高中数学中的格点问题-文档资料

高中数学中的格点问题
随着计算机技术的发展，高考中出现了很多以计算机为背景的试题，其中格点（整点）问题成为一个热点.所谓格点（或整点）就是在坐标平面上横、纵坐标都是整数的点，这类试题注意以计数为主，借助坐标概念，格点问题解答都很有特色.
例1 （2011年北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R），记N（t）为ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）.
A{9，10，11} B{9，10，12}
C{9，11，12}D{10，11，12}
答案 C
例2 （2011年安徽）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b 都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线.
答案①③⑤
例3 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么满足不等式：(|x|-1)2+(|y|-1)212x,x+y=60的整数解的个数.
线段OA有21个整点，线段AB上有21个整点，线段OB上
有61个整点.因此所求三角形上有21+21+61-3=100（个）整点.
注释对于问题（1），△OAB及其内部区域有
(61+1)×212=31×21=651（个）整点.
（2）考虑下右图，△OCD及其内部区域有(61+1)×212=31×21（个）整点.
因此所求整数解的个数为
612+612-2×31×21+1=61×31-42×31+1=590.
例5 xy平面上，顶点的坐标（x,y）满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x,y是整数的三角形有多少个？
解由题设知，在xy平面上有16个整点，共有C316=560（个）三点组，要从中减去那些三点共线的.
平面上有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8条线上含有8C34=32（个）三点共线的三点组（如图（1））.
类似的，在斜率为±1的线上三点共线的三点组有
2C34+4C33=8+4=12（个）（如图（2））.
此外，没有其他的三点共线的三点组，所以，组成的三角形
的个数是560-32-12=516（个）.
例6 （2011年江苏）设整数n≥4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.
（1）记An为满足a-b=3的点P的个数，求An；
（2）记Bn为满足13(a-b)是整数的点P的个数，求Bn.
解析（1）因为满足a-b=3，a,b∈{1,2,3,…,n},a>b的每一组解构成一个点P,所以An=n-3.
（2）设13(a-b)=k∈N*，则a-b=3k，0。