动量守恒与动能定理联立公式推导

动量守恒与动能定理联立公式推导
1. 动量守恒定律与动能定理公式
- 动量守恒定律：对于两个相互作用的物体组成的系统，若系统不受外力或所受外力之和为零，则系统的总动量守恒。

表达式为
m_1v_{1}+m_2v_{2}=m_1v_{1}'+m_2v_{2}'（其中m_1、m_2为两个物体的质量，v_1、v_2为作用前的速度，v_1'、v_2'为作用后的速度）。

- 动能定理：合外力对物体做功等于物体动能的变化。

对于单个物体，表达式为W = Δ E_{k}，即F_{合}s=(1)/(2)mv^2-(1)/(2)mv_{0}^2。

对于两个物体组成的系统，系统内力做功之和等于系统动能的变化，即W_{内}=Δ E_{k总}。

2. 联立推导（以完全弹性碰撞为例）
- 设两个物体质量分别为m_1和m_2，碰撞前速度分别为v_{1}和v_{2}，碰撞后速度分别为v_{1}'和v_{2}'。

- 由动量守恒定律得：m_1v_{1}+m_2v_{2}=m_1v_{1}'+m_2v_{2}'，移项可得m_1(v_{1} - v_{1}')=m_2(v_{2}'-v_{2}) 。

- 由动能定理（因为是弹性碰撞，系统动能守恒）得：
(1)/(2)m_1v_{1}^2+(1)/(2)m_2v_{2}^2=(1)/(2)m_1v_{1}'^2+(1)/(2)m_2v_{2}'^2，移项可得m_1(v_{1}^2-v_{1}'^2)=m_2(v_{2}'^2 - v_{2}^2)，根据平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，则m_1(v_{1}+v_{1}')(v_{1}-v_{1}')=m_2(v_{2}'+v_{2})(v_{2}'-v_{2}) 。

- 用式除以式得：v_{1}+v_{1}'=v_{2}'+v_{2}，移项可得v_{1}-v_{2}=v_{2}'-
v_{1}'（这是弹性碰撞中相对速度的关系）。

- 再结合动量守恒方程m_1v_{1}+m_2v_{2}=m_1v_{1}'+m_2v_{2}'，可以解出v_{1}'=frac{(m_1 - m_2)v_{1}+2m_2v_{2}}{m_1 + m_2}和v_{2}'=frac{(m_2 -
m_1)v_{2}+2m_1v_{1}}{m_1 + m_2}。