高一必修二数学学案1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
2. 正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 表面积等于正棱锥的 底面积之和 之和. 与底面积之和
三. 正棱台的表面积
被平行于底面的平面所截， 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截 面和底面之间的部分叫正棱台. 面和底面之间的部分叫正棱台 性质： 侧面是全等的等腰梯形 性质： 侧面是全等的等腰梯形. 全等的等腰梯形
a3
S直棱柱侧＝（a1 + a2 + a3 ) ⋅ h = ch
一．直棱柱的表面积 1. 直棱柱的侧面积等于它的底面周长 和 直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和 的乘积， 高h的乘积，即 的乘积
S直棱柱侧面积 = ch
2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下 直棱柱的表面积就等于侧面积与上 表面积就等于侧面积与上、 底面面积的和. 底面面积的和
圆台的上下底面半径分别是10和 ， 例2.圆台的上下底面半径分别是 和20， 圆台的上下底面半径分别是 它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那 它的侧面展开图扇环的圆心角是 ° 么圆台的表面积是______ 么圆台的表面积是 展开前后有 关数学量的 变与不变关 系是解决此 类问题的突 破口
例 3 .长 方 体 共 顶 点 的 三 个 侧 面 的 面 积 分别为
二.正棱锥的表面积 正棱锥的表面积
正棱锥：底面是正多边形， 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥 的棱锥. 影是底面中心的棱锥 性质： 正棱锥侧面是全等的等腰三角形 性质： 正棱锥侧面是全等的等腰三角形 侧面是全等的等腰三角形.
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1 S正 棱 台 侧 ＝ （c c' )h' 2
h'
h'
其中上底面的周长为 c’，下底面的周长为c， 斜高为h’.
正棱台的表面积
a' h h'
a
S表面积 S侧 S上底 S下底
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
球直径为正方体对角线
正方体的内切球
球直径为正方体棱长
球与正方体的棱相切
球直径为正方体的面对角线
例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 _. 面积之比＝4，则它们的半径之比＝_____
R1 解析：S 球＝4πR ，故 ＝ R2
2
S1 ＝ 4＝2. S2
答案：2
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它 的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
1 S圆锥侧＝S扇＝ l扇 R扇 2 1 2 r l rl 2
R扇＝l
l
r
2 r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S r rl r (r l )
2
思考：把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系？
扇环
r1
r2
l
S圆台侧＝S扇环＝（r1 r2 )l
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
高中数学必修二教案-1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1-人教B版
关于《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教学设计的探析《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》是必修2§1.1.6节的内容，设计分六部分。
一、教材分析本章的第一大节是空间几何体，主要有以下内容：首先使学生认识空间的点、线、面、体、轨迹与图形。
接着由学生观察和总结多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，复习圆柱、圆锥从而认识圆台、球及简单的组合体。
在了解几种投影的特征和关系基础上，学习直观图、三视图画法。
最后，让学生了解柱、锥、台、球侧面积、表面积、体积公式并进行相关计算练习。
本节主要内容是学习直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式，了解球的表面积公式。
直棱柱、正棱锥、正棱台表面都可展开成平面图形，所以研究面积的关键是明确它们的平面展开图的形状，为此我们可以先复习小学、初中所学到的相关知识，再结合在前面学习中动手折叠几何体的体验，理解展开是折叠的逆过程，学生自己就可以得出侧面积公式了。
二、教学目标如下：1、知识与技能目标：了解棱柱、棱锥、棱台、球的表面积计算公式，并能用公式进行简单的计算。
2、过程与方法目标：通过自主学习，合作探究培养学生的空间想象能力、动手实践能力、解决问题的能力，及转化的思想方法。
3、情感态度与价值观目标：激发学生的学习欲望和探究精神，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯。
三、教学重点：棱柱、棱锥和棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题相互转化的思想方法的应用。
教学难点：棱柱、棱锥棱台和球的表面积公式的应用。
四、教法与学法借助多媒体辅助教学，在教师引导，师生合作，生生合作下，通过设置疑问、归纳应用、知识迁移来体会知识的形成过程，从而师生共同来完成本节课的教学。
使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。
五、教学过程环节一：课前预习。
课前一天布置预习任务：§1.1.6节的内容，按导学案预习并试着解决活动一、三、四。
具体任务：动手折叠柱、锥、台几何模型（大一些，必做直棱柱、正棱锥、正棱台），回顾棱柱、棱锥、棱台、球定义及结构特征以及为了完成本节的知识，需要储备的知识。
原创2：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积（探究式）
第
一
章
立
体
几
何
初
步
1.1.6
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1．通过对棱柱、棱锥、棱台和球的研究，掌握棱柱、
棱锥、棱台和球表面积的求法；
2．了解柱、锥、台、球体的表面积计算公式；能运
用柱、锥、台、球的表面积公式进行计算和解决有关
实际问题；
3．经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，
还原成正棱锥，利用正棱锥
所以E1E＝3 .
的有关知识来解决．
所以S侧＝4× ×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(12＋6)×3
＝108 .
跟踪训练
练习2
探究点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？
解 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.
