初中数学人教版八年级上册《1多边形的内角和》课件
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内角和为180°的多边形是三角形. 或 内角和为（n-2）×180°，则（n-2）×180°=180°，
解得n=3. 所以它是三角形.
（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是几边形？
解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为 720°.
内角和为（n-2）×180°，则（n-2）× 180° = 720°， 解得n=6. 所以它是六边形.
角和，六边形的外角和等于多少？
解答提示： 1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？ 2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ 3、上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
E4
D
5
3
F C
6
2
A1 B
例题解析
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
人教版 八年级数学上
11.3.2
多边形的内 角和
1、什么是多边形？ 2、什么是多边形的对角线？多边形的对角线具有什么性质？ 3、什么是正多边形？ 4、由三角形内角和定理可以得到哪些推论？ 5、三角形外角具有什么性质？
1、了解并掌握多边形内角和与外角和公式. 2、理解多边形内角和与外角和公式的推导过程. 3、灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
多边形的 内角和
内角和计算公式 外角和 正多边形
（n-2）×180°（n为≥3 的整数）
多边形的外角和等于 360°（与边数无关）
内角=
(n
-
2)
180
,外角=
n
360 n
在一个多边形中，一个与内角相邻的外角，与其他各内角的和为600°. （1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数； （2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数； 如果不存在，请说明理由.
解：若在四边形ABCD中，∠A和∠C互补，则∠A+∠C=180°. D
C
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=360 °-（∠A+∠C）=180°. 则∠B与∠D互为补角.
A
B
如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也互补.
例题解析
例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外
若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍， 且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值.
解：∵∠A1=∠A2=∠A3=90° ， ∵ 多边形的外角和为360° ,
∴∠A1、∠A2、∠A3的外角和为270°. ∴这个多边形其他几个外角的和为90°.
∵ 每个内角都是30°的整数倍， ∴每个外角都是30°的整数倍. ∵90° ÷30° =3， ∴4n+2≤6，解得n≤1. ∵4n+2为不小于3的正整数， ∴ n=1.
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跟踪训练
1、求出下列图形中x的值.
140°
x°
x
°
（1）
120°
80°
75°
1
x°
（2）
解：（1）四边形的内角和为360°，则x°+x°+140°+90°=360°，解得 x=65.
（2）四边形的内角和为360°，则∠1+75°+120°+80°=360°，解得 ∠1=85°，因为∠1+x°=180°，所以x=95.
谢谢大家
问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？ 三角形的内角和是180°.
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 长方形和正方形的内角和都是360°.
问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？ 任意一个四边形的内角和是360°.
知识点1 多边形的内角和
探究：请大家任意画一个四边形，用量角器量出四个内角的大小，并计算出四个 内角的和是多少？
经过测量发现四边形的四个内角和为360°.
试用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内角和为360°. 利用对角线将四边形分成三角形来求解.
知识点1 多边形的内角和
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形ABCD的内角和.
D
解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，
C
∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
解：（1）设这个外角度数为x°， 则（5-2）×180-（180-x）+x=600， 解得：x=120. 则这个外角为120°.
解：（2）存在. 设边数为n，这个外角度数为x〫， 则（n-2）×180-（180-x）+x=600，整理得x=570-90n. ∵0<x<180，∴0<570-90n<180且n为正整数， 所以n=5或n=6. 当n=6时，x=30. 所以这个多边形的边数为6，这个外角的度数为30°.
在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.
A
B
∵∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°，
∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.
∴四边形ABCD的内角和为360°.
知识点1 多边形的内角和
类比四边形内角和的计算方法，请尝试完成下列填空.
从五边形的一个顶点出发，可以作出（ 2 ）条对角线，它们将五边形分成了（ 3 ） 个三角形，五边形的内角和等于180°×（ 3 ）. 从六边形的一个顶点出发，可以作出（ 3 ）条对角线，它们将六边形分成了（ 4 ） 个三角形，六边形的内角和等于180°×（4 ）.
对角线的条数为
.
一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边 数为（15，16或17 ）.
解：截去一个角后，新多边形的边数有可能比原多边形增加1条，也有可能 比原多边形减少1条，也有可能跟原多边形一样. 设新多边形的边数为n， 则（n-2）×180°=2520°，解得n=16. 所以原多边形的边数可能为15、16或17.
