四川省绵阳2024届高三上学期10月月考试题 数学(理)试题含解析

绵阳高2021级高三上期10月月考试题
理科数学（答案在最后）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}2=+28<0
A x x x -，{}4,2,0,2,4
B =--，则A B ⋂=（
）A.
{}
2,0- B.
{}4,2,0,2-- C.
{}0,2 D.
{}
2,0,2,4-【答案】A 【解析】
【分析】解出集合A 中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为{}{
}
2
=+28<0=4<<2A x x x x x --，{}4,2,0,2,4B =--，
所以{}2,0A B ⋂=-.故选：A
2.已知a b <，则（）
A.22
a b < B.e e a b
--<C.()()
ln 1ln 1a b +<+ D.a a b b
<【答案】D 【解析】
【分析】根据反例可判断AC ，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，但不能得到22a b <，故A 错误，对于B ，由于a b <，所以a b ->-，又e x y =为单调递增函数，所以e e a b -->，故B 错误，对于C ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，()()
ln 1ln 2ln 1ln10a b +=>+==，故C 错误，对于D ，若0a b <<，则2
2
,a a a b b b =-=-，函数2y x =-在(),0∞-上单调递增，所以
22a a a b b b =-<=-，
当0a b ≤<，则2
2
,a a a b b b ==，函数2y x =在[)0,∞+上单调递增，所以2
2
a a a
b b b =<=，
当0a b <≤，则22
a a a
b b b =-<=，综上可知D 正确，
故选：D
3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321238S a a =+，则公比q =（）A.2 B.32
-
C.2或32-
D.2或
32
【答案】A 【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.
【详解】由321238S a a =+，有()12321238a a a a a ++=+，即321260a a a --=．
由等比数列的通项公式得2
111260a q a q a --=，即2260q q --=，解得2q =或3
2
q =-
，由数列为正项等比数列，∴2q =．故选：A
4.如图所示，在ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE =
（
）
A.1136BA BC --
B.1163
BA BC --
C.
5163
BA BC --
D.
5163
BA BC -+
【答案】B 【解析】
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】()
111111323263
DE DA AE CA AB CB BA BA BC =+=+=+-=--
.
故选：B
5.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（
）参考数
据：lg 20.301≈，lg 30.477≈.A.3.048分钟 B.4.048分钟
C.5.048分钟
D.6.048分钟
【答案】C 【解析】
【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到34log 4，用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.
【详解】依题意，170T =，010T =-，10T =，代入公式得：
()()()31030334log log 4log 80log 20t T T T T =---=-⎡⎤⎣⎦3
3804lg 4
4log 4log 420lg 3
===8lg 280.301 5.048lg 30.477
⨯=
≈≈（分钟），故选：C.
6.已知命题p ：函数()a
f x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为
真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）．A.()1,0- B.[]
0,1C.
(]()
10,-∞-+∞ , D.
(]()
,11,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】
【分析】根据题意求出,p q 为真命题时的范围，进而根据,p q 中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则2
01440
a a a <⎧⇒≤-⎨
∆=-≤⎩，
由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0
101a a a <⎧⇒-<<⎨
>-⎩
；
若q 真p 假，则满足：0
1
a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，
综上10
a -<<
故选：A 7.函数()2ln 1cos x y x
+=
的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】从图像利用排除法进行求解：
先分析奇偶性，排除B ；计算()00f =排除C ；根据0x +→时，()0f x >；排除D.即可得到答案.【详解】对于()()2ln 1cos x f x x
+=
，定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫
≠
+∈⎨⎬⎩
⎭
关于原点对称.因为()()(
)()
()()2
2
ln 1ln 1cos cos x x f x f x x x +-+-=
==-，
所以()f x 是偶函数，排除B .当0x =时，()2ln 100
0cos 0
1
y +=
=
=，排除C ；当0x +→时，(
)2
ln 10x +>，cos 0x >，()0f x >；排除D.
故选：A.
