安徽省皖中名校联盟高三数学10月联考试题 文

皖中名校联盟2019届高三10月联考
数学试卷（文科）
考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形，
平面向量，复数，数列（少量），立体几何，不等式。

2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试
时间:120分钟。

3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一
项
是符合题目要求的．
1．已知全集U R =，集合1
{|30},{|2}4
x
A x x
B x =-<=>，则=)(B
C A U （ ） A ．{|23}x x -≤≤
B ．{|23}x x -<<
C ．{|2}x x ≤-
D ．{|3}x x <
2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3- 3．已知54sin -
=α，且α是第四象限角，则)4
sin(απ
-的值为（ ） A ．
1025
B ．
5
2
3 C ．
10
2
7 D ．
5
2
4 4．已知命题:p 函数tan()6
y x π
=-+
在定义域上为减函数，命题:q 在ABC ∆中，若
30A >，则1
sin 2
A >
，则下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧⌝)( B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．q p ∨
5．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≤+,0,1,33y y x y x 则y x z +=2的最小值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知2
.05
.1=a ，5.1log 2.0=b ，5
.12
.0=c ，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3
π
=
A ，2=b ，33=∆ABC S ，则
=-+-+C
B A c
b a sin 2sin sin 2（ ）
A ．
372 B ．3214 C ．4 D ．4
2
6+
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．48
9．在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且AD AC 4=，
P 为BD 上一点，
向量)0,0(>>+=μλμλ，则μ
λ
1
4
+
的最小值为（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
10．已知函数)cos 1(sin )(x x x g -=，则|)(|x g 在],[ππ-的图像大致为（ ）
11．已知直线21y x =+与曲线x
y ae x =+相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．e
D ．2e
12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=0
,1640,)(2
3x x x x e x f x
，则函数2)(3)]([2)(2
--=x f x f x g 的零点个数
为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第П卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．． 13．命题“1,000
+>∈∃x e
R x x ”的否定是 ；
14．已知数列}{n a 满足：1
11+-
=n n a a ，且21=a ，则=2019a _____________；
15．已知向量,a b 满足||=5a ，||6a b -=，||4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影
为 ；
16．函数)(x f y =的图象和函数0(log >=a x y a 且)1≠a 的图象关于直线x y -=对称，且函
数3)1()(--=x f x g ，则函数)(x g y =图象必过定点___________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解
答写在答题卡上的指定区域内． 17、(本小题满分10分) 已知函数4
1
cos cos )6
sin()(2-
+-
=x x x x f π
. （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调区间； （2）求函数)(x f 在]2
,0[π上的值域.
18、(本小题满分12分)
已知数列}{n a 满足：121+-=+n a a n n ，31=a .
（1）设数列}{n b 满足：n a b n n -=，求证:数列}{n b 是等比数列； （2）求出数列}{n a 的通项公式和前n 项和n S .
19、(本小题满分12分)
已
知
四
棱
锥
A B
E -的底面为菱形，且
60=∠ABC 2==EC AB ,2==BE AE ,
O 为AB 的中点。

