[推荐学习]2017届高三数学上学期期中试题理

包头四中2016-2017学年度第一学期期中考试
高三年级理科数学试题
第Ⅰ部分
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

）
1.已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，
，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁U A )=B
A.{}3
B.{}4,5
C.{}4,56，
D.{}0,1,2 2.复数122i i
+=-（）
A. 1i +
B. 1i -
C. i
D. i - 3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A.2=x y
B.3
=+y x x C.1=-y x
D. 2log =-y x 4.设向量”的”是“则“b a x x b x a //3),4,1(),1,2(=+=-=（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5．函数y ＝cos2x 的图像可以看作由y cos2x ＋sinxcosx 的图像（）得到．
A ．向左平移12π个单位长度
B ．向右平移12π个单位长度
C.向左平移6π单位长度 D ．向右平移6
π单位长度 6．下列命题中是假命题．．．的是 （ ）
A ．,)1()(,3
42
是幂函数使+-⋅-=∈∃m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减
B ．有零点函数a x x x f a
-+=>∀ln ln )(,02
C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ； D.,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数
7．若3sin 5α=
，α是第二象限的角，则2) (4cos =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πα
A
5-
B 5
-
C
5
D
5
8.已知{}n a 为等差数列，13518a a a ++=，24624a a a ++=，则20()a =
A. 10
B. 20
C. 40
D. 80
9.已知0x 是函数f(x)=2x
+
1
1x
-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则 A ． f(1x )＜0，f(2x )＜0 B ． f(1x )＜0，f(2x )＞0 C. f(
1x )＞0，f(2x )＜0
D ． f(
1x )＞0，f(2x )＞0
10．若
22ln 6ln ,ln 2ln 3,44a b c π
==∙=
,则a,b,c 的大小关系是 （ ）
A. a>b>c
B. c>a>b C . c>b>a D. a>c>b 11．定义在R 上的函数
)(x f 满足)()2(x f x f =+，当]5,3[∈x 时
42)(--=x x f 则
A.(sin )(cos )66
f f ππ< B ．
(sin1)(cos1)f f >
C.22(sin )(cos )33
f f ππ< D ．(sin 2)(cos 2)f f >
12．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，
0)()(>+
'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)2
1
(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ）
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

13.已知向量b a ,夹角为45︒，且b ,102,1
则=-=b a a = _________
14.设变量x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=x+2y 的最小值为 ．
15．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 。

16.设函数22
(1)sin ()1
x x f x x ++=+的最大值为M ,最小值为m ，则M m +=_____ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．
(Ⅰ)确定角C 的大小；
(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为33
2，求a ＋b 的值．
18.已知数列
{}n a 的前
n 项和
n
S 满足
432
n n a S -=，其中n N *∈． （Ⅰ）求证：数列为等比数列； （Ⅱ）设142
n n
b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n
T
19.已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的定义域和最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数
的值域．
20.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=。

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 21．已知
x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2
f x
g x >+
; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
已知曲线C ：cos sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）. (1)将C 的参数方程化为普通方程； (2)若把C 上各点的坐标经过伸缩变换32x x
y y
'=⎧⎨'=⎩后得到曲线C '，求曲线C '上任意一点到两
坐标轴距离之积的最大值．
23．选修4—5 不等式选讲
已知函数
=-+-
f x x x a
()|1|||.
(1)若1
；
a=-,解不等式()3
f x≥
，求a的取值范围．
(2)如果
∀∈R≥
,()2
x f x
包头四中2016-2017学年度第一学期期中考试
高三年级理科数学试题答案
第Ⅰ部分
1. B
2. C
3. B
4. A 5． A
6. D
7. A
8. C
9. B 10. A 11. C 12. D 二、
13. 14. 3. 15、 52
+-n n
16. 2
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．
(Ⅰ)确定角C 的大小；
(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为
33
2
，求a ＋b 的值． 解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．-----------2分 ∵sin A ≠0，∴sin C ＝
32
， ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π
3.------------------4分
(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为33
2
，
∴12ab sin π3＝33
2，即ab ＝6.①--------------------6分 ∵c ＝7，
∴由余弦定理得a 2＋b 2
－2ab cos π3
＝7，
即a 2
＋b 2
－ab ＝7.②----------------------------9分 由②变形得(a ＋b )2
＝3ab ＋7.③
将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.----------------12分
18.已知数列的前n项和满足，其中．
（Ⅰ）求证：数列为等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和
【试题解析】（Ⅰ）证明：由得：
当n=1时，
当时，
所以
即所以数列为以2为首项，以4为公比的等比数列。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
所以
所以
19.已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域和最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的值域．
【试题解析】（Ⅰ）函数f(x)的定义域为{}
所以函数的最小正周期
（Ⅱ）当时，所以
所以
20.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=。