典例精析
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例3： 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,
10cm
底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需
要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要
15cm
多少油漆( π 取3.14,结果精确到1毫升)？
解:如图,由圆台的表面积公式，可得一个花盆外壁的表面积
取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．
O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．
由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝ A1B1＝3，
OE＝ AB＝6，则有 ＝
学案4：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【知识梳理】空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl圆锥(底面半径r，母线长l)πr(l＋r)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．1442．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．8＋4 2 B．10πC．11π D．12π【考点探究】考点一空间几何体的表面积|[题组训练]1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．152．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2 C．4 D．83．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为________．[规律方法]1.由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.2.根据几何体常规几何体、组合体或旋转体的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面和外界直接接触的面”的定义，以确保不重复、不遗漏. [演练冲关]一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3考点二 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变． 探究一 四面体的外接球问题1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16πD ．8π探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．32π C ．64πD.643π 探究三 四面体的内切球问题3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.[规律方法]求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【课堂检测】1.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43πD ．23π2．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．12πC ．16πD ．32π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．4．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________． 5．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．【参考答案】【知识梳理】2． 2πr (l ＋r ) πrlπ(r 1＋r 2)l4πR 2[自测练习]1．解析：正六棱柱的侧面积S 侧＝6×6×4＝144，底面面积S 底＝2×6×34×42＝483， S 表＝144＋483＝48(3＋3)． 答案：A2．A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D. 答案：D【考点探究】考点一 空间几何体的表面积| [题组训练]1．解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2. 答案：B3．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916[演练冲关]解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点二 与球有关的切、接问题| 探究一 四面体的外接球问题1．解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6， 连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形， 故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 四面体的内切球问题3．解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π【课堂检测】1. 解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A2．解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C. 答案：C3．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π4．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π. 答案：4π5．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.。
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
A
C
D
B
O
四、应用举例
例4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 6cm，高是1.5cm,求三棱台的侧面积。
A1 O1 B1 D1
C1
A
C O E
27 3 cm 2 2
D
B
五、课堂练习
练习 2. 已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm, 高与 斜高的夹角是30°，求正四棱锥的侧面积.
P
答案:32(cm2)
其中c为底面周长，h为高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱锥的侧面展开图是什么？如何计 算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S正棱锥侧
1 ch 2
其中c为底面周长, h 为 斜高,即侧面三角形的 高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
几何体的侧面展开图面积＝几何体的侧面积
二、提出问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
直棱柱的侧面展开图
S直棱柱侧 ch
S圆柱侧 2 rh
1 S圆锥侧 cl rl 2 1 S圆台侧 (c c)l 2
l
r
O
三、概念形成
概念3.球的表面积
怎样求球的表面积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面 图形，怎样求球的表面积呢？
学案6：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【学习目标】1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法.2.了解球的表面积公式．3.掌握棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式的应用.【学习重点】理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的计算方法．【基础梳理】柱体、锥体、台体的表面积公式【例题精析】考点几何体的表面积[典例](1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122π B．12πC．82π D．10π(2)(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A．8＋42＋2 5 B．6＋42＋45C．6＋22＋2 5 D．8＋22＋25[规律方法]空间几何体表面积的求法1 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.[跟踪训练] 1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．1＋22C．2＋ 3 D．22【课堂小结】（1）理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式；（2）正确运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式求解相关问题. 【课堂检测】1.长方体各面面积总和为28cm 2，所有棱总长度是32cm ，则对角线长度是( ) A.27cm B.30cmC.42cmD.6cm2.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则这个三棱锥的全面积为( ) A.433+a 2B.43a 2C.233+a 2D.436+a 23.棱台的上下底面积为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截得的两棱台的高的比为( )A.1∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶44.已知长方体的全面积为11，十二条棱的长之和为24，则这个长方体的一条对角线的长为 ( ) A.23B.14C.5D.65.长方体的高等于h ，底面积等于Q ，垂直于底的对角面的面积等于M ，则此长方体的侧面积等于( )A.2Q h M 22+B.2Q h M 222+C.2Q h M 222+D.Q h M 222+6.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；参考答案【基础梳理】 各个面展开图πr22πrl2πrl＋2πr2πr2πrlπrl＋πrπr′2πr2π(r′＋r)lπ(r′2＋r2＋r′l＋rl)【例题精析】考点几何体的表面积[典例](1)【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. (2)【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为5，可得这个几何体的表面积为6＋22＋25，故选C.[跟踪训练] 1.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.2．【答案】C【解析】由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝ 2.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝2，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝32，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表面积为2＋ 3.故选C 【课堂检测】1、D2、A3、C4、C5、C6、，4π3。
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课题：棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法。
（2）能熟练运用公式求解棱柱、棱锥、棱台的全面积，加强空间与平面问题的相互转化思想方法的应用，同时熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力、几何直观能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何体的侧面展开这一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点
重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题的相互转化思想方法的应用。
难点：棱柱、棱锥、棱台、球的表面积公式的应用。
三、教学思路与教学准备
1、教学思路：采用启发诱导式教学，学生通过预习教材，自主学习、思考、概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体、多媒体、三角板。
四、课堂教学设计。
课件5：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
(1)记住直棱柱和正棱锥的表面积公式的推导方式； (2)记住正棱台的表面积公式的推导方法； (3)记住球的表面积公式； (4)能运用直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式求解相关问题； (5)能够利用公式求球的表面积.
【知识梳理】
知识点 1 直棱柱的表面积 直棱柱的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． (1)直棱柱的侧面展开图及侧面积： ①直棱柱的侧面展开图是矩形． ②直棱柱的侧面积： 设棱柱的高为 h，底面多边形的周长为 c，则得到直棱柱侧面积计算公 式 S 直棱柱侧面积＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的积． (2)直棱柱的全面积为 S 全＝S 侧＋2S 上(下)底
类型三 正棱台的表面积 【例 3】 正四棱台的高、侧棱、对角线长分别为 7 cm、9 cm、 11 cm.求它的侧面积． 思维启迪：先根据条件求出上、下底面边长和斜高，然后利用正 棱台的侧面积公式求解．
解：如图所示，在△AA1C1 中过 A 作 AE⊥A1C1 于点 E， 则 AE＝OO1＝7，∴A1E＝ A1A2－AE2＝4 2(cm)， C1E＝ AC21－AE2＝6 2，AO＝O1E＝A1O1－A1E ＝12(C1E－A1E)＝ 2，A1O1＝A1E＋O1E＝5 2(cm)．
讲拓展 长方体与正方体的表面积 (1)长方体的表面积为 S 全＝S 侧＋2S 底，若长方体的长、宽、高 分别为 a，b，c，则长方体的表面积为 S 表＝2(ab＋bc＋ca) (2)正方体的表面积：如果正方体的棱长为 a，则它的表面积为 S 表＝6a2.
