新教材人教版高中数学必修第一册 5.5.1.1 两角差的余弦公式 教学课件

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第一课时 两角差的余弦公式
(一)教材梳理填空
公式
cos(α－β)＝__c_o_s_α_c_o_s__β_＋__si_n__α_si_n__β____
简记符号 适用条件
C(α－β) 公式中的角 α，β 都是任意角
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符 公式结构
号与左边角的连接符号相反
1π2＝－cos
3π－2π 12 12
＝－cos
π－π 46
＝－
cosπ4cosπ6＋sinπ4sin
π 6
＝－
2× 2
3＋ 2
2×1 22
＝－
6＋ 4
2.
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(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12. (3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α) ＝cos[(α－20°)－(α＋40°)] ＝cos(－60°)＝12.
1．下面是某同学对“在△ABC 中，sin(A＋B)＝23，cos B＝－34，求 cos A
的值”的解题过程． 解：由题意得：sin B＝ 1－cos2B＝
1－
－3 4
2＝
7，
4
cos(A＋B)＝ 1－sin2A＋B＝
1－
2 3
2＝
5， 3
所以 cos A＝cos[ ( A＋B) －B] ＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
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＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－1123×1123＋－153×153＝－1. 又因为 α＋β∈32π，2π，α－β∈π2，π， 所以 2β∈π2，32π.所以 2β＝π，所以 β＝π2.
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[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
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(3)公式的“活”用 公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个 方面． ①公式本身的变用，如 cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β. ②角的变用，也称为角的变换，如 cos α＝cos[ ( α＋β) －β] ，cos 2β＝cos[ ( α＋β) －( α－β) ] ．
＝
5× 3
－3 4
＋2× 3
7＝2 4
7－3 12
5.
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试分析这位同学的解题过程是否正确？若不正确，错在何处，并给出
正确的解题过程． 提示：这位同学解析错误，错误的原因是忽略了隐含条件，没有注意角
的范围，导致求值错误．在解题中应挖掘出π2<A＋B<π这个隐含条件．
正解：在△ABC 中，因为 cos B＝－3<0，sin(A＋B)＝2，
()
6－ 2 A. 2
B．
6＋ 2
2
6－ 2 C. 4
D．
6＋ 4
2
解析：cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin
30°＝ 22× 23＋ 22×12＝
6＋ 4
2 .
，cos αcos β＝n，则 cos(α－β)＝________.
7＋3 12
5 .
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二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．已知 cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且 α，β∈0，π2可以得到以下结论： (1)______________________； (2)______________________； (3)______________________； (4)______________________． 请根据题设条件写出可以得到的结论，并写出具体的解题过程． 解：结论：(1)cos β＝12；(2)cos 2β＝－12；(3)cos 2α＝－4479；(4)tan(α＋β)＝－5113.
cosπ4＝
2 2.
答案：C
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2．求下列各式的值： (1)cos 1132π； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)．
解：(1)cos
1132π＝cos π＋1π2 ＝－cos
5
∴cos α＝cos
α＋π 4
－π 4
＝cos
α＋π 4
cosπ4＋sin
α＋π 4
sin
π 4
＝－3× 5
2＋4× 25
22＝102.
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2．已知 sinπ3－α＝－1123，α∈π6，56π，求 cosα－1π2的值． 解：∵π6＜α＜56π，∴－π2＜π3－α＜π6，
又 sinπ3－α＝－1123＜0，
(1)选 D
因为
sin
α－sin
β＝1－
3， 2
所以
sin2α－2sin
αsin
β＋sin2β＝
1－
3 2
2，
①
因为 cos α－cos β＝12，
1
所以 cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝ 2 2，
②
①②两式相加得 1－2cos(α－β)＋1＝1－ 3＋34＋14，
所以－2cos(α－β)＝－ 3，所以 cos(α－β)＝ 23.
(4)cos 30°cos 120°－sin 30°sin 120°＝0.
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4) ×
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2．cos 79°cos 19°＋sin 79°sin 19°＝
A．1
B．
2 2
3 C. 2 答案：D
D．12
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()
3．cos(－15°)的值是
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(2)∵α∈
π，2π 63
，∴π3＋α∈
π，π 2
，
∴cos
π＋α 3
＝－
1－sin2
π＋α 3
＝－
12 1－ 13 2＝－ 5 .
