高中物理第3章机械波素养提升课2波的图像与振动图像的综合问题波的多解问题新人教版选择性必修第一册
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第三章 机械波
素养提升课(二)
波Байду номын сангаас图像与振动图像
的综合问题波的多解问题
学习
1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。
任务
2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
01
关键能力·情境探究达成
探究1 波的图像与振动图像的综合问题
探究2 波的多解问题
探究1 波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
T＝
s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，机械波的周期为
+
能为
s，故A错误，B正确；若振幅为0.2
s，不可
m，则有Δt＝ ＋nT或Δt＝
T＋nT或Δt＝ ＋nT(n＝0，1，2，…)，得T＝
+
s或
+
s或
+
s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，机械波的周期可能为1.2 s或2 s，故
正确。]
规律方法
分析波的图像与振动图像综合问题的两个方面
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波
长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后
根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
[跟进训练]
1．(多选)(2022·中国农业大学附属中学期末考试)一简谐机械波沿x轴负方
m，t＝1 s时该质点的位移为0.1 m，则(
A．若振幅为0.1
m，机械波的周期可能为
m，机械波的周期可能为
)
s
B．若振幅为0.1
s
√
C．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为2 s
√
D．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为1.2 s
√
BCD
[若振幅为0.1 m，则有Δt＝
+
T(n＝0，1，2，…)，解得
先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后
在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或
限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
[跟进训练]
3．(多选)(2022·山东临沂二十四中月考)一质点沿y轴做简谐运动，平衡
位置在坐标原点，在x轴方向形成机械波，t＝0时该质点的位移为－0.1
像，则(
)
A．简谐横波沿x轴负方向传播
B．简谐横波的波速为0.25 m/s
C．t＝0.5 s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度
D．t＝0.7 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
√
D
[由题图乙可知，质点P在0.2 s时沿y轴负方向振动，根据题图甲可
知，简谐横波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图甲可知，波长为2
下列说法正确的是(
)
A．波源的振动周期可能是0.4 s
B．波源的振动周期可能是0.2 s
√
C．波速可能为10 m/s
D．在任何一个周期内振动质点的路程都为8 m
√
BD
[由题图可知波长λ＝4 m，振幅A＝2 m，若波沿x轴负方向传播，则Δt＝
+
.
+
T，解得T＝
s(n＝0，1，2，3，…)，波速为v＝ ＝
+
.
0，1，2，3，…)；若波沿x轴正方向传播，则Δt＝ +
3，…)，解得T＝
.
+
s(n＝0，1，2，3，…)，波速为v＝ ＝
m/s(n＝
T(n＝0，1，2，
+
.
m/s(n＝0，
1，2，3，…)。由以上分析可知，该波的周期可能为0.2 s，不可能为0.4 s，故B
(2)画出x＝3 m处的质点的振动图像。
[解析]
在t＝1 s时，x＝3 m处的质点在正向最大位移处，可得振动
图像如图所示。
[答案]
见解析图
探究2
波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性。
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相
同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即
找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找
到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例2】
(多选)(2022·江西南昌新建第一中学期中)如图所示，实线
是一列简谐横波在某时刻的波形图，虚线是经过0.15 s时该波的波形图，
cm
D．x＝12 m处的质点在平衡位置向上振动时，x＝18 m处的质点在
波谷
B
[由题图可知，该波的周期为12 s，A错误；由题图可知，从x＝
12 m到x＝18
m之间至少有 个波长，因此
2，3，…)，可得λ＝
+
+
λ＝6 m(n＝0，1，
m，当n＝0时，波长λ＝8 m，B正确；由
题图可知，在0～4 s内，x＝12 m处的质点通过的路程为s1＝A＋A
向传播，波长为λ，周期为T。图甲为t＝0时刻的波形图，a、b、c是波上的
三个质点。图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是(
A．t＝0时，质点a的加速度比质点b的小
B．质点b和质点c的速度方向总是相反的
√
C．图乙可以表示质点b的振动
D．图乙可以表示质点c的振动
√
)
BD
[t＝0时，质点a的加速度比质点b的加速度大，故A错误；质点
图像种类
物理意义
图像
振动图像(y-t图像)
某一质点的位移随时间变化的
规律
波的图像(y-x图像)
某时刻所有质点振动的位移
图像种类
振动图像(y-t图像)
波的图像(y-x图像)
(1)周期T、振幅A
(1)波长λ、振幅A
图像
(2)各时刻质点的位移
(2)任意一质点在该时刻的位移
信息
各 时 刻 速 度 、 加 速 度 方 (1)任意一质点在该时刻加速度方向
m，由题图乙可知，周期为0.4
0.5
s，则波速为v＝ ＝5
m/s，故B错误；t＝
s时，即由题图甲再经过 T，质点P处于波峰，而质点Q并没有处于最
大位移处，所以质点Q的加速度小于质点P的加速度，故C错误；t＝0.7 s
时，即由题图甲再经过 T，质点P处于波谷，而质点Q并没有处于最大位
移处，所以质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，故D
D．x＝3 m处的质点
