安庆市第三次高考模拟试题.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2015年安庆市第三次高考模拟试题
数学试题（文）
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
(1)设i 是虚数单位，若复数)(4,2321R m mi z i z ∈-=+=，且21z z ⋅为实数，则m 的值为（ ）
A ．6
B ．6-
C ．38
D ．3
8- (2) 抛物线)0(2
<=a ax y 的准线方程是（ ）
A. a y 21-
= B. a y 41-= C. a y 21= D. a y 41
= (3) 函数x x x f cos 4
1)(2
+=的图象大致是（ ）
(4)设{}n a 是等比数列，则对任何*
∈N n ，都有
1
3221111+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n a a a a a a = ( ) A.
n n a a )(11⋅ B. n
n a a )(1
11+⋅ C.
11)(1+⋅n n a a D. 1
11)(1
++⋅n n a a
(5) 阅读程序框图，若输入4,6m n ==，则输出,a i 分别是（ ）
A ．12,3a i ==
B ．12,4a i ==
C ．3,8==i a
D ．4,24==i a
(6) 有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球，若小球
落在阴影部分,则可中奖.小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘 是( )
(7) y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥-≥-+.0,0,012k x y x y x 若ky x z +=的最小值为2-，则z 的最大值为（ ）
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
(8) 在空间四边形ABCD 中，.,CD CB AD AB == H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点 ，
则下列命题中正确的是（ ）
A.H G F E ,,,四点不共面
B.EFGH 是梯形
C. FH EG ⊥
D. EFGH 是矩形 (9) “0≤a ”是“函数)1()(+=ax x x f 在区间)0,(-∞内单调递减”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(10) 若定义域为D 的函数)(x f 满足：① )(x f 在D 内是单调函数；② 存在D b a ⊆],[,使得)
(x f 在],[b a 上的值域为]2
,2[b
a ,则称函数)(x f 为“半值函数”.已知函
)1,0()(log )(≠>+=c c t c x h x c 是“半值函数”，则实数t 的取值范围为( )
A ．),0(∞+
B ．)41,
(-∞ C. ),41(∞+ D. )4
1,0( 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. (11) 如图是不锈钢保温饭盒的三视图，根据图中数据（单
位：cm ），求得该饭盒的表面积为 .2
cm
(12) 调查某移动公司的三名推销员，其工作年限与年推销金
额数据如上表所示.
由表中数据算出线性回归方程ˆy
bx a =+中的7
26
b =. 若该公司第四名推销员的工作年限为 6年，则估计他的年推销金额为 万元 (13) 已知ABC ∆的内角为,,A B C ，,sin 3sin 3sin 2C B A ==
则B cos 的值是 .
(14) 已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232
xf x x f +=，则()=5'f .
(15) 在ABC ∆中，=AB →→+b k a ,=AC →→+b a k , 其中,R k ∈且a =1,→
→=b a b 与,2的夹角为0
120.
对于以下结论：①3=+b a ；②若点D 是边BC 的中点，则=AD )(2
1→
→++b a k ；③若A ∠为
直角，则2215±=
k ；④若A ∠为钝角，则2215-<k 且1-≠k 或k 2
21
5+> ；⑤若A ∠为锐角，则
2
215-＜k ＜2215+.
其中所有正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）． 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡
上的指定区域.
推销员编号
1
2 3 工作年限x （年） 3 5 10 年推销金额y （万元）
2
3
4
(16)（本小题满分12分）
已知函数()()=23sin cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若将()f x 的图像向左平移
4
π个单位，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在区间[0,]
2π
上的最大值和最小值．
（17）（本小题满分12分）
某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查,得到的
统计数据如下表所示:
积极参加班级工作
不积极参加班级工作
合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性不高
6 19 25 合计
24
26
50
（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生
的 概率是多少?
（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生
参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？ （Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系? 请说明理由.
附：()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
)(02k K p ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(18)（本小题满分12分）
如图，在空间几何体ABCDEF 中，底面CDEF 为矩形，2,1==CD DE ，⊥AD 底面CDEF ，
1=AD ，平面BEF ⊥底面CDEF ,且2==BF BE .