8.已知()3sin cos sin 2παπαα⎛⎫
-+-=
⎪⎝⎭
，则22sin sin cos ααα-=（）
A.
2110 B.
32
C.
2
D.2
【答案】D 【解析】
【分析】利用诱导公式化简可得tan α的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：由诱导公式可得()3sin sin cos 2cos 2πααπαα⎛⎫
=-+-=-
⎪⎝⎭
，所以，tan 2α=-.因此，222
222
2sin sin cos 2tan tan 10
2sin sin cos 2sin cos tan 15
ααααααααααα---====++.故选：D.
9.已知0ω>，函数()sin(4f x x π
ω=+在(,)2
ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15
[,24
B.13[,]
24
C.1
(0,]
2
D.(0,2]
【答案】A 【解析】
【详解】由题意可得,
322,22442
k k k Z πππππ
πωπωπ+≤+<+≤+∈，∴
15
42,24
k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，15
24
ω∴≤≤．故A 正确．
考点：三角函数单调性．
10.若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中a ，b 为正实数，则2
e
a b ++的取值范围是（）
A.
[)
2,+∞ B.
[)
,e +∞ C.
[)
2,e D.2,2e e ⎛⎫++∞
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
【分析】先根据已知求出2b ae =-，2
a e
>
，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为()00,x y ，则有()0
001
,2ln e
x a b ae x a ex b
⎧=⎪+∴=-⎨⎪+=+⎩
，∵0b >，∴2
a e
>
，122e a a b a
+=+≥+，（当且仅当1a =时取等）
故选：A
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当[0,2]x ∈时，1π
()sin 24
f x x =
，则方程1
()8
f x x =
-在[4,20]-上所有根的和为（）
A.32
B.48
C.64
D.80
【答案】C 【解析】
【分析】根据奇函数的性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为()f x 是奇函数，所以由
(2)(2)(4)()()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-⇒+=-=-⇒+=-+=，
因此函数的周期为8，当[0,2]x ∈时，1π()sin 24
f x x =
，所以当[2,0)x ∈-时，()()1π1
πsin sin 242
4f x f x x x ⎛⎫=--=-
-= ⎪⎝⎭，当(2,4]x ∈时，由(2)(2)(4)()f x f x f x f x +=-⇒-=，所以()()1π1
π()4sin 4sin 242
4f x f x x x ⎡⎤=-=
-=⎢⎥⎣⎦，所以当[4,2)x ∈--时，()()1π1
πsin sin 242
4f x f x x x ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭，于是当x ∈R 时，1π()sin 24f x x =
，该函数关于点(8,0)对称，而函数1
8
y x =-也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示：
由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于(8,0)对称的点，所以方程1
()8
f x x =-在[4,20]-上所有根的和为42864⨯⨯=，故选：C
【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.
12.若正实数1x 是函数()2
e e x
f x x x =--的一个零点，
2x 是函数()()()3
e ln 1e g x x x =---的一个大于e 的零点，则
()122
e e
x x -的值为（）
A.
1
e
B.
2
1e C.e
D.2
e 【答案】C 【解析】
【分析】依题意得12
11e e x x x -=，()()3
22e ln 1e x x --=，则(
)
()()13
1122e e e e ln 1x
x x x x -==--，即
是(
)()()21ln 11
1
12e
e ln 1e e x x x x -++⎡⎤-=--⎣⎦
，从而同构函数()()1e e x F x x +=-，0x >，利用()F x 的单调性得到12ln 1x x =-，代入()122
e e
x x -求解即可.
【详解】依题意得，
1211e e 0x x x --=，即1211e e x x x -=，1>0x ，
()()322e ln 1e 0x x ---=，即()()322e ln 1e x x --=，2e x >，
()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--，()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--，
()()()21ln 11
112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦
又22ln 1,ln 10x x >-> ，
∴同构函数：()()
1e e x F x x +=-，0x >，
则()()3
12ln 1e F x F x =-=，
又()()1
11e
e e e e 1e x x x x F x x x +++'=-+=-+，
0x >，0e e 1x ∴>=，e 10x ∴->，又1e 0x x +>，
()0F x '∴>，()F x 单调递增，12ln 1x x ∴=-，()()()3
12222
2
2e ln 1e e e e e e
x x x x ---∴
=
==.故选：C.