13
∵α＝
π＋α 3
－π3，∴cos
α＝cos
π＋α 3
－π 3
＝cos
π＋α 3
cosπ＋sin
π＋α 3
sinπ
3
3
＝－ 5 ×1＋12× 13 2 13
(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符 合公式特征．
(3)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角 函数值．
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[ 变式训练]
1．cos51π2cos
π6＋cos1π2sin
π的值是 6
()
A．0
B．12
C. 2 2
D． 3 2
解析：cos51π2cosπ6＋cos1π2sinπ6＝cos51π2cosπ6＋sin51π2sinπ6＝cos51π2－π6＝
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题型二 给值(式)求值问题 [探究发现] (1)若已知 α＋β 和 β 的三角函数值，如何求 cos α 的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. (2)利用 α－(α－β)＝β 可得 cos β 等于什么？ 提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．
(2)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12. (3)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°
＝cos(70°－40°)＝cos
30°＝
3 2.
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[方法技巧] 运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死 记．
[典例 3] 已知 α，β 均为锐角，且 cos α＝255，cos β＝ 1100，求 α－ β 的值．
[ 解] ∵α，β均为锐角，∴sin α＝ 5，sin β＝3 10.
5
10
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2 5 5×
10＋ 10
5×3 10＝ 5 10
22.
又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π，∴－π<α－β<0.故α－β＝－π.
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(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)cos(45°－30°)＝cos 45°－cos 30°.
()
(2)对于任意实数 α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β 都不成立． ( )
(3)对任意 α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 都成立．( )
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[学透用活]
[典例 2] (1)已知 sin α－sin β＝1－ 23，cos α－cos β＝12，则 cos(α
－β)＝
()
A．－
3 2
B．－12
1 C.2
D．
3 2
(2)已知 sinπ3＋α＝1123，α∈π6，23π，求 cos α 的值．
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[ 解析]
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[ 典例 1] 求下列各式的值：
(1)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°； (2)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；
(3)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°.
[解] (1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.
∴－π2＜π3－α＜0，cosπ3－α＝ 1－sin2π3－α＝153，
∴ cos α－1π2 ＝ cos 1π2－α ＝ cos π3－α－π4 ＝
2 2
cos
π3－α
＋
2 2
sinπ3－α＝ 22×153＋ 22×－1123＝－7262.
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题型三 给值(式)求角问题 [学透用活]
2
2
4
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[方法技巧] 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内 单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角．
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[ 变式训练]
已知
cos(α
－
β)
＝
－
3＝12 2
3－5. 26
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[方法技巧] 给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注 意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵 活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α＋β)－β； ②β＝α＋β－α－β； 22
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
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[ 变式训练]
1．[
变条件]
将例
2(2)的条件改为“sin
α＋π 4
＝45，且π4<α<34π”，如何解答？
解：∵sin
α＋π 4
＝4， 5
且π4＜α＜34π，∴π2＜α＋π4＜π.
∴cos
α＋π 4
＝－
4 1－ 5 2＝－3.
新教材人教版高中数学必修第一册 5.5.1.1 两角差的余弦公式 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
5.5.1.1 两角差的余弦公式
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5.5 三角恒等变换 5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．经历利用单位圆的对称性推导两角差的余弦公式的过程，知 道两角差余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正 切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在 联系，并能利用公式化简、计算求值． 3．通过公式的推导，提升学生逻辑推理的核心素养．借助公式 的变形、正用、逆用，培养学生数学运算的核心素养．
答案：n＋m
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题型一 给角求值 [学透用活]
对于公式 C(α－β)的三点说明 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式， 可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式的适用条件 公式中的 α，β 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”， 如 cosα＋2 β－α－2 β中的“α＋2 β”相当于公式中的角 α，“α－2 β”相当于公 式中的角 β.
4
3
所以π<B<π，π<A＋B<π，所以 sin B＝ 1－cos2B＝
2
2
cos(A＋B)＝－ 1－sin2A＋B
1－
－3 4
2＝
7， 4
第二十六页，共三十页。
＝－
1－232＝－
5 3.
所以cos A＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝－ 35×－34＋23× 47＝2
12 ， 13
cos(α
＋β)
＝
12 13
，
且α
－
β
∈
π，π 2
，α
＋β∈
32π，2π ，求角β的值．
解：由α－β∈
π，π 2
，且
cos(α－β)＝－1123，得
sin(α－β)＝153.
由α＋β∈
3π，2π 2
，且
cos(α＋β)＝12，得
sin(α＋β)＝－
5
.
13
13
所以 cos 2β＝cos[ ( α＋β) －( α－β) ]