(Ⅰ) 证明：CDEF AB 平面//; (Ⅱ) 求几何体DBC A -的体积V .
(19)（本小题满分13分）
设函数),(ln )(2
R b a bx ax x x f ∈++=，其图象在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴. （Ⅰ） 若1=a ，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ） 试讨论函数)(x f 的单调性.
(20)（本小题满分13分）
在数列}{n a 与}{n b 中，*++∈+=+===N n b a b a b b a a b a n
n n
n n n n n 其中且,2,2,3,21111. （Ⅰ） 若数列}{n a 为等差数列，求数列}2{n
n
a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）当n n
b a ≠时，记数列n
n n n n b a b a c -+=，求证：数列}{ln n c 为等比数列.
(21)（本小题满分13分）
设1F )0,(c -,2F )0,(c 分别是椭圆E ：2
2221(0)x y
a b a b
+=>>的左、右焦点.
（Ⅰ）若点)2,3(P 在椭圆E 上，且,3=
c 求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）已知椭圆E 的离心率为
2
2
，若过点1F )0,(c -的直线交椭圆E 于,A B 两点，且B F AF 113=. 证明：2AF AB ⊥.
x
y
o
A B
C k
2015年安庆市第三次高考模拟考试文科数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B A A C D C D 1、解析：i m m z z )38(21221-++=⋅.由038=-m 得，.3
8
=m 选C. 2、解析：y a x 12
=
,准线方程为a
y 41
-=. 选B . 3、解析：易知函数x x x f cos 2
)(2
+=，故排除A,C.又10cos )0(==f ，故排除B ，选择D. 4、解析：本题主要考查等比数列的性质、累乘求积法.
因为11211a a a a a a n n n ++=⋅⋅⋅==，所以,)()(1
1121321+++=⋅⋅⋅n n n n a a a a a a a
即,)(1112
2
3221n n n n a a a a a a a ++=⋅⋅⋅ 故
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+13221111n n a a a a a a n
n a a )(1
11+⋅.选B. 5、解析：12,3a i ==.选A.
6、解析： P (A)＝38,P (B)＝28,P (C)＝26,P (D)＝1
3.∵ P (A)>P (C)＝P (D)>P (B),∴ 选择游戏盘A 中奖的
机会最大．
7、解析：显然.0>k 联立⎩⎨⎧=-+=0
12y x k x 解得，)21,(k
k B -. 过点)21,(k k B -时，直线k
z
x k y +-=1 在y 轴上的截距最小，即k
z
最小，
所以,22
1-=-⋅
+k
k k 解得.4=k 过点)4,4(C 时,y x z 4+=取最大值20. 选C. 8、解析：显然，EFGH 是平行四边形.取BD 的中点P ，则,,BD CP BD AP ⊥⊥所以BD ⊥ 面
APC ，BD .AC ⊥所以EFGH 是矩形.选D.
9、解析：作正反两个方面的推理.充分性：当0a =时，()f x 在)0,(-∞内单减; 当0a <，)0,(-∞∈x 时，x ax x f --=2
)(，()f x 在(0,)+∞内单减.所以0a ≤是()f x 在)0,(-∞内单减的充分条件. 必要性：当0a =时，x x f -=)(在)0,(-∞内单减；当0a < 时，()f x 在)0,(-∞内单减；当
0a > 时，()f x 在)0.21
(),1,(a a ---∞内单减，
在)21,1(a
a --内单增. 所以0a ≤是()f x 在)0,(-∞内单减的必要条件. 正确答案是C.
