有限单元法-20130524

对该内积进行分部积分形成与其对应的另一个
内积
u, L
*
(v) ，如果 L 与 L* 在形式上相
同，则称算子 L( ) 为自共轭算子。
自共轭算子
如果一个线性算子形成一个方程组，
* L (u), v u, L (v) s F (v)G(u) F (u)G (v) ds *
L(u) 与 L*(v)在形式上完全相同
函数F(v), G(u), F(u), G*(v) 为是分部积分过程中
得到的对 u 和 v 的导数项。
函数 F(u) : 本征边界条件 (Essential boundary condition)
函数 G(u) : 自然边界条件 (Natural boundary condition)
连续函数空间
所有定义在区间[a, b] 上的连续函数集 合，按函数加法和数与函数乘法构成数域
R 上的线性空间，此线性空间称为连续函
数空间，记作 C [a, b]。 连续函数空间满足线性空间的八条计
算规律。
内积 (Inner Product)
连续函数空间C [a, b]中两个函数的内积可
定义为
1 , 2
du * dv 本征边界条件: F (v) v F (u ) u 自然边界条件: G (u ) G (v ) dx dx
例题解答
2. 判断算子的正定性
1 du du L (u), u 0 u 2 dx 0 ud dx dx 1 2
du du du du u dx dx 0 0 dx dx 0 0 dx dx
1 0 为空间R中的零元素
范数 (Normal Number)
连续函数空间中，范数可定义为内积的
平方根。

1 , 2
线性独立的函数集
如果线性空间中的一组函数 1 , 2
组成下面的等式
n ,
11 22 nn 0
仅当上式中所有的系数 i 都等于零时等式才 成立，则称 1 , 2 n 为线性独立的函数


b
a
12 dx
内积的性质
1、对称性 2、可加性 3、齐次性 4、非负性
1 , 2 2 , 1 1 , 2 3 1, 2 2 , 3 1 , 2 1 , 2 1 , 1 0 当且仅当1 0, 1 , 1 0
用伽辽金法求解一维扩散方程
C Se :Se S aw( x) x nds Se : Se S 0, 表示该单元边界是与整个计算区域给定梯度条件的边界 不重合的边界 考虑两个相邻单元 i 和 i 1, 在公共节点Sei ,ei 1 , 边界条件为 C x
齐次边界条件
三种边界条件形式
u s f1 u f2 n s u k hu f3 n s
当 fi (i=1,2,3) = 0 时边界条件称为齐次边界条件。
正定的自共轭算子
如果函数 u 满足齐次边界条件，且函数 u
的自共轭算子满足
L (u), u 0
C 2C C a 2 d w( x) nds 0 e w( x) S S e x x t C 2C C w ( x ) d w ( x ) a d w ( x ) nds 0 2 e S S e e t x x C C w( x) C C w ( x ) d aw ( x ) n ds a d w ( x ) nds 0 e S S S e e e t x x x x 令 a C w( x) C C e w( x) t d e a x x d Se :Se S aw( x) x nds 0
另外一个函数 p ， L (u) p 则称该运算过程 为算子。 如果算子 L ( ) 满足条件
L (1 2 ) L (1 ) L (2 )
则称该算子为线性算子。
自共轭算子
如果一个线性算子形成一个方程组，
L (u) 0
该线性方程与另一个函数组成内积 L (u ), v ,
将 ũ 代入原方程
L (u) p R
其中R 称为剩余 (residual)。
取某权函数
构成如下积分：
w( x)
，将剩余R 和边界条件一起
N L ii p w( x)d l (u )w( x)dS S i 1
λ是 拉格朗日乘数，Ω是计算区域，S是计算区域的
边界。
加权剩余法 (Weighted Residual Method)
上式中 l (u ) 只包括边界条件的梯度项 （或称自然边界条件）。如果权函数是取自
某个闭集的一组线性独立的函数，则剩余与
每一个权函数正交，上述积分恒等于零。
伽辽金法 (Galerkin Method)
线性空间 (Linear Space)
设 α、 β、 γ V，λ、μ R (1) α β β α (2) (α β ) γ α ( β γ ) (3) 0 V，对α V，都有α 0 α (4) α V，β V，都有α β 0 (5) (6) (7) (8) 1α α ( α ) ( )α ( )α α α (α β ) α β
表示该单元边界是与整个计算区域给定梯度条件的边界不重合的边界考虑两个相邻单元在公共节点边界条件为eieidsaw单元内积分定单元内污染物浓度按线性分布假定单元内污染物浓度按线性分布用伽辽金法求解一维扩散方程1010单元矩阵单元矩阵用伽辽金法求解一维扩散方程整体矩阵整体矩阵有限单元法的基本步骤由上述可见在有限单元法中单元矩阵由结点的未知函数值组成整体矩阵由单元矩阵整合而成
dv du dv du dv v u u 2 dx v u u , L * (v) dx dx 0 0 dx dx dx 0
1
1
2
1
d 2v L (v ) 2 dx
*
L (u ) L * (v)
L (u )为自共轭算子
例题解答
3 /10 1/ 20 1 1/12 71 解得: 1 1/ 72 11/105 1/ 30 369 2 Galerkin 法求得的近似解为: 71 7 2 u 11 2 2 x(1 x) x (1 x) 369 41 sin x 该方程的精确解为: u0 - x 1为弧度 sin1 近似解与精确解比较如下: x 近似解 精确解 0.069747 0.25 0.044080 0.044014 0.50 0.069444 0.75 0.060086 0.060056 7 2 41
1
构造二级近似解 u 11 22 1 x(1 x) 2 x 2 (1 x) 2 x 3 ( 2 1 ) x 2 1 x R L (u ) p 6 2 x 2( 2 1 ) 2 x3 ( 2 1 ) x 2 1 x x x (2 x 2 x)1 (6 x 2 x3 x 2 ) 2 1 R dx 0 1 Rx(1 x)dx 0 0 1 0 1 1 R2 dx 0 Rx 2 (1 x)dx 0 0 0
如果权函数w( x)取为基函数
i ，则该加
权剩余法称为伽辽金法(Galerkin Method) 。
N L ii p w( x)d l (u ) w( x)dS 0 S i 1
例题
用伽辽金法求近似解
d u L (u ) 2 u x 0 0 x 1 dx 边界条件 u0 x0 u0 x 1
则称该算子为正定的自共轭算子。
例题
判断以下算子是否为正定的自共轭算子
d u L (u ) 2 dx 边界条件
2
0 x 1 u0 x0 du 0 x 1 dx
例题解答
解: 1. 判断算子的自共轭性
1 d 2u du L (u), v 0 v 2 dx 0 vd dx dx 1 1 du dv 1 dv du du v dx v d (u ) dx 0 0 dx dx dx 0 0 dx 1 1
用伽辽金法求解一维扩散方程
将计算区域分成四个小线段（单元）， 分别考虑每个单元内的流动性质，然后将 每个单元整合成整体并满足连续性条件和 整体的边界条件。
用伽辽金法求解一维扩散方程
构造单元内Galerkin积分:

e
w( x)L (C )d
Se S
w( x)l (C )ds 0
第二部分 有限单元法 ( Finite Element Method )
概述
有限差分法和有限单元法是两种常用的数 值离散方法。 变分法和加权剩余法是有限单元法离散的 量两种主要方法。 有限单元法最早应用于固体力学问题（变 分法），后来拓展到流体力学问题（加权 剩余法）。 本课程只介绍加权剩余法中的伽辽金法 (Galerkin Method) 。
2
例题解答
解: 先构造 Galerkin 积分式 d 2u u x w( x)dx 0 2 L (u) w( x)d S l (u)dS 0 dx 选定一组基函数: 1 x(1 x), 2 x 2 (1 x), 3 x3 (1 x Set)
如果存在一个数 N 和一组系数
某一个连续可微函数 u，当
i ，对于
N 时
u ii 0
i 1
N
则称线性独立的函数集
i 为闭集。其中 i 为
基函数， i 为系数。
线性算子 (Linear Operator)
如果一个运算过程施加于一个函数 u 得到
u V
边界条件
l (u ) u n + ku
u0 是方程的精确解，如果用一组函数
N
i
组成一个
近似解 ũ 逼近精确解 u0
u i i ，
i 1
这里
i
是待定的系数， i 是取自某个闭集的线性
独立的函数（
i 为基函数。）。
加权剩余法 (Weighted Residual Method)
第五章
有限单元法
第一节 有限单元法的基本步骤
以伽辽金法求解 一维扩散方程的污染物浓度 分布问题为例，讲解有限单元法的基本步骤。
C 2C L (C ) a 2 0 t x
边界条件：
0 x 1
C (0, t ) C0 C 0 l (C ) x (1,t )
1 1
1
2
d 2u L (u ) 2 为非正定的自共轭算子 dx
第二节 伽辽金法的基本思想
加权剩余法(Weighted Residual Method)
伽辽金法(Galerkin Method)
加权剩余法 (Weighted Residual Method)
设有一线性方程
L (u ) p
第四章 有限单元法的预备知识
第一节 线性空间及线性算子
线性空间的基本概念 • 线性空间 • 连续函数空间 • 内积及其性质 • 范数 • 线性独立的函数集 • 闭集 线性算子的基本概念 • 线性算子 • 自共轭算子 • 正定的自共轭算子
线性空间 (Linear Space)
设V 是一个非空集合，R 为实数域．如果对于 任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V 与之对应，称为α与β的和，记作：γ=α+β 若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有唯一的 一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作 δ=λα 如果上述定义的两种运算满足以下八条运算 规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线 性空间）。