[解析] 当t＝1 s时，由题图乙可知，此时该质点在平衡位置，正要沿y轴
负方向运动，由于该波沿x轴负方向传播，由题图甲知此时x＝0处的质点
在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故A正确。若该波沿x轴正方向传
播，由题图甲可知，t＝1 s时x＝2 m处的质点在平衡位置，且正沿y轴负
方向运动，故C正确。
C、D正确。]
4．(2022·上海市金陵中学开学考试)一列简谐横波沿x轴正方向传
播，在x＝12 m处的质点的振动图像如图甲所示，在x＝18 m处的质
点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是(
)
A．该波的周期为15 s
B．该波的波长可能为8 m
√
C．在0～4 s内，x＝12 m处和x＝18 m处的质点通过的路程均为6
直读
判断
图像变化
形象比喻
向
随时间推移，图像延
续，但已有形状不变
一个人在一段时间内活
动的“录像”
(2)传播方向、振动方向的互判
随时间推移，图像沿传播方向平移
一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像综合问题
【典例1】
(2022·江苏泰州期末)如图甲为一列简谐横波在t＝0.2 s
时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图
的波形图，图乙是该波中某振动质点的位移随时间变化的图像(两图
用同一时刻作为起点)。
A
(1)图乙可能是图甲中质点_______(填正确选项即可)的振动图像；若该波沿x轴
C
正方向传播，则图乙可能是图甲中质点_______(填正确选项即可)的振动图像。
A．x＝0处的质点
B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动
情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性。
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反
之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
sin
＝6
cm，x＝18 m处的质点通过的路程为s2＝2A－A sin
+
＝ − cm，C错误；由题图可知，x＝12 m处的质点在平衡位
置向上振动时，x＝18 m处的质点在波峰，D错误。]
b和质点c都处于平衡位置且相距半个波长，二者速度方向总是相反
的，故B正确；由题图甲可知t＝0时质点b振动方向向下，质点c振动
方向向上，题图乙中t＝0时质点振动方向向上，故题图乙不能表示
质点b的振动，但可以表示质点c的振动，故C错误，D正确。]
2．一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图所示，其中图甲是t＝1 s时
正确，A错误；根据以上分析可知波速不可能为10 m/s，故C错误；根据波与质
点振动的关系知，在任何一个周期内振动质点的路程都为8 m，故D正确。]
规律方法
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没
有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般
素养提升课(二)
波Байду номын сангаас图像与振动图像
的综合问题波的多解问题
学习
1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。
任务
2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
01
关键能力·情境探究达成
探究1 波的图像与振动图像的综合问题
探究2 波的多解问题
探究1 波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
T＝
s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，机械波的周期为
+
能为
s，故A错误，B正确；若振幅为0.2
s，不可
m，则有Δt＝ ＋nT或Δt＝
T＋nT或Δt＝ ＋nT(n＝0，1，2，…)，得T＝
+
s或
+
s或
+
s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，机械波的周期可能为1.2 s或2 s，故
正确。]
规律方法
分析波的图像与振动图像综合问题的两个方面
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波
长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后
根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
[跟进训练]
1．(多选)(2022·中国农业大学附属中学期末考试)一简谐机械波沿x轴负方
m，t＝1 s时该质点的位移为0.1 m，则(
A．若振幅为0.1
m，机械波的周期可能为
m，机械波的周期可能为
)
s
B．若振幅为0.1
s
√
C．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为2 s
√
D．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为1.2 s
√
BCD
[若振幅为0.1 m，则有Δt＝
+
T(n＝0，1，2，…)，解得
先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后
在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或
限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
[跟进训练]
3．(多选)(2022·山东临沂二十四中月考)一质点沿y轴做简谐运动，平衡
位置在坐标原点，在x轴方向形成机械波，t＝0时该质点的位移为－0.1
像，则(
)
A．简谐横波沿x轴负方向传播
B．简谐横波的波速为0.25 m/s
C．t＝0.5 s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度
D．t＝0.7 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
√
D
[由题图乙可知，质点P在0.2 s时沿y轴负方向振动，根据题图甲可
知，简谐横波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图甲可知，波长为2
下列说法正确的是(
)
A．波源的振动周期可能是0.4 s
B．波源的振动周期可能是0.2 s
√
C．波速可能为10 m/s
D．在任何一个周期内振动质点的路程都为8 m
√
BD
[由题图可知波长λ＝4 m，振幅A＝2 m，若波沿x轴负方向传播，则Δt＝
+
.
+
T，解得T＝
s(n＝0，1，2，3，…)，波速为v＝ ＝
+
.
0，1，2，3，…)；若波沿x轴正方向传播，则Δt＝ +
3，…)，解得T＝
.