【点睛】关键点点睛：
（1）函数零点即为函数()0f x =的x 取值；
（2）对12,x x 的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数()(
)1
e e x F x x +=-，0x >，其中应注
意定义域；
（3）运用导数研究函数()F x 的单调性，进而确定12ln 1x x =-；（4）求解
()122
e e
x x -的值时，将1x 替换后应注意分子的取值.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13.已知x ，y 满足约束条件1021010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪++≥⎩
，则目标函数2z x y =-+的最小值为______．
【答案】4-【解析】
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），作目标函数对应的直线：:20l x y -+=，在直线2z x y =-+中，纵截距为z ，向下平移直线时，z 减小，
由10210x y x y --=⎧⎨
-+=⎩，得3
2
x y =⎧⎨=⎩，即()3,2C ，
因此向下平移直线l ，当l 过点()3,2C 时，2324z =-⨯+=-为最小值．故答案为：4-．
14.已知向量(23),(31)a t b =-=- ，，，且(2)a b b +
∥，则a =r ___________.
【答案】【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为(23)a t =- ，，(31)b =- ，，所以()24,1a b t +=+ ，又(2)a b b +
∥，
所以()()
41310t +⨯--⨯=，解得7t =-，所以()93a =- ，，故a =
.
故答案为：.
15.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若
()2f x '<，且()45f =，则不等式
()222log log 3f x x >-的解集是______．
【答案】()1,16【解析】
【分析】构造函数()()23g x f x x =-+，由导数确定其单调性，题设不等式化为2(log )(4)g x g >，再利用单调性变形求解．
【详解】令()()23g x f x x =-+，则()()20g x f x ''=-<，
∴()g x 在(0,)+∞上是减函数，
(4)(4)830g f =-+=，
不等式
()222log log 3f x x >-化为22(log )2log 3f x x >-，
即22(log )2log 30f x x -+>，也即为2(log )(4)g x g >，所以20log 4x <<，116x <<.故答案为：(1,16)，
16.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件
74()()04
3
f x f f x f ππ⎛
⎫⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
的最小正整数x 为________．
【答案】2【解析】
【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),(43
f f π4π
-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知
313341234
T πππ=-=，即2T π
πω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯
+=，即6
π
ϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-
=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭
；
所以由74(()())(()())043
f x f f x f ππ
--
->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-
<-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛
⎫
-
< ⎪⎝
⎭
，解得,36
k x k k π5ππ+
<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，
可得x 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛
⎫
=-< ⎪⎝⎭
，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17.设函数()2
2sin cos 2cos π4f x x x x ⎛⎫=-+
⎪⎝
⎭
．（1）求函数()f x 的单调递增区间及对称中心；（2）当π,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭时，π365f x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，求cos 2x 的值．
【答案】（1）单调递增区间是()πππ,πZ 44k k k ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；π,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z
k ∈
（2）
310
+【解析】
【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；（2）由两角差的余弦公式计算．【小问1详解】
由题意得：
()πsin 21cos 2sin 21sin 22sin 212f x x x x x x ⎡⎤⎛
⎫=-++=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦，
由()ππ2π22πZ 22k x k k -
+≤≤+∈，可得()ππ
ππZ 44
k x k k -+≤≤+∈；所以()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 44k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦；
令2πx k =，Z k ∈，解得：π
2
k x =
，Z k ∈，此时函数值为1-，所以对称中心为π,12k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，Z k ∈．【小问2详解】∵ππ32sin 21635f x x ⎛
⎫⎛⎫+
=+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，∴π4
sin 235
x ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，∵π,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭，∴π2ππ2,333x ⎛⎫+
∈- ⎪⎝⎭
，∵πsin 203x ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭，
∴ππ0233x <+
<，∴π3cos 235
x ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭ππππππ3
cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 33333310x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
18.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，1n a +-，n a ，2n a +成等差数列．等差数列{}n b 满足
121b a =+，523233b b a -=-．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列()121n n b ⎧⎫⎪⎪
⎨+⎪⎪⎩⎭
的前n 项和为n T ．
【答案】（1）2n n a =，23n b n =+；（2）
69
n n +【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;（2）用裂项相消法进行求解即可【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，
因为1n a +-，n a ，2n a +成等差数列，所以212n n n a a a ++=-即111112n n n a q a q a q -+=-，
因为0q >，10a >，所以22q q =-，解得2q =或1q =-（舍去），所以1
11222n n n n a a q
--==⨯=，2121215b a =+=+=，
由523233b b a -=-可得()()3
2543523d d +-+=-，解得2d =，所以()()1152123n b b n d n n =+-⋅=+-=+；【小问2详解】因为23n b n =+，所以
()()()1111121212322123n n b n n n n ⎛⎫
==- ⎪+++++⎝⎭
，
所以11111111123525722123n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111111111235572123232369
n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪++++⎝⎭⎝⎭
19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中b =，且(sin )cos sin cos a C B B C -=.
（1）求角B 的大小；
（2）求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）
3
π
（2）(
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cos sin a B A =，再由正弦定理得到1
sin cos b B B
=，即可得到tan B ，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到03ac <≤，再根据()2
22233a c a c ac ac +=++=+求出a c +的取值范围，即可得解；【小问1详解】
解：因为()sin cos sin cos a C B B C -=，即cos sin cos sin cos a B C B B C -=，所以
()cos sin cos sin cos sin a B C B B C C B =+=+，即cos sin a B A =，所以
1
sin cos a A B
=，又
sin sin a b
A B =，b =，所以1sin cos b B B =，所以sin tan cos B B b B ===，因为()0,B π∈，所以3
B π=；【小问2详解】
解：因为3
B π
=
、b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即223a c ac =+-，即2232a c ac ac +=+≥
当且仅当a c ==时取等号，所以03ac <≤，所以
()
2
22233a c a c ac ac +=++=+
，所以()2
312a c <+≤a c <+≤，所以
ABC C <≤ ，即三角形的周长的取值范围为(
20.已知函数()()3
2
2316f x x a x ax =-++，其中a 是正数．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()y f x =在闭区间[]0,1a +上的最大值为()1f a +，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）1
,33⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
【解析】
【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；
（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．【小问1详解】
因为()()()3
2
23160f x x a x ax a =-++>，
所以()()()()2
661661f x x a x a x x a =-++=--'．
①当1a =时，()()
2
610f x x '=-≥，()f x 在R 上严格递增；
②当01a <<时，由()0f x ¢>得x a <或1x >，由()0f x '<得1<<a x ，所以()f x 在(),a -∞单调递增，在(),1a 上单调递减，在()1,+∞单调递增；③当1a >时，由()0f x ¢>得1x <或x a >，由()0f x '<得1x a <<，所以()f x 在(),1-∞单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),a +∞单调递增；【小问2详解】
由（1）可知①当1a =时，()()
2
610f x x '=-≥，
()f x 在[]0,1a +上严格递增，此时()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +；
②当01a <<时，()f x 在()0,a 单调递增，在(),1a 上单调递减，在()1,1a +单调递增；
()f x 在[]0,1a +上的最大值只有可能是()f a 或()1f a +，
因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，所以()()()(
)3
2
3
2
13313310f a f a a a a a a
a +-=-++---+=-≥，
解得1
3a ≥
，此时113
a ≤<；③当1a >时，()f x 在()0,1单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),1a a +单调递增；
()f x 在[]0,1a +上的最大值可能是()1f 或()1f a +，
因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，
所以()()()
()()3
2
3
2
2
1133131330
f a f a a a a a a a
a +-=-++---=-+=--≥，
解得3a ≤，此时13a <£，由①②③得，
1
33
a ≤≤，∴满足条件的a 的取值范围是1,33
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
．
21.已知函数()e ax
f x x =-（,e a R ∈为自然对数的底数），()ln 1
g x x bx =++.
