∆=⋅=⨯⨯⨯
∴，
10分
∴△BOC 是等边三角形，∴ ∴等腰三角形ABC 的面积为 △AOB 与△AOC 的面积都是 △BOC 的面积为
∴多面体A －BOC 的全面积是． 12分
20．(1)解：∵5S 1、2S 2、S 3成等差数列 ∴，即21111114()5a a q a a a q a q +=+++ 2分 ∴ ∵，∴q = 2 4分 又∵，即， ∴．
5分
(2)解：假设存在正整数k 使得对于任意n ∈N *不等式都成立 则 7分 又()1221111
log 2log 211
n n n b n n n n +=
==-⋅++
9分 所以111111
(1)()()122311
n T n n n =-+-++-=-
++ 10分
显然T n 关于正整数n 是单调递增的，所以 ∴，解得k ≥2．
12分 所以存在正整数k ，使得对于任意n ∈N *不等式都成立 且正整数k 的最小值为．
13分 21．(1)解：依题意，函数的定义域为 1分 ，令，得
2分
当a ≤0时，在总成立，函数的增区间是 当a > 0时，由得
此时函数的增区间是，减区间是 4分
(2)解：∵，∴，即（当且仅当时取等号） ∴
6分 由(1)知a = 1时，函数的增区间是(0，1)，减区间是(1，+∞) ∴
8分
(3)解：，由得
令， 10分
∵，∴，∴
∴在上是增函数，min max 11
()()2()()h x h e h x h e e e e
==-==，
∴当时函数只有一个零点 当或时函数没有零点． 14分
22．(1)解：，设，则 依题意，得 ∴椭圆标准方程为
5分
(2)解：①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y = kx + p ，代入椭圆方程得 (1 + 2k 2)x 2 + 4kpx + 2p 2－8 = 0
6分
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点
所以△=16k 2p 2－4(1 + 2k 2)(2p 2－8) = 8(4 + 8k 2－p 2) = 0 即4 + 8k 2 = p 2
8分
设x 轴上存在两个定点(s ，0)，(t ，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4，则 22
2|()|
41k st kp s t p k +++==+ 即 (st + 4)k + p (s + t ) = 0(*)，或(st + 12)k 2 + (s + t )kp + 8 = 0 (**) 由(*)恒成立，得，解得 12分
(**)不恒成立.
②当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为时 定点(－2，0)、F 2(2，0)到直线l 的距离之积.
综上，存在两个定点(2，0)、(-2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4． 14分 注：第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点，则扣2分； 第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点，再给予一般性证明也可。