10、解析; )1,0()(log )(≠>+=c c t c x h x c ，1>c 或10<<c ，)(x h 都是R 上的增函数，∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==2)(2)(b
b h a a h ，即2
,2)(log x x x c c t c x t c =+=+有两不等实根，令)0(>=m m c x ∴2
m m t -=有两不等正根，结合图象知4
1
0<
<t .选D. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11、900π 12、3 13、
12
1
14、6 15、①②③④ 11、解析：，，，圆柱侧下底面半球πππ600100200===S S S ∴π900=表S
12、解析： ,3,6==y x 代入ˆy
bx a =+得13
25
=a ，∴3=y 13、解析：因为,sin 3sin 3sin 2C B A ==
所以.2:32:33
1:31:21::==
c b a 设,2,32,3k c k b k a ===则.12
1
3221294cos 222=⨯⨯-+=
k k k k k B
14、解析：)2(26)('
'f x x f +=，令2=x ，则12)2('-=f ，∴6)5('
=f
15、解析: 本题主要考查平面向量的数量积、夹角、运算和分类讨论思想.
0))((>++→
→→→b a k b k a 并不是)(→→+b k a 与)(→→+b a k 的夹角为锐角的充要条件，要考虑→
→+b k a 与
→→+b a k 不同向和同向两种情形. 属于较难题. 一般地，设→a ≠→0,→b ≠→0,→a 与→
b 的夹角为θ，数
量积→→⋅b a 的符号与→a ，→
b 夹角的关系，具有以下充要条件，在涉及到两个向量夹角的问题中应引起重视.（1）θ为锐角→→⋅⇔b a >0且→a 、→b 不同向；（2）θ为直角0=⋅⇔→→b a （3）θ为钝角→
→⋅⇔b a <0且→a 、→
b 不反向.
对①，,32522
2
2
=-=++=+b a b a b a 3=+b a .①正确.
对②，=AD =+)(21AC AB )(2
1→
→++b a k ，②正确.
对③，若A ∠为直角，则,0=⋅AC AB 0152
=-+-k k ，.2
21
5±=
k ③正确. 对④，当→→+b k a 与→→+b a k 不反向时，=++→
→→→))((b a k b k a 2
2
2
)1(→→
→→+⋅++b k b a k a k
=k +k k 4120cos 21)1(0
2
+⨯⨯⨯+152
-+-=k k .
由题意得，0152
<-+-k k , ∴2
21
5-<
k 或k 2215+>.
当→→+b k a 与→→+b a k 反向时，仍有))((→
→
→
→++b a k b k a 0<.此时设→a +→b k =λ(k →a +→
b ) (λ<0)，显然→
a 、→
b 不共线. ∴,1,,1±==∴==λλλk k k 取.1-==λk 所以2215-<
k 且1-≠k 或k 2
21
5+>.④正确. 对⑤，当→
→
+b k a 与→
→
+b a k 不同向时，0152
>-+-k k ⇒
2
215-＜k ＜221
5+.当
→→
+b k a 与→
→+b a k 同向时，取.1==λk 所以
2
215-＜k ＜221
5+且.1≠k ⑤错误.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分） 解析: （Ⅰ）)32sin()4
cos()4
sin(32)(ππ
π
+-+
⋅+
=x x x x f
3sin 2sin 22π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x x 2sin 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 22ππ
∴==T . …………6分
（Ⅱ）由已知得，
()2sin 2443g x f x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 2=2cos(2)233x x πππ⎛⎫=+++ ⎪⎝
⎭ 0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦x ，
42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥
⎣⎦， 故当ππ
=+3
2x ，即3
π
=
x 时，2)3
()(min -==π
g x g .
