排队论121

4. 排队系统的求解
下面介绍几种常用的指标 ：
1)队长：把系统中的顾客数称为队长，它的期望值记作Ls；
排队长：指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值 记作Lq。显然有
队长＝排队长＋正被服务的顾客数
2)逗留时间和等待时间： 一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时 间称为逗留时间，它的期望值记作Ws。 一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间，它 的期望值记作Wq。显然有 逗留时间＝等待时间＋服务时间。
这里的ρ 称为服务强度，也称话务强度，它刻划了服务机构
的繁忙程度，所以又称服务机构的利用率。
系统的各项运行指标计算如下： 平均队长： 或
Ls npn n 1
n



1
,0 1
Ls

n 0
n 0
u
平均排队长：
2 Lq n 1 pn npn pn Ls 1 u n 1 n 1 n 1
• • • 1. 标准M/M/1模型(M/M/1/∞/∞) 2 .系统容量有限的情形(M/M/1/N/∞) 3. 顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)
• 四. 多服务台的排队模型 • 五. 排队系统的费用优化模型 • • １. (M/M/1/∞/∞)模型最优的u值 ２. (M/M/1/N/∞)模型最优的u值
是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳 。
（2）排队规则： 描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。 包括： a) 损失制——顾客到达时如所有服务台正被占用，此情形下 顾客离去； b) 等待制——顾客到达时如所有服务台正被占用，此情形下 顾客排队等候 c) 混合制——顾客起初进入排队，但后来觉得等待时间太长， 又离开队伍
排
队
论
主 要 内 容

一. 基本概念 1. 排队过程的一般表示
2. 排队系统的组成和特征
3. 排队模型的分类 4. 排队系统的求解


二. 几个主要概率分布
1 .经验分布. 2 .普阿松分布 3. 负指数分布 4 .爱尔郎（Erlang）分布
• 三. 单服务台负指数分布排队系统分析
Wq
Lq
e
n
1 Ws Wq u
e

n 0
pn

例1
某超级市场，顾客按泊松流到达唯一的计
价收款台，已知平均每小时到达20人，计价收 款时间服从负指数分布，平均每个顾客用需 2.5min,试求该超级市场计价收款台的有关运行 指标。
解 由题意可知,它属于 M / M /1 : / / FCFS 排队模型, 1 1 5 且已知 , , 所以 , 系统中有关运行指标 3 2.5 6 计算如下: 5 1 1 p0 1 1 6 6 1 即服务台空闲的概率为 6 1 5 服务台忙的概率p忙 1 p0 1 6 6
负指数分布具有下列性质： (1)无记忆性或马尔柯夫性，即
p T t s / T s p T t
(2)当顾客到达符合普阿松分布时，顾客相继到达的间 隔时间 T 必服从负指数分布。因此相继到达的间隔是 t 独立且同为指数分布(密度函数为 e , t 0 )，与输入 过程是普阿松流(参数是 )是等价的。所以在kendall 记号中就Ｍ。 对于普阿松分布， 表示单位时间平均到达的顾客 数，所以 1/ 表示顾客相继到达的平均间隔时间，而 这正和 E T 的意义相符。 服务时间符合负指数分布时，设它的概率密度函数 和分布函数分别为

p1 t , t t t t
t 内，到达两个或两
个以上顾客的概率极小，可以忽略不计，即
p t , t t t
n2 n
在上述三个条件下可以推出:
pn t
t
n!
n
e t , t 0
现将本模型中的四个指标公式归纳如下：
Ls