2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总 和是多少？
每一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角 加上与它们相邻的内角等于180°×6.
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例题解析
3、上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6=1080°， 六边形的内角和为180°×4=720°， 六边形的外角和为180°×6-180°×4=360°.
已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的比都是7:2，则这个多边形是 （ 九 ）边形，共有（ 27 ）条对角线.
解：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻的外角为
2x°,
因为每一个内角与其相邻的外角之和为180°，所以
7x°+2x°= 180° ，解得x=20，外角为40°.
边数为360° ÷490（°29-3=）9，2则7 这个多边形是九边形.
解：设这个多边形的边数为n， 由内角和公式得：（n-2）×180°， 由外角和性质得：（n-2）×180°=360°， 则360° =（n-2）×180° ，解得n=4. 所以它是四边形.
1
（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，则它是几边形？
解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为 180°.
若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍， 且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值.
分析：多边形的边数不确定，内角和不确定，但是外角和等于360°. 因为∠A1=∠A2=∠A3=90°，所以∠A1、∠A2、∠A3的外角 度数确定. 外角和度数确定，可以判断剩下的外角和的度数. 因为每个内角都是30°的整数倍，所以每个外角都是30°的整数倍.
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知识点2 多边形的外角和
从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和就等于 一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
性质：多边形的外角和等于360°.
跟踪训练
2、一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n， 因为各内角都等于120°，所以内角和为120°×n. 由内角和公式得：（n-2）× 180°. 则120° ×n=（n-2）× 180° ，解得n=6. 所以它是六边形.
跟踪训练
3、一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
知识点1 多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
通过以上的探究，多边形的内角和与边数之间有密切的关系. 从n边形的一个顶点出发，可以作出（n-3）条对角线，它们将n边形分成了（n-2） 个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）.
例题解析
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系？
如果是n边形，会得出什么结论呢
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知识点2 多边形的外角和
在n边形的每个顶点处各取一个外角，n边形的外角和等于多少？
n个外角加上与它们相邻的内角等于180°×n， n边形的内角和为180°×（n-2）， n边形的外角和为180°×n-180°×（n-2）=360°.
性质：多边形的外角和等于360°.
解得n=3. 所以它是三角形.
（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是几边形？
解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为 720°.
内角和为（n-2）×180°，则（n-2）× 180° = 720°， 解得n=6. 所以它是六边形.
角和，六边形的外角和等于多少？
解答提示： 1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？ 2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ 3、上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
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例题解析
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
人教版 八年级数学上
11.3.2
多边形的内 角和
1、什么是多边形？ 2、什么是多边形的对角线？多边形的对角线具有什么性质？ 3、什么是正多边形？ 4、由三角形内角和定理可以得到哪些推论？ 5、三角形外角具有什么性质？
1、了解并掌握多边形内角和与外角和公式. 2、理解多边形内角和与外角和公式的推导过程. 3、灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
多边形的 内角和
内角和计算公式 外角和 正多边形
（n-2）×180°（n为≥3 的整数）
多边形的外角和等于 360°（与边数无关）
内角=
(n
-
2)
180
,外角=
n
360 n
在一个多边形中，一个与内角相邻的外角，与其他各内角的和为600°. （1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数； （2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数； 如果不存在，请说明理由.
解：若在四边形ABCD中，∠A和∠C互补，则∠A+∠C=180°. D
C
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=360 °-（∠A+∠C）=180°. 则∠B与∠D互为补角.
A
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如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也互补.
例题解析
例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外
若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍， 且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值.
解：∵∠A1=∠A2=∠A3=90° ， ∵ 多边形的外角和为360° ,
∴∠A1、∠A2、∠A3的外角和为270°. ∴这个多边形其他几个外角的和为90°.
∵ 每个内角都是30°的整数倍， ∴每个外角都是30°的整数倍. ∵90° ÷30° =3， ∴4n+2≤6，解得n≤1. ∵4n+2为不小于3的正整数， ∴ n=1.
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跟踪训练
1、求出下列图形中x的值.
140°
x°
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（1）
120°
80°
75°
1
x°
（2）
解：（1）四边形的内角和为360°，则x°+x°+140°+90°=360°，解得 x=65.