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
【解析】（Ⅰ）基本量法
设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且355321,
13,
a b a b +=⎧⎨
+=⎩化简得
4
2
12211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，
，
解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． （Ⅱ）错位相减法
因为
121
2
n n n a n b --=，所以 1
22
135
2321
122
22
n n n n n S ----=+
+++
+，①
325
2321
2232
22
n n n n n S ----=++
++
+， ② ②－①得221222212222
22
n n n n S ---=++
+++-， 221
11
121
22122
22n n n ---⎛⎫=+⨯+++
+
-
⎪⎝⎭ 1111212221212
n n n ---
-=+⨯--123
62n n -+=-
21．已知
x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2
f x
g x >+
; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，x
x x x f 1
11)(-=-
=' ……1分 ∴当10<<x 时，/
()0f x <，此时()f x 单调递减
当e x <<1时，/
()0f x >，此时()f x 单调递增 ……3分
∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x = ……5分 令2
1
ln 21)()(+=+
=x x x g x h ，x x x h ln 1)(-='， ……6分
当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ……7分 ∴min max |)(|12
1
21211)()(x f e e h x h ==+<+=
= ∴在（1）的条件下，1
()()2
f x
g x >+
……9分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，
/1()f x a x =-
x
ax 1
-=
……9分 ① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=
（舍去），
所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a <<
10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1
(e a
上单调递增 3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件. ……11分
③ 当
e a ≥1时，)(x
f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=（舍去）
，所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2
e a =，使得当],0(e x ∈时()
f x 有最小值3.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
已知曲线C ：cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数）.
(1)将C 的参数方程化为普通方程； (2)若把C 上各点的坐标经过伸缩变换32x x
y y
'=⎧⎨'=⎩后得到曲线C '，求曲线C '上任意一点到两
坐标轴距离之积的最大值．
22. 解：⑴C 的普通方程为221x y +=． (5分)
⑵(方法一)C 经过伸缩变换32x x y y
'=⎧⎨
'=⎩后，3cos 2sin x y θθ
'=⎧⎨'=⎩（θ为参数）， (7分)
∴|||6sin cos ||3sin 2|x y θθθ''=⋅=≤3，当4
πθ=时取得“=”.
∴曲线C '上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)
(方法二) C 经过伸缩变换32x x y y '=⎧⎨'=⎩后，32
x x y y '⎧=⎪⎪⎨'
⎪=⎪⎩，∴22
:194x y C '''+=. (7分) ∵22
194x y ''=+≥12323
x y x y ''''⨯⨯=，∴x y ''≤3.
当且仅当x y ''==时取“=”.
∴曲线C '上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)
23．选修4—5 不等式选讲
已知函数
()|1|||.f x x x a =-+-
(1)若1a =-,解不等式()3f x ≥； (2)如果,()2x f x ∀∈R ≥，求a 的取值范围．
23． 解：⑴ 当1a =-时，()11f x x x =-++.
由()3f x ≥得11 3.x x -++≥
当1x -≤时，不等式化为113,x x ---≥即23x -≥，其解集为3(,]2-∞-．
当11x -<<时,不等式化为113x x -++≥,不可能成立，其解集为∅．
当1x ≥时, 不等式化为113,x x -++≥即23x ≥，其解集为3[,)2+∞． (3分) 综上，()3f x ≥的解集为3(,]2
-∞
-3[,)2+∞． (5分)
⑵(方法一)()|1|||f x x x a =-+-≥|1|a -， (7分)
∴|1|a -≥2，∴a ≥3或a ≤－1. (10分) (方法二)若()1,21,a f x x ==-不满足题设条件．
若()()21,1,1,
121,1x a x a a f x a a x x a x -++⎧⎪<=-<<⎨⎪-+⎩
≥≤，则()f x 的最小值1a -≥2，∴a ≤－1.
若()()21,11,1,
121,x a x a f x a x a x a x a -++⎧⎪>=-<<⎨⎪-+⎩
≤≥，则()f x 的最小值1a -≥2，∴a ≥3． (8分) ∴a 的取值范围是(][),13,.-∞-+∞ (10分)。