江西省赣州市十四县(市)2018届高三期中联考理数试卷含答案

2017-2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考
高三年级数学(理科）试卷
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.
{}
2
|lg(34)A x y x x ==+-，
{
}2
1|2x
B y y -==,则B A =（
）
A ．（0，2]
B ．（1，2］
C ．∅
D ．（﹣4,0） 2。

对于实数a ，b ，c,下列命题正确的是( ）
A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2
B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2
C ．若a ＜b ＜0，则11a b <
D ．若a ＜b ＜0,则b a
a b > 3。

下列四种说法正确的是（ ）
①函数()f x 的定义域是R ，则“,(1)()x R f x f x ∀∈+>”是“函数()f x 为增函数”的充要条件;
②命题“1,03x
x R ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭”的否定是“1,0
3x
x R ⎛⎫
∃∈< ⎪⎝⎭”；
③命题“若x=2，则0232
=+-x x
"的逆否命题是真命题；
④p：在△ABC 中，若cos2A=cos2B ，则A=B ；q ：y=sinx 在第一象限是增函数，则q p ∧为真命题．
A.①②③④ B。

②③ C。

③④ D 。

③
4。

设3
.02.03.03.0,3.0,2.0===z y x ,则z y x ,,的大小关系为(
)
A 。

x z y <<
B 。

y x z << C. y z x << D 。

z y x <<
5。

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺，今一月织九匹三丈(1
匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快，从第二天起,每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈,
问每天增加多少尺布？”若一个月按31天
算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n
a ，则
30
284231
2931a a a a a a a a ++++++++ 的值为（ ）
A 。

1615
B.
16
5
C.
16
29
D 。

16
31
6. 若变量,x y 满足
1ln
0x y -=，则y 关于x 的函数图像大致是(
）
7。

方程
x
a x +=-2)2(log 2
1有解，则a 的最小值为( ）
A ．2
B ．23
C ．1
D ．21
8.已知函数
()()sin (0,0,0)
f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函
数()f x '的部分图像如图所示,则函数()f x 的解析式为
( )
A ．13()4sin 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．1
()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．1()4sin 3
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D 。

2
()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
9。

设a R ∈，若函数ln y x a x =+在区间1,e e ⎛⎫ ⎪
⎝⎭上有极值点，则a 的取值范围
为（ ）
A ．1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B .
()
1,,e e ⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭
C ．
1,e e ⎛
⎫-- ⎪
⎝⎭ D ．
()
1,,e e ⎛⎫
-∞--+∞ ⎪⎝⎭
10.已知函数23
log (1)1,10()32,0x x f x x x x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围
是（ ）
A ．（0,1] B。

⎡⎣ C ．[1,2］ D。

⎤⎦
11. 若函数ln ,0
()ln(),0x x x f x x x x -->⎧=⎨--+<⎩
，则关于m 的不等式11ln 22f m ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
的解集为
（ ）
A ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()0,2
C ．1
,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1
1,00,22⎛⎫
⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时,()(1)x
f x e x =+,给出下列命题：
①当0x >时，()(1)x
f x e x -=--； ②函数()f x 有2个零点;
③()0f x <的解集为()(),10,1-∞-， ④1
2
,x x R ∀∈，都有12
()()2f x f x -<． 其中正确命题的个数是( ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13。

已知向量b a ,夹角为45°，且｜a |＝1，｜b a -2｜＝10
，则|b ｜
＝ ．
14.()1
2
1
x dx -=⎰ ．
15。

在ABC ∆中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边， c b a ,,成等比数列，33,cos 4a c B +==
,
则BC AB •＝ ． 16。

已知定义在R 上的函数
()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0
,1ln 0,2x x x x x x f ，若函数()()()1+-=x a x f x g 恰有
2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题:(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17。

（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n
a 满足6
,2,3
2
1
+a
a a 成等
差数列，且51249a a a =．
(Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式； （Ⅱ)设()n
n n
a a
b ⋅+=1log
3
,求数列{}n
b 的前n 项和n
T 。

18。

(本小题满分12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a,b,c,已知2
A π
≠
，且3sinAcosB+1
2
bsin2A=3sinC ．
（I)求a 的值； （Ⅱ)若A=
23
π
,求△ABC 周长的最大值．
19。