（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对()[)0,,1,x a ∞∞∀∈+∀∈+恒成立，求实数b 的取值范围.
【答案】（1）10,e ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
（2）(],1-∞【解析】
【分析】（1）()f x 有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.（2）先利用参数放缩转变成e ln 1x x x bx ≥++恒成立，再通过参变分离转化成()ln 1
e (0)x
x F x x x x
=-
->最小值问题.【小问1详解】
()f x 有两个零点，
∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，
e 0ax >，
∴0,
x >()f x \有两个零点即ln x
a x
=有两个相异实根.令()ln x G x x =
，则()2
1ln x
G x x -'=，
()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,
x >()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，
()max 1()e e
G x G ∴==
，又()10,
G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,
G x →()f x \有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
；
【小问2详解】
1,0a x ≥>，所以e e ax x
x x ≥∴原命题等价于e ln 1x x x bx ≥++对一切()0,x ∞∈+恒成立，
ln 1
e x x b x x ∴≤-
-对一切()0,x ∞∈+恒成立，令()ln 1e (0)x
x F x x x x
=-
->，min (),
b F x ∴≤()222
ln e ln e x x
x x x
F x x x +=+=
'令()()2e ln ,0,x
h x x x x ∞=+∈+，
则()x
21
2e e 0,x
h x x x x
+
'=+>()h x ∴在()0,+∞上单增，
又()1
20
e 11e 0,e 1e 10e h h -⎛⎫=>=-<-= ⎪⎝⎭
，
01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭
使()00h x =，即0
200e ln 0x x x +=①，
当()00,x x ∈时，()0h x <，即()F x 在()00,x 递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()0,x +∞递增，
()00min 000
ln 1
()e x x F x F x x x ∴==-
-由①知0
200e
ln x x x =-，
01
ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫∴=-== ⎪⎝⎭
，
函数()e x x x ϕ
=在()0,+∞单调递增，
00
1
ln
x x ∴=即00ln ,x x =-0ln 0min 0000
111
()e 11,x x F x x x x x --∴=--=+-=1,
b ∴≤∴实数b 的取值范围为(],1-∞.
【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.
(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.
（二）选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数），以坐标原点O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 20ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,2P ，求11
PA PB +的值．【答案】（1）2
214
x y +=，220x y -+=；
（2
）
15
.【解析】
【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.【小问1详解】
由2cos sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数），得2
214x y +=，
故曲线C 的普通方程为2
214
x y +=．
由2cos sin 20ρθρθ-+=，得220x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为220x y -+=．【小问2详解】
由题意可知直线l
的参数方程为55
25x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）．
将直线l 的参数方程代入曲线C
的普通方程并整理得217600t ++=，设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，
则1217
t t +=-
，126017t t =，
故
121212121115
t t t t PA PB t t t t +++===．23.已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[]
3,4
-（2）(][),51,-∞-⋃-+∞【解析】
【分析】（1）分2x ≤
-、23x -<<、3x ≥三种情况解不等式()7f x ≤，综合可得出原不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可得出关于a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】
因为()21,2
325,2321,3x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≥⎩
，
所以()7f x ≤等价于2217x x ≤-⎧⎨-+≤⎩，或2357x -<<⎧⎨≤⎩，或3
217x x ≥⎧⎨-≤⎩
，
解得32x --≤≤或23x -<<或34x ≤≤，所以34x -≤≤，即不等式()7f x ≤的解集为[]
3,4-．【小问2详解】
因为()33f x x x a a =-++≥+，当且仅当()
()30x x a -+£时等号成立；所以函数()3f x x x a =-++的最小值为3a +，由已知可得32a +≥，所以32a +≥或32a +≤-，
解得1a ≥-或5a ≤-，即a 的取值范围(][),51,-∞-⋃-+∞．。