知识点 3 正棱台的表面积 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，上下底面都是正多边形． 设正 n 棱台的上底面边长为 a，周长为 c，下底面边长为 a′，周长为 c′， 斜高为 h′，则可知： (1)正棱台的侧面积：S 正棱台侧＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′. (2)正棱台的表面积：正棱台的表面积等于正棱台的侧面积与底面积之 和，即 S ＝S 正棱台表 ＋S 正棱台侧 ＋S 上底面积 下底面积．
课件7：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
问题 4 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？ 答 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出． 问题 5 棱台的表面积或全面积如何求？ 答 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．
探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积 问题 1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ 答 图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周 长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半径为 r， 母线长为 l， 则有：S 圆柱侧＝2πrl，S 圆柱表＝2πr(r＋l)， 其中 r 为圆柱底面半径，l 为母线长．
例 2 如图所示是一个容器的盖子，它是用一 个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径 为 R.正四棱台的两底面边长分别为 3R 和 2.5R， 斜高为 0.6R： (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示，焊接处对面积的影响忽略 不计); (2)若 R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每 0.4 kg 可以涂 1 m2，计 算为 100 个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到 0.1 kg)
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
1．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面 展开图． 2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表 面积． 3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
【知识梳理】
1．直棱柱的侧面积公式 S＝ ch ，其中 c 为底面多边形的周长， h 为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它 的 底面周长和高的乘积 ． 2．正棱锥的侧面积公式 S＝ 12nah′＝ 12ch′，其中底面边长为 a，c 为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为 正棱锥的侧面积等于它的 底面周长和斜高乘积的一半 .
跟踪训练 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S－ABC，
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
11．求棱长为a的正四面体外接球的半径．
12.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中有一个高为的内接圆柱，求圆柱的表面积．
【课后小结】
个性笔记
公式为S圆锥侧＝_____________.(其中c为圆锥底面圆周长，l为母线长，R为底面圆半径)
(3)圆台的侧面展开图为扇环，因此侧面积公式为S圆台侧＝______________＝____________.(其中r1、r2分别为上、下底面圆半径，c1、c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线)
2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积是()
A．48(3＋) B．48(3＋2) C．24(＋) D．144
3．正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面面积为()
A．2 cm2B．16 cm2C．25 cm2D．4 cm2
4．正四棱锥底面外接圆半径为10 cm，斜高为12 cm，下面数据正确的是()
2．正棱锥的表面积
正棱锥的侧面展开图是一些_________________，底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积公式为S正棱锥侧＝________________________.
(1)语言叙述：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．
(2)正棱锥的全面积(或表面积)等于_________________________________．
跟踪训练2、正三棱锥底面边长为a，高为a，求此棱锥的侧面积．
考点三、正棱台的侧面积与各量间的转化
例3、已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底棱台，上、下两底面边长分别为m、n，其侧面积等于两个底面积的和，求此正四棱台的高．
课件3：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积 (1)S圆柱侧＝___2_π_r_l __(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝___π_r_l___(r为底面圆半径，l为母线长)． (3)S圆台侧＝___π_(_R_＋__r_)l___(R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)． (4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的_底__面__积___与_侧__面__积___的和，
命题方向1 直棱柱的表面积 例1 一个直棱柱的底面是菱形，直棱柱的对角线长是9cm和15cm， 高是5cm，求直棱柱的全面积． [解] 如图，BD1＝9cm，A1C＝15cm，AA1＝BB1＝5cm. 在 Rt△BD1D 中，BD2＝92－52＝56，
∴BD＝2 14cm. 在 Rt△AA1C 中，AC2＝152－52＝200， ∴AC＝10 2cm. 又底面是菱形， 所以 AB＝ (5 2)2＋( 14)2＝8(cm)． 棱柱的侧面积 S1＝4×8×5＝160(cm2)， 上、下底面积的和 S2＝2 14×10 2＝40 7(cm2)， 故棱柱的全面积 S＝S1＋S2＝160＋40 7(cm2)．
2．用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面
面积为( )
A．8
8 B.π
4
2
C.π
D.π
[解析] 设围成圆柱的底面半径为 r，则 2πr＝4，∴2r＝4π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝4π×2＝8π.或 2πr＝2，∴2r＝2π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝2π×4＝8π. [答案] B
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′， 斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