（1）求证：⊥EO 平面ABCD ; （2）求点D 到平面AEC 的距离.
20、(本小题满分12分)
位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距220海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后测得该船只位于观测站A 北偏东)450(45
<<+θθ的C 处，
210=AC 海里．在离观测站A 的正南方某处D ，7tan -=∠DAC .
（1）求θcos ；
（2）求该船的行驶速度v （海里/小时）.
21、(本小题满分12分)
函数x x e x f x
-=sin )(．
（1）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数在区间]2
,2[π
π-的最值．
22、(本小题满分12分)
已知x ax
x
x f ln 1)(+-=
． （1）试讨论函数)(x f y =的单调性；
（2）若0)(≥x f 对0>∀x 恒成立，求a 的值．
皖中名校联盟2019届高三10月联考
数学试卷（文科）参考答案
一、选择题
二、填空题
13、1,+≤∈∀x e R x x
14、
2
1
15、1-
16、)4,1(-
三、解答题 17、41cos cos )cos 21sin 23(
)(2-+-=x x x x x f 41cos 21cos sin 232-+⋅=
x x x 4
122cos 1212sin 43-+⋅+=
x x )2cos 2
1
2sin 23(21x x += )6
2sin(21π
+=
x …………2分 （1）π=T
递增区间为Z k k k ∈+-
],6,3[π
πππ
递减区间为Z k k k ∈++],3
2,6[π
πππ …………5分
（2）]2,0[π∈x ]67,6[62π
ππ∈+∴x
]1,21[)62sin(-∈+∴πx ]2
1
,41[)62sin(21-∈+∴πx
)(x f ∴的值域为]2
1
,41[- …………10分
18、（1）证明：
n
a n n a n a n a
b b n n n n n n -+-+-=-+-=++)
1(12)1(11
2)
(2=--=
n
a n a n n
又213111=-=-=a b
}{n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列 …………5分
（2）解：由（1）得n
n b 2= n a n
n +=∴2
)2(...)22()12(21n S n
n ++++++=∴
)...321()2...22(21n n
++++++++=
2
)
1(21)21(2++--=n n n
2
)
1(22
1
++
-=+n n n …………12分 19、解：（1）证明：连接CO 2,2==
=AB BE AE 1=⊥∴EO AB EO 且
ABCD 为菱形 2==∴BC AB 又︒=∠60ABC
ABC ∴为正三角形
360sin 2=︒=∴CO
又2=EC
222EC CO EO =+∴ 即OC EO ⊥
又O OC AB = ，ABCD OC AB 面⊂,
ABCD EO 面⊥∴ …………6分
（2）2,2=
==AE AC EC
22)2
2
(2221-⋅⋅=
∴∆AEC S 27= ACD ∆ 为正三角形，边长为2 3=∴∆ACD S
由等体积法得 ACD E ACE D V V --=
EO S d S ACD ACE ⋅∆=⋅∴∆3
1
31 721
22
7
13=⨯=
∴d …………12分 20、解：（1）7tan -=∠DAC
DAC DAC ∠-=∠∴cos 7sin
1cos sin 2
2
=∠+∠DAC DAC 10
2
cos ,1027sin -=∠=
∠∴DAC DAC )135cos(cos DAC ∠-︒=∴θ
DAC DAC ∠+∠-
=sin 22cos 22 5
41027)102(22=+-⨯-
= …………6分 （2）由余弦定理得 θcos 22
2
2
AB AC AB AC BC ⋅-+=
5
4
2202102)210()220(2
2
⨯⨯⨯-+= 360=
106=∴BC
小时分钟3
1
20==t
1018==
∴t
BC
v …………12分 21、解：（1）0)0(=f
1cos sin )(-+='x e x e x f x x
0)0(='∴f
)(x f y =∴在点)0,0(处的切线方程为0=y …………4分
（2）令1)cos (sin )(-+=x x e x g x
)sin (cos )cos (sin )(x x e x x e x g x
x
-++=' 0cos 2≥=x e x 在恒成立
)(x g ∴在点]2
,2[π
π-
单增
即)(x f '在]2
,2[π
π-
单增 当)(,0)0()(],0,2[x f f x f x ='≤'-∈π
单减，当)(,0)0()(],2
,0[x f f x f x ='≥'∈π
单增，
0)0()(min ==∴f x f
)2
()2
()2()2(2
2
π
π
π
ππ
π
+
---=---
e e
f f
0)2
5
(23
22
2>->->-+=-
ππππ
π
π
e e
e
)2
()2(π
π->∴f f
2
)2()(2max π
π
π
-==∴e f x f …………12分
22、解：（1）0,111)()1()(2
222>+-=+-=+⋅---=
'x ax
ax
x x a a x ax a x ax x f ①当0<a 时，),0(0)(+∞>'在x f 上恒成立 ↑+∞∴),0()(在x f
②当0>a 时，a x x f 10)(>
⇒>' a
x x f 100)(<
<⇒<' ↓∴)1,0()(a
x f 在，↑+∞),1
(a …………5分
（2）①当0<a 时，由（1）↑+∞),0[)(在x f 且0)1(=f
当)1,0(∈x 时 0)(<x f ，不符合条件 ②当0>a 时，↓)1,0()(a x f 在，↑+∞),1(a
a
a a f f 1ln 11)1(min +-
==∴ ),0(0)(+∞∈∀≥x x f 对 恒成立
∴只需0min ≥f 即01
ln 11≥+-
a
a 记0,ln 1)(>+-=x x x x g
则101
1)(>⇒>+
-='x x
x g 100)(<<⇒<'x x g ↑+∞↓∴),1(,)1,0()(在x g
0)1()(=≤∴g x g 11
=∴
a
1=∴a …………12分。