（2）四边形的内角和为360°，则∠1+75°+120°+80°=360°，解得 ∠1=85°，因为∠1+x°=180°，所以x=95.
谢谢大家
问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？ 三角形的内角和是180°.
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 长方形和正方形的内角和都是360°.
问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？ 任意一个四边形的内角和是360°.
知识点1 多边形的内角和
探究：请大家任意画一个四边形，用量角器量出四个内角的大小，并计算出四个 内角的和是多少？
经过测量发现四边形的四个内角和为360°.
试用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内角和为360°. 利用对角线将四边形分成三角形来求解.
知识点1 多边形的内角和
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形ABCD的内角和.
D
解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，
C
∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
解：（1）设这个外角度数为x°， 则（5-2）×180-（180-x）+x=600， 解得：x=120. 则这个外角为120°.
解：（2）存在. 设边数为n，这个外角度数为x〫， 则（n-2）×180-（180-x）+x=600，整理得x=570-90n. ∵0<x<180，∴0<570-90n<180且n为正整数， 所以n=5或n=6. 当n=6时，x=30. 所以这个多边形的边数为6，这个外角的度数为30°.
在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.
A
B
∵∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°，
∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.
∴四边形ABCD的内角和为360°.
知识点1 多边形的内角和
类比四边形内角和的计算方法，请尝试完成下列填空.
从五边形的一个顶点出发，可以作出（ 2 ）条对角线，它们将五边形分成了（ 3 ） 个三角形，五边形的内角和等于180°×（ 3 ）. 从六边形的一个顶点出发，可以作出（ 3 ）条对角线，它们将六边形分成了（ 4 ） 个三角形，六边形的内角和等于180°×（4 ）.
对角线的条数为
.
一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边 数为（15，16或17 ）.
解：截去一个角后，新多边形的边数有可能比原多边形增加1条，也有可能 比原多边形减少1条，也有可能跟原多边形一样. 设新多边形的边数为n， 则（n-2）×180°=2520°，解得n=16. 所以原多边形的边数可能为15、16或17.
2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总 和是多少？
每一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角 加上与它们相邻的内角等于180°×6.
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例题解析
3、上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6=1080°， 六边形的内角和为180°×4=720°， 六边形的外角和为180°×6-180°×4=360°.
已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的比都是7:2，则这个多边形是 （ 九 ）边形，共有（ 27 ）条对角线.
解：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻的外角为
2x°,
因为每一个内角与其相邻的外角之和为180°，所以
7x°+2x°= 180° ，解得x=20，外角为40°.
边数为360° ÷490（°29-3=）9，2则7 这个多边形是九边形.
解：设这个多边形的边数为n， 由内角和公式得：（n-2）×180°， 由外角和性质得：（n-2）×180°=360°， 则360° =（n-2）×180° ，解得n=4. 所以它是四边形.
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（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，则它是几边形？
解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为 180°.
若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍， 且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值.
分析：多边形的边数不确定，内角和不确定，但是外角和等于360°. 因为∠A1=∠A2=∠A3=90°，所以∠A1、∠A2、∠A3的外角 度数确定. 外角和度数确定，可以判断剩下的外角和的度数. 因为每个内角都是30°的整数倍，所以每个外角都是30°的整数倍.
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知识点2 多边形的外角和
从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和就等于 一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
性质：多边形的外角和等于360°.
跟踪训练
2、一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n， 因为各内角都等于120°，所以内角和为120°×n. 由内角和公式得：（n-2）× 180°. 则120° ×n=（n-2）× 180° ，解得n=6. 所以它是六边形.
跟踪训练
3、一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
知识点1 多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
通过以上的探究，多边形的内角和与边数之间有密切的关系. 从n边形的一个顶点出发，可以作出（n-3）条对角线，它们将n边形分成了（n-2） 个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）.
例题解析
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系？
如果是n边形，会得出什么结论呢
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知识点2 多边形的外角和
在n边形的每个顶点处各取一个外角，n边形的外角和等于多少？
n个外角加上与它们相邻的内角等于180°×n， n边形的内角和为180°×（n-2）， n边形的外角和为180°×n-180°×（n-2）=360°.
性质：多边形的外角和等于360°.