张喜林制1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教材知识检索考点知识清单1．沿着直棱柱的一条侧棱剪开，将侧面展开，其展开图是一个 ，其中一边长为 ，另一边长为 ，则=.直棱柱侧面积S2．正n 棱锥的侧面展开图是几个全等的等腰三角形，底面是 ，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为=正棱锥侧则S h ,/=3．正n 棱台的侧面展开图是n 个全等的等腰梯形，设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 那么=正棱台侧S = .4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，即=球S （R 为球半径）．要点核心解读1．棱柱的表面积(1)定理：如果直棱柱的底面周长是c ，高是^，那么它的侧面积S 直棱柱侧=ch. (2)斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱的截面）长与侧棱长的乘积． (3)棱柱的表面积等于侧面积与两底面面积之和． 2．棱锥的表面积正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为,/h 则正n 棱锥的侧面积公式为.2121//ch nah S ==正棱锥侧 (1)语言叙述：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．(2)正棱锥的全面积（或表面积）等于正棱锥的侧面积与底面积的和．(3)-般棱锥的每个侧面都是三角形，因此求出它们各自的面积，然后相加，即可求出棱锥的侧面积． 3．正棱台的表面积正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，底面是正多边形，如果设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 则正n 棱台的侧面积公式为.)(21)(21////h c c h a a n S +=+=正棱台侧 (1)正棱台的侧面积公式亦可由两个棱锥侧面积之差得出．(2)正棱台的表面积（或全面积）等于侧面积与底面积的和． (3)求一般棱台的侧面积可先分别求出每个侧面的面积然后相加． 4．球的表面积公式：,42R S π=球其中R 为球半径．(1)语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的四倍．(2)推导过程以后再加以研究，本书只要求记住结论，并会应用．(3)球面不能展开成平面图形，因此不能套用柱、锥、台表面积的导出方法求面积． 5．圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱的底面半径为r ，母线长为Z （如图1-1-6 -1所示）．.22,22rl r S rl S πππ+==圆柱表圆柱侧(2)圆锥的底面半径为r ，母线长为L （如图1-1-6 -2所示）．,2lrπθ=,S rl π=圆锥侧.2r rl S ππ+=圆锥表(3)圆台的上底半径为r ，下底半径为R ，母线长为L （如图1-1-6 -3所示）．,2lrR -=πθ ,)(S l r R +=π圆台侧.)()(22l r R R r S +++=ππ圆台表典例分类剖析考点1 棱柱的侧面积命题规律(1)直棱柱的侧面积．(2)一般棱柱的侧面积和表面积. （3）棱柱性质的应用.[例1] 直平行六面体底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积为,21Q Q 、求它的侧面积. [答案] 设直平行六面体底面边长为a ，侧棱长为L ，如图1 -1 -6 -4所示，则,4al S =侧因过D D B B C C A A 1111、与、的截面都为矩形，从而⎩⎨⎧⋅=⋅=,,21l BD Q l AC Q 则,,21l Q BD l Q AC == 又,)2()2(,222a BD AC BD AC =+∴⊥⋅∴ .)2()2(22221a lQ l Q =+∴ .2,42.221222122Q Q al Q Q l a +=+=∴ .242221Q Q al S +==侧[点拨] 直平行六面体中过不相邻两条侧棱的截面是两个矩形，其中各有两条边是直平行六面体的侧棱．母题迁移 1.一张a ×b 的矩形纸折叠成正六棱柱的侧面，试计算折成的六棱柱的侧面积和表面积， 考点2 正棱锥和正棱台的侧面积（1） 正棱锥和陵台的侧面积和表面积 （2） 平行于底面的截面性质． [例2] 在正四棱台1111D C B A ABCD -中，==AB a B A ,111).(O b a b 设>为底面1111D C B A 的中心，且棱台的侧面积等于四棱锥ABCD O -1的侧面积，求棱台的高，并讨论此题是否总有解．[答案] 如图1-1-6 -5所示，过高1OO 和AD 的中点E 作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高1EE 和棱锥的斜高1EO ，设,1h O O =则,242111EO b EO b S ⋅=⨯⨯=棱锥侧 =⋅+=1)44(21S EE b a 棱台侧⋅⋅+1)(2EE b a依题意，,棱台侧棱锥侧S S =且=OE ,2,211aE O b =得,)(2211EE b a EO b ⋅+=⋅,)2(,)2(22212221bh EO b a h EE +=-+=将其代入上式得 ⋅-++=+])2([)()4(222222b a h b a b h b解此关于h 的方程有⋅+-=ba ab a h 2)2(2122当且仅当,222a b >即a b >2时才有解．[点拨] 本题是一个棱台与一个棱锥的简单组合体，解题的关键是弄清这两种几何体之间的内在联系：等底面、等高．母题迁移 2．正四棱锥底面正方形的边长为4cm ，高与斜高的夹角为,30如图1-1-6 -6，求正四棱锥的侧面积和表面积．考点3球及与球有关的组合体的表面积 命题规律 (1)球的表面积（2）与球有关的组合体的表面积.[例3] 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的．球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，求该正四棱柱的表面积．【答案】 正四棱柱的各顶点都在球面上，则该四棱柱的对角线即为球的直径.设正四棱柱的高为x ，则),(2,2112222cm x x ==++所以该正四棱柱的表面积为⋅+=⨯⨯+⨯⨯)(2422141122cm[点拨] 依组合体的特征，可知正四棱柱的对角线即为球的直径这是解题的关键．母题迁移 3．在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为,4004922cm cm ππ和求球的表面积．考点4圆柱、圆锥和圆台的表面积命题规律 （1）三种旋转体的侧面展开图. （2）三种旋转体的侧面积公式.[例4] 以边长为a 的正六边形的对称轴为轴，将此多边形旋转1800，求所得旋转体的表面积． [答案] 正六边形有两类对称轴，故分两种情形进行计算．(1)如图1-1—6 -7是以过对边中点的直线为轴旋转所得的旋转体，是由两个完全相同的圆台组合而成的．圆台上、下底面半径，高，侧面母线长分别是,232a a a a 、、、 .27]41)2([222a a a a a S πππ=++=∴表面积(2)如图1-1-6-8，是以过相对顶点且过中心的直线为轴旋转得到的旋转体，是由两个完全相同的圆锥与一个圆柱组合而成的，圆锥的高、底面半径、侧面母线长分别为,232a a a 、、圆柱的高、底面半径分别是,23a a 、.32.23.2.23.2S 2a a a a a πππ=+=∴表面积 [点拨] 由于正六边形的对称轴有两类，故分两种情况进行解答是必须的，封闭图形的表面积应是各边绕旋转轴旋转得到的几何体的侧面积与底面积之和．母题迁移 4．已知梯形ABCD 中，=∠ABC BC AD ,//,60,2,,90=∠==DCB a BC a AD o在平面ABCD 内，过C 作L ⊥CB ，以L 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积，优化分层测讯学业水平测试1．长方体的对角线长为,142长、宽、高的比为3:2:1，那么它的表面积为( )．44.A 88.B 64.C 48.D2．正三棱锥的底面边长为a ，高为,66a 则此三棱锥的侧面积等于( )． 243.a A 223.a B 243.a C 223.a D 3．长方体的高等于h ，底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于( )．222.ah b A + 2222.ah b B + 2222.ah b C + 222.ah b D +4．圆柱的底面积为S ，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积为 5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为,3则这个圆锥的全面积是6．设计一个正四棱锥形冷水塔顶，高是0.85 m ，底面的边长是1.5 m ，则制造这种塔顶需要多少铁板？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为( )．2:1.A 3:1.B 2:2.C 6:3.D2．(2010年福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图，如图1-1-6 -11所示，则其侧面积等于( )．3.A 2.B 32.C 6.D3．（2010年安徽）一个几何体的三视图如图1 -1 -6 -12，该几何体的表面积是( )．372.A 360.B 292.C 280.D4．（2009年宁夏、海南）_二个棱锥的三视图如图1 -1-6-13所示，则该棱锥的全面积（单位：)2cm 为( )．21248.+A 22448.+B 21236.+C 22436.+D5．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为( )．π220.A π225.B π50.C π200.D6．（2006年全国Ⅱ）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为( )．