（本小题满分12分）已知命题p ：函数
32
()f x x ax x =++在R 上是增函数；
命题q ：函数
()x g x e x a =-+在区间[)0,+∞上没有零点．
(1）如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．
20. （本小题满分12分)已知向量)1,sin 3(x m ω=,设函数b n m x f +⋅=)(．
（1）若函数
()f x 的图像关于直线6
x π
=
对称，且[0,3]ω∈时，求函数()f x 的
单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当7[0,]12
x π
∈时，函数()f x 有且只有一个零点,求实数b 的取值范围．
21. (本小题满分12分）某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品,现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m,这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图,ABCD （AB ＞AD ）为长方形的材料，沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ，设△ADP 的面积为2
S ，折叠后重合部分△ACP 的面积为1
S ．
（Ⅰ）设AB x =m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围; （Ⅱ）求面积2
S 最大时，应怎样设计材料的长和宽?
（Ⅲ）求面积()12
2S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽?
22。

（本小题满分12分）已知函数
1
()ln f x x x =-
，()g x ax b =+．
（1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1
()ln f x x x =-图像的切线，求a b +的最小值; （3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，求证：
2
122x x e >
（注:e 为自然对数的底数， 2.7,ln 20.7e ≈≈)．
2017—2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考
高三年级数学（理科）试卷答案
1—12.BBDA ABCB CBDC
13。

32 14.232
π+ 15. 32-
16.
1
-110
a a a e <<<=或或
17.（Ⅰ）设正项等比数列{}n
a 的公比为()0>q q
由3
99923
2
4
2
23
512
4
±=⇒==⇒==q a a q a a a a ,因为0>q ,所以3=q .。

(2)
分
又因为6
,2,3
2
1
+a
a a 成等差数列,所以
()3
012690461111231=⇒=-++⇒=-++a a a a a a a 。

…………3分 所以数列{}n
a 的通项公式为n
n
a 3=.…………4分 （Ⅱ)依题意得()n
n
n b 312⋅+=，则 ()n
n
n T 3
12373533321⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=…………
()()1
4323
123123735333+⋅++⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n
n n T ………….…………6分
由—得
()()
2
321333323122-+⋅⋅⋅++⋅-⋅+=+n n n n T ()1
21
21
323313323
12+++⋅=---⋅-⋅+=n n n n n (9)
分
所以数列{}n b 的前n 项和13+⋅=n n n T .…………10分
18。

解：(I ）∵3sinAcosB+1
2bsin2A=3sinC,
∴3sinAcosB+1
2bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB ，。

(3)
分
∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；.…………5分
（Ⅱ）由正弦定理可得32sin sin sin 3
b c
B C π==
，∴b=3，
c=23………7分
∴C △ABC =3+3sinB+sinC ）=3+3（3π
﹣C)+sinC ］=3+3（3π
+C ）…8分
∵0＜C ＜3π，∴3π＜3π
+C ＜23
π3sin(3π
+C ）≤1，。

(10)
分
∴△ABC 周长的最大值为
3+。

…………12分
19.解:（1)如果命题p 为真命题,
∵函数f （x ）=x 3+ax 2+x 在R 上是增函数,∴f′(x）=3x 2+2ax+1≥0对x∈(﹣∞,+∞）恒成立
∴2
4120a a ⎡∆=-≤⇒∈⎣….…………5分
(2）g′（x ）=e x ﹣1≥0对任意的x∈[0,+∞）恒成立,∴g（x)在区间［0，+∞）递增
命题q 为真命题g （0）=a+1＞0⇒a ＞﹣1….…………7分 由命题“p∨q"为真命题，“p∧q”为假命题知p ，q 一真一假，。

…………8分
若p 真q
假，则11a a a ⎧≤≤⎪⎡⎤∈-⎨⎣⎦≤-⎪⎩
….…………10分 若p 假q
真，则)
1
a a a a ⎧<>⎪∈+∞⎨
>-⎪⎩….…………11分
综上所述，)
1a ⎡⎤∈-⋃+∞⎣⎦.…………12分
20.解： （1）向量)1,sin 3(x m ω=，
)1cos ,(cos 2
+=x x n ωω 函数
b
x x x x b n m x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=++⋅=+⋅=2362sin 1cos cos sin 3)(2πωωωω
（1)∵函数
f （x ）图象关于直线6
x π
=
对称, []2+
=0,3=166
2
k π
π
π
ω
πωω∴+
∈∴且(k∈Z）,.…………3分
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
由解得： 3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
（k∈Z）， 所以函数f （x)的单调增区间为36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
，（k∈Z）．。

