学人教高中数学选修精选范文新编 模块综合测评

模块综合测评
(时间150分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()
A．－1B．1
C．－2 D．2
【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.
【答案】 B
2．已知复数z＝
1
1＋i
，则z·i在复平面内对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】∵z＝
1
1＋i
＝
1－i
2，∴z＝
1
2＋
1
2i，
∴z·i＝－1
2＋
1
2i.
【答案】 B
3．观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()
A．a＋b＝22 B．a＋b＝21
C．ab＝20 D．ab＝21
【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.
【答案】 B
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝() 【】A．－e B．－1
C．1 D．e
【解析】 ∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， ∴f ′(1)＝－1. 【答案】 B
5．由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A ．②①③
B ．③②①
C ．①②③
D ．③①②
【解析】 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．
【答案】 D
6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则( )
图1
A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点
B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点
【解析】 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值．由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点．
【答案】 A
7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.9
4e 2
B ．2e 2
C ．e 2
D.e 22
【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2
)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2
＝e 22.
【答案】 D
8．已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A ．a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k D ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2
【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项．故选D. 【答案】 D
9．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2
D ．a ≤1
3
【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A
10．设a ＝⎠⎛01
x －
1
3d x ，b ＝1－⎠⎛01x 1
2d x ，c ＝⎠⎛0
1 x 3d x 则a ，b ，c 的大小关系( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．b >c >a
【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01
x －
1
3d x ＝32x 2
3| 10＝3
2； b ＝1－⎠⎛0
1x 1
2d x ＝1－23x 32| 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；
c ＝⎠⎛0
1x 3
d x ＝x 44| 10＝1
4.综上，a >b >c . 【答案】 A
11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)
＝1＋1
2＋
1
3＋…＋
1
2n－1
增加的项数是()
A．1 B．2k＋1 C．2k－1 D．2k
【解析】∵f(k)＝1＋1
2＋
1
3＋……＋
1
2k－1
，
又f(k＋1)＝1＋1
2＋
1
3＋…＋
1
2k－1
＋
1
2k＋
1
2k＋1
＋…＋
1
2k＋1－1
.
从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．【答案】 D
12．已知函数f(x)＝x3－ln(x2＋1－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则f?a?＋f?b?
a＋b
的值为()
A．恒正B．恒等于0
C．恒负D．不确定
【解析】可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(x2＋1－x)＋(－x)3－ln(x2＋1＋x)＝0，所以函数为奇函数，同时，
f′(x)＝3x2＋
1
x2＋1
>0，f(x)是递增函数，
f?a?＋f?b?
a＋b
＝
f?a?－f?－b?
a－?－b?
，所以
f?a?＋f?b?
a＋b
>0，
所以选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．复数3＋i
i2(i为虚数单位)的实部等于________．
【解析】∵3＋i
i2＝－3－i，∴其实部为－3.
【答案】－3
14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
15．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1
2围成的封闭图形的面积为__________. 【】 【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π
6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎜⎛π6
5π6∫⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12d x ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－cos x －12x
＝3－π
3.
【答案】
3－π3
16．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ . 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝9，
当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3
时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝9
时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 【答案】 11
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝?1＋i ?2＋3?1－i ?2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b
的值．
【解】 z ＝?1＋i ?2＋3?1－i ?2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i
2＋i
＝?3－i ??2－i ?5＝5－5i
5＝1－i.
因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－?2＋a ?＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝4.
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；
(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.
令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.
当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－5
4，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2
＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2－52x ＋1
＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－54，＋∞.
19．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即
S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……
S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……
若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由． 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，
由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，
即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，
S n ＋1S n ＝2n a 1
2n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *
，{S n }成等比数列； 当a 1＝3
2d 时，
S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1
a 2n －1＋2n －1?2n －1－1?2d
＝2n －1[a 1＋(2n －1
－1)d ]＋2n －1?2n －1－1?2
d
＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1
＋a 1－32d ＝32
d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n
32d ·4n －1
＝4(常数)，n ∈N *
，{S n }成等比数列． 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列．
20．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，
＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋9
2x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围. 【】
【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.
(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋9
2x 2－b ，
则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根． 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，
即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2,2]． 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2,2]．
21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋1a n .
(1)求a 1，a 2，a 3；
(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n >0，所以a 1＝1.
由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，
由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a 3＋1a 3，
得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －
n －1(n ∈N *)．
证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －
k －1成立，
则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1 ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫
a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝
⎛⎭
⎪⎫k －
k －1＋
1k －
k －1 ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫
a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝
k ＋1－k ，
则n ＝k ＋1时，命题成立． 则①②知，n ∈N *，a n ＝n －
n －1.
22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e
x －1
x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线
方程为y ＝e(x －1)＋2.
(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.
【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b
x e x －1.
由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2
x e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2
e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，＋∞时，g ′(x )>0.
故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小
值为
g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2
e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.
故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1
e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即
f (x )>1.。