163.A 169.B 83.C 329.D7．两个球的表面积之差为48π ，大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )．4.A 3.B 2.C 1.D 8．如果棱台的两底面面积分别为,/S S 、中截面的面积为,0S 那么( )．/02.S S s A += /0.SS s B = /02.S S S C += /202SS D.S =二、填空题（5分x4 =20分）9．棱长为3的正方体各个顶点都在球面上，则该球的表面积为 ．10．棱台的上、下底面面积分别为16、81，一平行于底面的截面面积为36，则此截面截得的两棱台高的比为 ． 11．如图1-1 -6 -14①所示，已知正方体的面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图1 -1 -6-14②所示的几何体，那么此几何体的全面积为 ．12.（2010年福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1-1-6 -15所示，则其表面积等于____ 三、解答题（10分x4=40分）13.在三棱柱111C B A ABC -中，底面是边长为4的正三角形，且,6011=∠=∠AC A AB A 另一侧面CB C B 11是面积为32的矩形，求此三棱柱的表面积．14.圆柱有一内接长方体AC,，长方体的对角线长为,210cm 圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形面积为100π，求圆柱的全面积．15.圆锥的底面半径为5，高为12，当它的内接圆柱的底面半径r 为何值时，圆柱的全面积达到最大值？16．(1)从半径为R 的球面上一点作球的三条弦，且三条弦两两互相垂直，求这三条弦的平方和；(2)在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两垂直，且,a PC PB PA ===求球的表面积.。
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1
h' C O A B D
A
O
斜高：侧面等腰三角形底边上的高. 斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
只有正棱锥和正棱台才有斜高. 注:只有正棱锥和正棱台才有斜高 只有正棱锥和正棱台才有斜高
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图 把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开， 侧面积怎么求？ 形？侧面积怎么求？
把直( 把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到 三棱柱侧面沿一条侧棱展开， 什么图形？侧面积怎么求？ 什么图形？侧面积怎么求？
h
c
a
b
h
h
b
a
c
S直棱柱侧＝（a + b + c) ⋅ h = ch
棱锥、 棱锥、棱台
正棱锥：底面是正多边形， 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥 的棱锥. 影是底面中心的棱锥 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截 被平行于底面的平面所截， P 面和底面之间的部分叫正棱台. 面和底面之间的部分叫正棱台
1.1.6空间几何体的表面积 1.1.6空间几何体的表面积
多面体的平面展开图 多面体是由一些平面多边形围成的几何体. 多面体是由一些平面多边形围成的几何体 一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开 而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的 这个平面图形叫做该多面体的平 而成平面图形 这个平面图形叫做该多面体的平 面展开图. 面展开图
S
分析：如图， 表示塔的顶点， 分析：如图，S表示塔的顶点，O表示
底面中心，则SO是高，设SE是斜高。 底面中心， SO是高， SE是斜高。 是高 是斜高 Rt△ Rt△SOE
学案5：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.(重点)2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.(重点)3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积.(重点)4.组合体的表面积计算.(难点)知识梳理教材整理1棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的.预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.()教材整理2圆柱、圆锥、圆台和球的表面积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式2.球的表面积公式S球＝.预习自测2-1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是() A.4π B.3πC.2πD.π2-2.已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为()A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8合作学习类型1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积例1已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积.名师指导1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.跟踪训练1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240类型2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积例2如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.名师指导1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.跟踪训练2.在本例题题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.类型3 球的表面积问题例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.名师指导1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.跟踪训练3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.29πB.28πC.25πD.26π探究共研型探究点与三视图有关的表面积探究1一个几何体的三视图如图所示，请说出该几何体的结构特征.探究2试根据图中数据求该几何体的表面积.探究3已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？例4已知某几何体的三视图如图(单位：cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积.名师指导1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用，在转化过程中注意图中各个数据的对应关系.2.在求几何体的表面积时，要搞清几何体的结构特征，注意分割、拼补的技巧，注意转化与化归思想应用. 跟踪训练4.某几何体的三视图如图所示，它的表面积为( )A.32πB.48πC.33πD.24π 课堂检测1.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A.372B.360C.292D.2802.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.4.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，求圆锥的底面面积.参考答案知识梳理教材整理1棱柱、棱锥、棱台的表面积面积和预习自测1. 【答案】(1)√(2)×(3)×【解析】(1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.(2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.(3)错误.由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的. 教材整理2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积 1.底面半径 侧面母线长 底面半径 侧面母线长上底面半径 下底面半径 侧面母线长 2. 4πR 2 预习自测 2-1. 