+
s(n＝0，1，2，3，…)，波速为v＝ ＝
m/s(n＝
T(n＝0，1，2，
+
.
m/s(n＝0，
1，2，3，…)。由以上分析可知，该波的周期可能为0.2 s，不可能为0.4 s，故B
(2)画出x＝3 m处的质点的振动图像。
[解析]
在t＝1 s时，x＝3 m处的质点在正向最大位移处，可得振动
图像如图所示。
[答案]
见解析图
探究2
波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性。
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相
同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即
找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找
到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例2】
(多选)(2022·江西南昌新建第一中学期中)如图所示，实线
是一列简谐横波在某时刻的波形图，虚线是经过0.15 s时该波的波形图，
cm
D．x＝12 m处的质点在平衡位置向上振动时，x＝18 m处的质点在
波谷
B
[由题图可知，该波的周期为12 s，A错误；由题图可知，从x＝
12 m到x＝18
m之间至少有 个波长，因此
2，3，…)，可得λ＝
+
+
λ＝6 m(n＝0，1，
m，当n＝0时，波长λ＝8 m，B正确；由
题图可知，在0～4 s内，x＝12 m处的质点通过的路程为s1＝A＋A
向传播，波长为λ，周期为T。图甲为t＝0时刻的波形图，a、b、c是波上的
三个质点。图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是(
A．t＝0时，质点a的加速度比质点b的小
B．质点b和质点c的速度方向总是相反的
√
C．图乙可以表示质点b的振动
D．图乙可以表示质点c的振动
√
)
BD
[t＝0时，质点a的加速度比质点b的加速度大，故A错误；质点
图像种类
物理意义
图像
振动图像(y-t图像)
某一质点的位移随时间变化的
规律
波的图像(y-x图像)
某时刻所有质点振动的位移
图像种类
振动图像(y-t图像)
波的图像(y-x图像)
(1)周期T、振幅A
(1)波长λ、振幅A
图像
(2)各时刻质点的位移
(2)任意一质点在该时刻的位移
信息
各 时 刻 速 度 、 加 速 度 方 (1)任意一质点在该时刻加速度方向
m，由题图乙可知，周期为0.4
0.5
s，则波速为v＝ ＝5
m/s，故B错误；t＝
s时，即由题图甲再经过 T，质点P处于波峰，而质点Q并没有处于最
大位移处，所以质点Q的加速度小于质点P的加速度，故C错误；t＝0.7 s
时，即由题图甲再经过 T，质点P处于波谷，而质点Q并没有处于最大位
移处，所以质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，故D
D．x＝3 m处的质点
[解析] 当t＝1 s时，由题图乙可知，此时该质点在平衡位置，正要沿y轴
负方向运动，由于该波沿x轴负方向传播，由题图甲知此时x＝0处的质点
在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故A正确。若该波沿x轴正方向传
播，由题图甲可知，t＝1 s时x＝2 m处的质点在平衡位置，且正沿y轴负
方向运动，故C正确。
C、D正确。]
4．(2022·上海市金陵中学开学考试)一列简谐横波沿x轴正方向传
播，在x＝12 m处的质点的振动图像如图甲所示，在x＝18 m处的质
点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是(
)
A．该波的周期为15 s
B．该波的波长可能为8 m
√
C．在0～4 s内，x＝12 m处和x＝18 m处的质点通过的路程均为6
直读
判断
图像变化
形象比喻
向
随时间推移，图像延
续，但已有形状不变
一个人在一段时间内活
动的“录像”
(2)传播方向、振动方向的互判
随时间推移，图像沿传播方向平移
一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像综合问题
【典例1】
(2022·江苏泰州期末)如图甲为一列简谐横波在t＝0.2 s
时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图
的波形图，图乙是该波中某振动质点的位移随时间变化的图像(两图
用同一时刻作为起点)。
A
(1)图乙可能是图甲中质点_______(填正确选项即可)的振动图像；若该波沿x轴
C
正方向传播，则图乙可能是图甲中质点_______(填正确选项即可)的振动图像。
A．x＝0处的质点
B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动
情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性。
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反
之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
sin
＝6
cm，x＝18 m处的质点通过的路程为s2＝2A－A sin
+
＝ − cm，C错误；由题图可知，x＝12 m处的质点在平衡位
置向上振动时，x＝18 m处的质点在波峰，D错误。]
b和质点c都处于平衡位置且相距半个波长，二者速度方向总是相反
的，故B正确；由题图甲可知t＝0时质点b振动方向向下，质点c振动
方向向上，题图乙中t＝0时质点振动方向向上，故题图乙不能表示
质点b的振动，但可以表示质点c的振动，故C错误，D正确。]
2．一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图所示，其中图甲是t＝1 s时
正确，A错误；根据以上分析可知波速不可能为10 m/s，故C错误；根据波与质
点振动的关系知，在任何一个周期内振动质点的路程都为8 m，故D正确。]
规律方法
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没
有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般