…………5分
（2）由(1）知（2）由（1）知()3sin 262
f x x b πω⎛
⎫=+++ ⎪⎝⎭，
740,2,12663x x ππππ⎡⎤
⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∴2,,0,6626x x ππππ⎡⎤⎡⎤+∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即函数()f x 单调递增；.…………7分 472623612x x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，，即函数()f x 单调递减. 。

…………8分
又()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当700312
6f f f ππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>≥= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
或时函数f （x ）有且只有一个
零点． 即4353sin sin 10,3262b b ππ≤--<++=或。

…………10分
b ⎛∴∈-⋃ ⎝⎦
｛52-｝.…………12分
21.解：（Ⅰ）由题意,AB x =,2-BC x =，2,12x x x >-∴<<。

…………1分 设=DP y ,则PC x y =-，由△ADP≌△CB’P，故PA=PC=x ﹣y ， 由PA 2
=AD 2
+DP 2
，得()()2
2
22x y x y -=-+即:121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭。

…………3分
（Ⅱ）记△ADP
的面积为
2S ，则()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛
⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭…………5分
当且仅当()
1,2x =时，2
S 取得最大值．
，宽为(2m 时,2
S 最大．….…………7分
(Ⅲ)()()2121114+2=
2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 于是令()3
1222
142+220,2x S S x x x x -+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝
⎭分
∴关于x 的函数12+2S S 在(上递增，在)2
上递减,
∴当
x =12+2S S
取得最大值．
,宽为(
m 时，12+2S S 最大．.…………12分
22.（1）解：h(x)=f （x ）﹣g （x)=1ln x ax b x ---，则211()h x a
x x '=+-，
∵h（x ）=f （x ）﹣g （x)在（0，+∞)上单调递增， ∴对∀x ＞0，都有2
11
()0h x a x x
'=+-≥,即对∀x ＞0，都有
21
1a x x ≤
+，。

…………2分
∵2
11
0x x +>，∴0a ≤，
故实数a 的取值范围是(],0-∞；。

…………3分
(2）解:设切点为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线方程为()00200
0111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
即00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，亦即020
00112
ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，
令010t x =>,由题意得2
20011a t t x x =+=+，00
2ln 1ln 21b x t t x =--=--- ,.……5分 令2
()ln 1a b t t t
t ϕ+==-+--，则()()2111
()21t t t t t t
ϕ+-'=-+-=,.…………6分
当()0,1t ∈时，()()0,t t ϕϕ'<在()0,1上单调递减；当()1,t ∈+∞时，()()0,t t ϕϕ'>在
()1,+∞上单调递增， ∴()()11a b t ϕϕ+=≥=-,
故a b +的最小值为﹣1；。

…………7分 （3）证明：由题意知1111ln x ax x -=，222
1
ln x ax x -=， 两式相加得()12
121212
ln x x x x a x x x x +-
=+ 两式相减得()212
21112ln x x x a x x x x x --=-即212112
ln 1x x a x x x x +=-
∴()21211212122112
ln
1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪
+ ⎪-=++- ⎪ ⎪⎝⎭
，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x
⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭，. 9分
不妨令120x x <<,记211x t x =>，
令()21()ln (1)1t F t t t t -=->+，则()2
2
1()0(1)
t F t t t -'=>+， ∴()21()ln 1t F t t t -=-+在()1,+∞上单调递增，则()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+,
∴()21ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴121221212211
2()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭,
又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-
<-==
∴2>,
即1>，。

…………10分 令2()ln G x x x =-，则0x >时，2
12
()0G x x x '=+>,∴()G x 在()0,+∞上单调递增．
又1ln210.851
2e
=+-≈<，
∴1
G=>>
>，即2
12
2
x x e
>．.…………12分。