【答案】C【解析】所得旋转体为圆柱，圆柱的底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2-2. 【答案】B【解析】S 1S 2＝4πR 214πR 22＝⎝⎛⎭⎫R 1R 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 合作学习类型1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 【分析】根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解.解：如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们组成一个直角三角形POE .∵OE ＝42＝2，∠OPE ＝30°，∴PE ＝OE sin 30°＝212＝4.∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32，S 表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48. 跟踪训练 1. 【答案】D【解析】由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240，故选D. 类型2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积例2 解：以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋(16－4)2＝13 (cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2). 跟踪训练2.解：以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD ＝4 cm ，故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm 2). 类型3 球的表面积问题例3 【分析】本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径. 解：设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3. 跟踪训练 3. 【答案】A【解析】由三视图得直观图如图，三棱锥O ABC 中OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝3，OC ＝4，OB ＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32＋42＋22，故外接球半径为292，外接球的表面积S 球＝4π⎝⎛⎭⎫2922＝29π.探究共研型探究点 与三视图有关的表面积探究1 【答案】由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形. 探究2 【答案】三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如图所示，所以表面积为2⎝⎛⎭⎫12×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72.探究3 【答案】首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征，再根据相应的表面积公式计算.例4 解：(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体. 由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2， 可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×12×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm 2).跟踪训练 4. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体S ＝2π×32＋π·3·5＝33π. 课堂检测 1. 【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和.S ＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B. 2. 【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π. 3. 【答案】2∶1【解析】S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·⎝⎛⎭⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 4. 【答案】100π【解析】设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r . 由母线长为10可知10＝(3r )2＋(4r )2＝5r ， ∴r ＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8. 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π. 5.解：如图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧π2l 2＝S ，πl ＝2πr .解得r ＝S2π，所以底面积为πr 2＝π×S 2π＝S 2. ∴圆锥的底面面积为S 2.。
1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积
6
2. 圆锥的半径为r，母线长为4r，M 是底面圆上任意一点，从M拉一根 绳子，环绕圆锥的侧面再回到M， 求最短绳长.
4 2r
变式：圆柱的轴截面是边 长为4的正方形ABCD，从 A到C圆柱侧面上的最短距 离是_________.
2 2 4
类型4：与球有关的问题
1. 球内接正方体的表面积与球的表 面积的比为（
A. 12 B. 18 C. 36 D. 6
4、 三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度 分别是3，4，5，这个三棱锥的四个顶点 都在同一个球面上，这个球的表面积是 ________
50
5.(2010· 海南、宁夏高考)设三棱柱的侧棱垂直于 底面，所有棱的长为a，顶点都在球面上，则该球 的表面积(
所以R2=x2+202=(x+9)2+72.
解得x=15(cm).
所以圆的半径R=25(cm).
所以S球=4πR2=2500π(cm2)
7．(2012·枣庄高一检测)已知一个表面积为120 cm2的正
方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的 底面上，求半球的表面积．
解： 如图， 为过正方体对角面的截面图． 设正方体的棱长为 a， 半球的半径为 R， 由 6a2＝120 得 a2＝20， 2 在 Rt△AOB 中，AB＝a，OB＝ a， 2 2a 2 3a2 由勾股定理，得 R ＝a ＋( ) ＝ ＝30. 2 2
几何体 圆柱 侧面展开图的形状 矩形 扇形 扇环 侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl
圆锥
圆台
S圆锥侧＝ πrl
S圆台侧＝ π(r1＋r2)l
其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台 的上、下底面半径．
类型1：多面体的表面积
1.1.6-棱柱-棱锥-棱台和球的表面积和体积
S'
x
S
h
V台
1 S（h x) 1 S 'x
3
3
1 Sh 1 Sx 1 S 'x 3 33
1 Sh 1 (S S ' ) h s'
33
s s'
1 Sh 1 ( s s' )h s' 1 h(s ss' s' )
33
3
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
a' D’
C’
A’
O’
M’
B’
D h h'
C
O
M
Aa
B
思考:
直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c
'
c
h
'
S锥侧
1 2
ch '
4、圆柱的表面积
侧面展开图是矩形，矩形的一边为 母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长。 其中底面半径为r，母线长为l。
面垂直的直线上。侧面为全等的等腰三角形。
S正棱锥侧=
1 2
nah'
1 ch' 2
a
h’
a
S正棱锥表= S正棱锥侧+ S底
• 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的 一半。
解题关键：斜高、底面边长 解题方法：四个关键直角三角形
S
h h'
D
C
O M
A
a
B
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
高中数学-棱柱棱锥棱台和球的表面积学案
