麻阳苗族自治县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

麻阳苗族自治县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
一、选择题
1． 己知x 0
=是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极大值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ） A
．（
，
） B
．（
，
） C
．（
，π）
D
．（
，π）
2．
设实数，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
3． 定义集合运算：A*B={z|z=xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为（ ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．6
4． 已知角α的终边上有一点P （1，3
），则
的值为（ ）
A
．﹣ B
．﹣ C
．﹣ D ．﹣4
5
100“光盘”行动，得到所示联表：
2.706
3.841 6.635
附：K 2=
，则下列结论正确的是（ ）
A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
6． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 7． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2，则公比q=（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8． 已知数列，则5是这个数列的（ ）
A ．第12项
B ．第13项
C ．第14项
D ．第25项
9． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
10．已知f （x ）为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f （x+6）=f （x ）+f （3），x 1，x 2∈[0，3]，x 1≠x 2时，有
成立，下列结论中错误的是（ ）
A ．f （3）=0
B ．直线x=﹣6是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴
C ．函数y=f （x ）在[﹣9，9]上有四个零点
D ．函数y=f （x ）在[﹣9，﹣6]上为增函数
11．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40
C ．60
D ．20
12．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =6
A π
∠=
，则
B ∠=（ ）111]
A ．
4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3
π
二、填空题
13．已知f （x ）=
，则f （﹣）+f （）等于 ．
14．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．
15．函数
的单调递增区间是 ．
16．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ．
17．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x
x e x f e （其
中为自然对数的底数）的解集为 .
18．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
三、解答题
19．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
20．双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
21．已知，数列{a n}的首项
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＞2012的最小正整数n．
22．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．
23．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．
已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
24．选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．
25．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．
26．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
麻阳苗族自治县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，
∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，
不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）
令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，
∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，
结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），
故选：B．
【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．
2．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．
∴a＜c＜b．
故选：A．
3．【答案】D
【解析】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，
则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，
又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选D．
【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．
4．【答案】A
【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上，
∴tanα=3，
∴====﹣．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．
则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．
代入K2=，
得k2的观测值k=．
因为2.706＜3.030＜3.841．
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
即在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
故选C．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题．
6．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
7．【答案】B
【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，
两式相减得
3a3=a4﹣a3，
a4=4a3，
∴公比q=4．
故选：B．
8．【答案】B
【解析】
由题知，通项公式为，令得，故选B
答案：B
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面PQMN ，
所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD 所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1 考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.
10．【答案】D
【解析】解：对于A ：∵y=f （x ）为R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，均有f （x+6）=f （x ）+f （3）， ∴令x=﹣3得：f （6﹣3）=f （﹣3）+f （3）=2f （3）， ∴f （3）=0，故A 正确；
对于B ：∵函数y=f （x ）是以6为周期的偶函数， ∴f （﹣6+x ）=f （x ），f （﹣6﹣x ）=f （x ）， ∴f （﹣6+x ）=f （﹣6﹣x ），
∴y=f （x ）图象关于x=﹣6对称，即B 正确；
对于C ：∵y=f （x ）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f （3）=f （﹣3）=0， ∴方程f （x ）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f （x ）是以6为周期的函数， ∴方程f （x ）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9）， ∴方程f （x ）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C 正确；
对于D ：∵当x 1，x 2∈[0，3]且x 1≠x 2时，有
，
∴y=f （x ）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f （x ）是偶函数，
∴y=f （x ）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f （x ）是以6为周期的函数， ∴y=f （x ）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D 错误． 综上所述，命题中正确的有A 、B 、C ． 故选：D ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．
11．【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
∴
三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
12．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
()
sin0,,
4
sin
6
B B B
π
π
=∴=∈∴=或
3
4
π
，故选B.
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.
二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：由分段函数可知f
（）=2
×
=．
f
（﹣）=f
（﹣+1）=f
（﹣）=f
（﹣）=f
（）=2
×
=，
∴f
（）+f
（﹣）
=
+．
故答案为：4．
14．【答案】
．
【解析】解：∵tanβ
=，α，β均为锐角，
∴tan（α﹣β）
=
=
=，解得：tanα=1，
∴α
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．15．【答案】[2，3）．
【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则
y=，
本题即求函数t在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），
故答案为：[2，3）．
16．【答案】 2
【解析】解：∵x 2+y 2
=4的圆心O （0，0），半径r=2， ∴点（0，1）到圆心O （0，0）的距离d=1， ∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min =2=2
．
故答案为：2
．
17．【答案】),0(+∞ 【
解
析
】
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不
等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以x
e ,即
()()0>-'+x x x e x f e x f e ,因此构造函数()()x x e x f e x g -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可
以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.1 18．【答案】 甲 ．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是
= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵
＜
，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.
20．【答案】
【解析】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0）
由椭圆+=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2．
又y=x为双曲线C的一条渐近线，
∴=
解得a=1，b=，
∴双曲线C的方程为．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ），
，
．
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．…
，
则数列{a n}的通项公式为．…
（Ⅱ）．…①
．…②
②﹣①并化简得．…
易见S n为n的增函数，S n＞2012，
即（4n﹣7）•2n+1＞1998．
满足此式的最小正整数n=6．…
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1；
当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0，
由1＞可得＜x＜1；
当a=1时，（x﹣1）2＞0，即有x∈R，x≠1；
当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜；
当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞．
综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}；
a＜0时，解集为{x|＜x＜1}；
a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；
a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}；
0＜a ＜1时，解集为{x|x ＜1或x
＞}．
（2）对任意的a ∈[﹣1，1]，不等式f （x ）＞0恒成立，
即为ax 2
﹣（a+1）x+1＞0， 即a （x 2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立．
设g （a ）=a （x 2﹣1）﹣x+1，a ∈[﹣1，1]．
则g （﹣1）＞0，且g （1）＞0，
即﹣（x 2﹣1）﹣x+1＞0，且（x 2﹣1）﹣x+1＞0，
即（x ﹣1）（x+2）＜0，且x （x ﹣1）＞0，
解得﹣2＜x ＜1，且x ＞1或x ＜0．
可得﹣2＜x ＜0．
故x 的取值范围是（﹣2，0）．
23．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|
＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，
－x ＋2a 2＋1，－1＜x ＜a 2，3x －2a 2＋1，x ≥a 2，
当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2，
－1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1），
即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2，
当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，
所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±2.
（2）当a ＝±2时，由（1）知f （x ）＝
⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，
由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积
最大，此时面积为12
×|3－（－1）|×|6－3|＝
6.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，，
∴a=2；
（Ⅱ）记，
∴h（x）=
∴|h（x）|≤1
∵恒成立，
∴k≥1．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．
25．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，…1分
c=e•a=×=，
故b===，…4分
所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分
（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则
x1+x2=﹣，x1x2=；…8分
∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；
∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2
=m2+2m﹣﹣，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；
∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．
26．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1， ∴a n+1+1=2（a n +1）， 又∵a 1=1，
∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列， ∴a n +1=2n ，
∴a n =﹣1+2n ； 6分
（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1，
∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1， 2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ， 错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， 于是T n =1+（n ﹣1）•2n ． 则所求和为12n
n 6分。