当23
3x ππ
+
=
，即0x =时，()max 13g x g π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
. ………… 12分 17．（本题满分12分） 解析：（Ⅰ）50
19
=
P ………………2分 （Ⅱ）设这7名学生为a,b,c,d,e,A,B(大写为男生)，则从中抽取两名学生的所有情况是：ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,Bb,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB,AB 共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴.21
10
=
P …………………8分 （Ⅲ）
根据828.10538.1125
252624)761918(50))()()(()(2
22
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K
∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系. ……12分
18．（本题满分12分）
解析：（Ⅰ）过点B 作EF BM ⊥
平面BEF ⊥底面CDEF ,且2==BF BE ,
∴M 为等腰直角三角形底边EF 的中点，易知 CDEF BM 底面⊥, CDEF AD 底面⊥,BM ⇒//AD ,
又∵1==BM AD ,
∴四边形ADMB 为平行四边形，即AB//DM,⊄AB CDEF 底面
CDEF DM 底面⊂∴CDEF AB 平面// …… 6分
（Ⅱ） ∵d S V V ADC ADC B BCD A ∙==∆--3
1
（d 为三棱锥B-ADC 高）
∵ADC DE AD DE DC DE 平面⊥⇒⊥⊥,
又∵平面BEF ⊥底面CDEF ，EF DE ⊥BEF DE 平面⊥⇒ BEF 平面⇒//平面ADC
1==ED d ,1212
1
=⨯⨯=∆ADC S ,∴3131=∙=∆-d S V ADC BCD A …… 12分
19．（本题满分13分）
解析：(Ⅰ) bx ax x x f ++=2
ln )(的定义域为),0(+∞，.1
2)(b x
ax x f ++
=' ∵图象在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，∴012)1('
=++=b a f ，
12--=a b ，.)1)(12(1212)(x
x ax a x ax x f --=--+
=' 当1=a 时，.1,2
1
,0)1)(12()(21===--='x x x x x x f
当210<<x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调增；12
1
<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调减；
1>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调增.
∴)(x f 的极大值为2ln 45
)2
1
(--
=f ，)(x f 的极小值为2)1(-=f . …6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知: .)
1)(12(1212)(x
x ax a x ax x f --=--+='
∴0≤a 时， )1,0(∈x 0)(>'x f ，)(x f 单调增，),1(+∞∈x 0)(<'x f ，)(x f 单调减；
210<
<a 时， )1,0(∈x 0)(>'x f ，)(x f 单调增，)21
,1(a
x ∈0)(<'x f ，)(x f 单调减， ),21
(+∞∈a
x 0)(>'x f ，)(x f 单调增；
21
=
a 时， ),0(+∞∈x 0)(>'x f ，)(x f 单调增； 21>a 时， )21,0(a x ∈0)(>'x f ，)(x f 单调增，)1,21
(a x ∈0)(<'x f ，)(x f 单调减，
),1(+∞∈x 0)(>'x f ，)(x f 单调增.………13分
20．（本题满分13分） 解析：（Ⅰ）2
1
3113121131131113111-+⋅=-⇒+⋅=⇒+=
+++n n n n n n n a a a a a a a ).2
1
1(312111-⋅=-⇒
+n n a a ……3分 又11=a ，所以.2
12112111=-=-⇒
a ∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧-211n a 是以12为首项，31
为公比的等比数列．…… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,31)211(21111-⋅-=-n n a a ,21312111+⋅=-n n a 所以n n
a n n n +=-13
2.…… 8分 令 123
33321-++++
=n n n
T .
马鸣风萧萧 则n n n n n T 3
3132313
112+-+++=- .∴两式相减得, n n n n T 331313131132132-+++++=- , 即.3432491-⋅+-=n n n T …… 11分 故=++++=n T S n n 21.3
43249222)1(343249121--⋅+-++=++⋅+-n n n n n n n n . ………13分
21．（本题满分13分）
解析：（Ⅰ）因为1F ),0,3(-),0,3(2F 且点)2,3(P 在椭圆E 上， 所以.3,6)02()33()02()33(22222==-+-+-++=
a a 因此.639222=-=-=c a
b 故椭圆E 的方程为.16
92
2=+y x …… 5分 （Ⅱ）因为,2
2=a c 所以c a 2=.设t B F =1（0>t ），则t AB t AF 4,31==. 在21F AF ∆中，)
32(322)32(9)32(32)2()32()3(cos 2
22222t a t a t a t t a t c t a t A -⨯⨯--+=-⨯⨯--+= 在2ABF ∆中，)
32(42)2()32(16)32(42)2()32()4(cos 2
22222t a t t a t a t t a t t a t a t A -⨯⨯---+=-⨯⨯---+= ……10分 所以=-⨯⨯--+)32(322)32(9222t a t a t a t )
32(42)2()32(16222t a t t a t a t -⨯⨯---+，整理得，.3,32t a a at == 于是,4,5,3212t AB t BF AF t AF ====,90
=∠A 故2AF AB ⊥. ………..13分。