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1．了解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算公式(不要求记忆公式)． 2．理解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式的推导过程．1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式S 直棱柱侧＝______，其中c 为直棱柱的底面周长，h 为直棱柱的高． S 正棱锥侧＝________，其中c 为正棱锥的底面周长，h ′为斜高．S 正棱台侧 ＝__________，其中c ′，c 分别为正棱台的上、下底面的周长，h ′为斜高．斜棱柱的侧面积需先计算出各个侧面的面积之后再求和，也可以先作出斜棱柱的直截面(与棱柱的侧棱垂直的截面)，设其周长为c ′，侧棱长为l ，则S 斜棱柱侧＝c ′l .【做一做1－1】长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( )．A ．44B ．88C ．64D ．48【做一做1－2】已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是__________．【做一做1－3】一个正三棱台的上、下底面边长为3 cm 和6 cm ，高是32cm ，则三棱台的侧面积是__________．2．圆柱、圆锥、圆台的面积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝______＝______，其中l 为圆柱的母线长，c 为底面圆的周长，r 为底面圆的半径．S 圆锥侧＝______＝______，其中c ，r 分别为圆锥底面圆的周长与半径，l 为母线长．S 圆台侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)l ，其中c ，r ，c ′，r ′分别为圆台上、下底面圆的周长与半径，l 为圆台的母线长．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式圆柱表面积：S 圆柱＝2πr 2＋2πrl ＝2πr (r ＋l )． 圆锥表面积：S 圆锥＝____________. 圆台表面积：S 圆台＝____________.表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，有时表面积又称为全面积．通常把几何体的侧面展成平面图形，利用平面图形来求几何体的表面积．侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段．【做一做2－1】如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )．A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【做一做2－2】如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )．A ．2πB ．3π2C ．23π3D ．π23．球的表面积S 球＝__________，其中R 为球的半径．(1)球的表面积可用语言叙述为：球面面积等于它的大圆面积的四倍． (2)球面不能展开成平面图形，因此不能根据柱、锥、台的推导方法求解． (3)不要求掌握其推导的过程，只要求记住公式并会应用．【做一做3－1】若球的大圆周长为C ，则这个球的表面积是( )． A ．C 24π B ．C 22π C ．C 2πD ．2πC 2【做一做3－2】若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．柱、锥、台的侧面积之间的区别和联系 剖析：通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆锥侧＝πrl ，S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l ，三者之间公式的相互联系可以分析出(如图)：当r 1变化时，相应的图形也随之变化，当r 1＝0，r 2＝r 时，相应的圆台就转化为圆锥，而当r 1＝r 2＝r 时，相应的圆台就转化为圆柱，相应的侧面积公式也随之变化．所以可归纳为：①圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为：S 圆柱侧＝2πrl ――→r 1＝r 2＝r S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l ―-----―→r 1＝0，r 2＝rS 圆锥侧＝πrl .②棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间的变化关系为：S 正棱柱侧＝ch ――――→c ′＝c S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′―――→c ′＝0S 正棱锥侧＝12ch ′.一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法：因其结构特征不一致，因此应该先分别计算各侧面的面积，然后再将各侧面面积求和，即为相应的侧面积．题型一棱柱、棱锥、棱台的面积问题【例1】如图，正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求该正四棱锥的侧面积和表面积．分析：根据多面体的侧面积公式，必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而根据相应的公式求解，把问题转化到三角形内加以分析求解．反思：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素，再代入面积公式求解．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算．【例2】已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．分析：利用侧面积公式求出斜高，再利用正棱台中的直角梯形求高．反思：求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素之间关系的桥梁．题型二圆柱、圆锥、圆台的面积问题【例3】一个直角梯形的上、下底和高的比为1∶2∶3，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比．分析：利用轴截面求母线长．反思：圆台的轴截面包含有圆台的各度量元素，是解有关圆台计算问题常用的平面图形．【例4】已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积．(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？分析：本题是圆锥内接圆柱的组合体，圆锥的底面半径为R，高为H.解答本题只需求出圆柱的底面半径和母线长，再根据组合体之间的几何性质画出其轴截面．利用平面几何知识去求底面半径，代入侧面积公式，就可以用x把侧面积表示出来，最后用二次函数求最值理论求其最大值，同时要注意自变量x的实际意义．反思：立体几何中求某些量的最值时，也可采用代数方法．其方法是：首先根据题意合理选取变元x，用其把所要求最值的量表示出来，然后采用代数方法求其最值．题型三球的切接问题【例5】长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，试求它的外接球的表面积．分析：根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径这一关系列式即可．反思：在处理球和长方体的组合问题时，通常是先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件来求．题型四易错辨析【例6】用互相平行且距离为27的两个平面截球面，两个截面圆的半径分别为r1＝15，r2＝24，试求球的表面积．错解：设球的半径为R ，由题意可设球心到两平行平面的距离为OO 1＝d 1，OO 2＝d 2，如图所示，可得d 1，d 2，R 之间的关系：⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝152＋d 21，R 2＝242＋d 22，d 1＋d 2＝27，∴225＋d 21＝576＋(27－d 1)2，解得d 1＝20，d 2＝7，R ＝25.∴S 球＝4πR 2＝2 500π.错因分析：错解中只分析了两平行平面位于球心异侧的情况，还应该讨论两平行平面位于球心同侧的情况．1已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的全面积为( )． A ．33a 2＋6ah B ．3a 2＋6hC ．43a 2＋6ahD ．323a 2＋6ah2(2012·山东潍坊一模)已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球的表面积等于( )．A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π3一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．A ．372B ．360C ．292D ．