u


1
2 Lq Ls 1 u
Wq
Ls 1 Ws u

u

Lq


u u

将四个指标的关系归纳如下—里特公式 （ e 为顾客到达系统的速度平均值）
Ws
e
Ls
3. 排队模型的分类
D.G.Kendall在1953年提出了一个分类方法，按照上述各 部分的特征中三个最主要的、影响最大的三个特征要素 进行分类，即：
1. 相继顾客到达间隔的时间分布； 2. 服务时间的分布； 3. 服务台个数。 按照这三个特征要素分类的排队系统，用符号 表示为 X/Y/Z 例如M/M/1，表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分 布 、 服务时间为负指数分布、单服务台的模型。
在1971年关于排队论符号标准化的会议上决定，将
Kendall符号扩充为： X/Y/Z/A/B/C
其中前三项意义不变。
A处填写系统容量限制; B处填写顾客源中的顾客数目;
C处填写服务规则（如先到先服务FCFS，后到先服务
LCFS）。 约定，如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。 后面我们只讨论先到先服务FCFS的情形，所以略去第六 项。
三. 单服务台负指数分布排队系统的分析
1. 标准的Ｍ／Ｍ／１模型，即 M / M /1/ /
2. 系统的容量有限制，即
3. 顾客源为有限，即 三种情形进行讨论
M / M /1/ N /
M / M /1/ / m
1.
标准的Ｍ／Ｍ／１（ M / M /1/ / ）
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到 达率为 ，平均服务率为 。负指数分布排队系统 的生灭过程可用下面的状态转移图表示：
t
（３）即时制服务台个数为c时，n 0,1, 2,..., c,
t
pn
称为稳态或称统计平衡状态的解。
二. 排队论中常见的几种概率分布
1. 经验分布
在解决实际排队问题时，需要把有关的原始资料进行统计， 确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方 法确定符合哪种理论分布。
（3）服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。 包括： a) 服务台（员）的数量—可以有一个或多个服务员（服务 台，通道，窗口等）。 b) 服务台（员）的排列情况（多个服务台）—可以平行排 列（并列），可以前后排列（串列），也可以是混合的。 c) 服务方式—可以对单个顾客进行，也可以对成批顾客服 务（我们将只研究单个单个的服务方式）。 d) 服务时间是确定型的，还是随机型的，分布参数是什么， 是否独立，是否平稳。
T v1 v2 vk 的概率密度是
bk t
uk ukt
k 1
k 1!
e ukt , t 0
此时可以说 T 服从k阶爱尔朗分布。
1 1 E T ;Var T 2 u ku
当k=1时，爱尔朗分布化为负指数分布，这可看成是完全 随机的；当k增大时其分布逐渐变成对称的，当k 30 其分布近 似于正态分布；当 k ，可以看出Var T 0 因此爱尔朗分 布化为确定型分布。
λ 0 μ 1 μ λ λ λ n-1 μ μ λ n μ λ n+1 μ
...
系统稳态概率Pn的计算：
时刻t的状态 n n-1 n+1 n △ t发生的事件 概率 发生的概率 (1 t（ t） )1 Pn (t) 无到达，无离去 Pn-1 (t) 到达一个，无离去 t (1 t ) Pn+1 (t) 离去一个，无到达 (1 t )t Pn (t) 到达一个，离去一个 t t
•
•
３. (M/M/1/∞/m)模型最优的u值
４.多服务台模型中最优c值的确定
一. 基本概念
１. 排队过程的一般表示
顾客到来 顾客源 排队 排队规则
顾客离去 服务机构 服务规则
２. 排队系统的组成和特征
（1）输入过程： 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 包括： a) 顾客的总体数或顾客源数—可能是有限也可能是无限； b) 顾客到达的类型—顾客到来到的方式可能是一个一个的， 也可能是成批到达； c) 顾客相继到达的时间间隔分布—可以是确定型的，也可以

逗留时间Ｗ（随机变量）在M/M/1的情形下，服从 即分布函数为:
F 1 e
u
u 的负指数分布，
, 0
平均逗留时间（即逗留时间的期望值）:
Ws E W L 1 s u
平均等待时间（即顾客在队列中等待时间的期望值）: Lq 1 Wq WS u u
n 0,1, 2,
p 其中 表示单位时间平均到达的顾客数，即为到达率； n t 表示长为 t 的时间内到达 n 个顾客的概率。
不难算出，服从普阿松分布的随机变量 N t 的数学期望和和方 差分别是：
E N t t
Var N t t
顾客数 N t ，与时间起点 成正比，即
t 无关，约与区间长度 t
t 是 t 趋近０时关于 t 的高阶无穷小。
(2)无后效性 在时间区间 t0 , t0 t 内到达的顾客 数 N t ，与 t 0 以前到达的顾客数独立。 (3)普通性 在充分短的时间区间
3)瞬态和稳态 把系统中的顾客数称为系统的状态。它的值可能为:(1) 队长没有限制时， 0,1, 2,..., n （２）队长有限制最大数为Ｎ时，n 0,1, 2,..., N , 考虑t时刻系统的状态为n的概率，它是随时刻t而变化的，用 pn t 表示，称为系统的瞬态。求瞬态解是很不容易的，一般即使 求出也很难利用，因此我们常将它的极限 lim pn
p0 up1 0 稳态概率方程为: pn 1 upn 1 u pn 0, n 1
今设 / u 1 ，又由概率性质知 解得pn 0Fra bibliotekn
1
p0 1 1 n pn 1 , n 1
f v t ueut , Fv t 1 eut
其中μ表示单位时间能够服务完的顾客数，为服务率； 而1/μ表示一个顾客的平均服务时间,正是v的期望值。
4. 爱尔朗分布
设 v1 , v2 , , vk 是 k 个相互独立的随机变量，服从相同 参数 ku 的负指数分布，那么
经验分布的主要指标如下：
平均间隔时间 总时间 顾客到达总数
平均服务时间
服务时间总和 顾客总数
顾客到达总数 平均到达率 总时间
平均服务率
顾客总数 服务时间总和
２. 普阿松分布
设 N t 表示在时间区间 0, t 内到达的顾客数 t 0 ， 随机变量。
令 pn t1 , t2 表示在时间区间 t1 , t2 t1 t2 内有
3. 负指数分布
随机变量 T 的概率密度若是
e t , t 0 fT t 0, t 0
1 e t , t 0 则称 T 服从负指数分布，其分布函数是 FT t 0, t 0
T 的数学期望和方差分别为： 1 1 E T ,Var T 2
5 人 2 系统内顾客数的期望值为L 1 1 2.5 3 3 系统内排队等待的顾客数的期望值为
n 0 个顾客到达（此为随机事件）的概率，即
pn t1 , t2 p N t2 N t1 n


当 p t , t 满足下列三个条件时，我们说顾客的到达符合普 n 1 2
阿松分布。这三个条件是：
(1)平稳性 对充分小的t 在时间区间 t , t t 内到达的