2804已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是__________．5正四棱台的高是12 cm ，两底面边长相差10 cm ，全面积是512 cm 2，则两底面的边长分别是__________．答案：基础知识·梳理1．ch 12ch ′ 12(c ＋c ′)h ′【做一做1－1】B 设长，宽，高分别为3x,2x ，x ，则对角线长为9x 2＋4x 2＋x 2＝14x ＝214，∴x ＝2.∴表面积S ＝2(6x 2＋3x 2＋2x 2)＝88.【做一做1－2】 3 【做一做1－3】2732cm 22．(1)cl 2πrl 12cl πrl (2)πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l ) π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )【做一做2－1】C 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2， 所以圆锥的表面积S ＝π×1×(1＋2)＝3π.【做一做2－2】C 可以把母线的长设为1，根据已知求出圆台的高，进而根据公式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积．3．4πR 2【做一做3－1】C【做一做3－2】27π 正方体的体对角线即为球的直径，即直径d ＝32＋32＋32＝27＝33，∴球的半径R ＝332.∴S ＝4πR 2＝27π. 典型例题·领悟【例1】解：正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成一个Rt △POE . 因为OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°，所以PE ＝OEsin 30°＝4(cm)．因此S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)，S 正四棱锥表＝S 正四棱锥侧＋S 正四棱锥底＝32＋4×4＝48(cm 2)．【例2】解：如图所示，正三棱台ABC －A 1B 1C 1中，O ，O 1为两底面中心，D ，D 1是BC ，B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高．由A 1B 1＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则OD ＝5 3 cm ，O 1D 1＝1033cm.由S 侧＝S 上＋S 下，得S 侧＝12(60＋90)·DD 1＝34(202＋302)，解得DD 1＝1333(cm)．在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝ ⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)， 即棱台的高为43cm.【例3】解：如图所示，设上、下底和高分别为x,2x，3x ，则母线长l ＝x －x2＋3x2＝2x ，∴S 上底＝πx 2，S 下底＝π(2x )2＝4πx 2，S 侧＝π(x ＋2x )·2x ＝6πx 2， ∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6. 【例4】解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示， 设所求圆柱的底面半径为r ， 它的侧面积S 圆柱侧＝2πr ·x ，∵r R ＝H －x H ，∴r ＝R－RHx ，∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H·x 2(0＜x ＜H )．(2)∵S 圆柱侧的表示式中x 2的系数小于零， ∴这个二次函数有最大值，这时圆柱的高是x ＝－2πR －2×2πR H＝H 2＞0，且x ＝H2＜H ，满足题意，∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．【例5】解：如图为过长方体的一条体对角线的截面．设长方体有公共顶点的三条侧棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知有⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR 2＝9π.【例6】正解：设球的半径为R ，球心O 到两平行截面的距离分别为OO 1＝d 1，OO 2＝d 2. (1)当两平行截面位于球心O 异侧时，如图①，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝152＋d 21，R 2＝242＋d 22，d 1＋d 2＝27.∴225＋d 21＝576＋(27－d 1)2.解得d 1＝20，d 2＝7，R ＝25.∴S 球＝4πR 2＝2 500π.(2)当两平行截面位于球心O 同侧时，如图②，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝152＋d 21，R 2＝242＋d 22，d 1－d 2＝27.∴225＋d 21＝576＋(d 1－27)2.解得d 1＝20，d 2＝－7，不符合题意，这种情况不存在． 综上知，球的表面积为2 500π. 随堂练习·巩固1．A 柱体的全面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其全面积为S 侧＋2S底＝6ah ＋33a 2. 2．C3．B 该几何体的直观图如图所示．∴S 表＝2(2×8＋8×10＋2×10)＋2(8×6＋8×2)＝360，故选B. 4．S2如图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧π2l 2＝S ，πl ＝2πr .解得r ＝S2π，所以底面积为πr 2＝π×S 2π＝S2.5．2 cm,12 cm 如图所示，设正四棱台的上底面边长A 1B 1＝a cm ，则AB ＝(a ＋10) cm ，高OO 1＝12 cm ，∴斜高EE 1＝E 1F 2＋OE －O 1E 12＝122＋52＝13(cm)．∴a 2＋(a ＋10)2＋12×4×(2a ＋10)×13＝512.解得a ＝2，∴下底面边长为a ＋10＝12(cm)．。
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第一章 立体几何 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
1. 会求空间几何体、简单组合体的面积；
2. 能解决与空间几何体表面积有关的综合问题；
3. 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想.
自主预习案 自主复习 夯实基础
【双基梳理】
1. 棱柱、棱锥、棱台的侧面积是指 。
棱柱、棱锥、棱台的表面积是 。
2. 直棱柱、 正棱锥、正棱台的侧面展开图是什么图形？侧面积公式？表面积公式？
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么图形？侧面积公式？表面积公式？
4.球的表面积公式是 。
考点探究案 典例剖析 考点突破
考点一 直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积
【例1】一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm,高是
23cm, （1）求三棱台的斜高；
（2）求三棱台的侧面积和表面积.
变式训练： 三棱锥S —ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S —ABC 的表面积是 .
考点二 球（组合体）的表面积
【例2】已知球面上过,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球的表面积为（ ）. A.169π B.83π C.4π D.649
π
变式训练：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
( )
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
考点三 由几何体的三视图求表面积
第一章 立体几何
如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 ( )
A.
2π B.π C.2
3π D.2π
巩固提高案 日积月累 提高自我
1.已知正方体外接球的体积为3
32π,那么正方体的棱长等于 ( ) A.22 B.3
32 C.324 D.334
2.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，
∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2.P 是BC1上一动点，则
CP+PA1的最小值是 。
3.正方体的8个顶点中有4个恰为正四面体的顶点,则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（ ）.
第一章立体几何。