湖北省高三下学期2月月考数学试题(解析版)

高三数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若全集为R ，集合
，，则（ ）
{
2x A x =≤∣{ln(2)0}B x x =-<∣()A B =
R
I
ðA.
B.
C.
D.
3,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
30,2⎛⎤
⎥⎝⎦
3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
()2,+∞【答案】C 【解析】
【分析】先求出集合A ，B ，再根据补集交集的定义即可求出.
【详解】因为，，所以． 32A x x ⎧
⎫=≤⎨⎬⎩
⎭∣{}12B x x =<<()322R A B x x ⎧⎫
⋂=<<⎨⎬⎩⎭
∣ð故选：C ．
2. 已知p ：，q ：关于x ，y 的方程表示圆，则是的（ ） 1t >2268250x y tx ty +-++=p q A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条
件 【答案】A 【解析】
【分析】由方程表示圆得出参数的范围，然后再判断出是的充分不必要条件.
t p q 【详解】关于x ，y 的方程表示圆等价于，即
2
2
68250x y tx ty +-++=()()2
2
684250t t -+-⨯>，
21t >显然由可推出，反之由不能的到（可能是） 1t >21t >21t >1t >1t <-故是的充分不必要条件. p q 故选：A.
3. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽
车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y （万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为，则的值是（ ）．
ˆˆ0.16y bx =+ˆb A. 0.28 B. 0.32
C. 0.56
D. 0.64
【答案】A 【解析】
【分析】先计算，，再根据样本中心点适合方程解得的值即可. x y ()
,x y ˆˆ0.16y
bx =+ˆb 【详解】由表中数据可得，，
1234535x ++++=
=0.50.61 1.4 1.5
15
y ++++==将代入，即，解得． ()3,1ˆˆ0.16y
bx =+ˆ130.16b =⨯+ˆ0.28b =故选:A ．
4. 的展开式中所有有理项的系数和为（ ） 8
x ⎛
- ⎝
A. 85
B. 29
C. D.
27-84-【答案】C 【解析】
【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果. 【详解】展开式的通项为：
，其中，
4883188C ((1)C --+==-r
r r r r r
r T x x 012345678r =，，，，，，，，当时为有理项，故有理项系数和为
0,3,6r =，
003366
888(1)C (1)C (1)C 1(56)2827-+-+-=+-+=-故选：C.
5. 定义在R 上的偶函数满足，当时，
，则函数
()f x ()()2f x f x =-[]0,1x ∈()21x f x =-在区间上的所有零点的和是（ ）
()()()sin 2πx f g x x =-15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
【答案】A 【解析】
【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为g (x )的零点，根据
()f x ()sin 2πy x =15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦对称性即可求零点之和.
【详解】如图所示，与在区间上一共有10个交点，
()f x ()sin 2πy x
=15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
且这10个交点的横坐标关于直线对称， 1x =所以在区间上的所有零点的和是10．
()g x 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
故选：A ．
6. 赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩，营养价值高.快递运输过程中脐橙损失的新鲜度y 与采摘后
的时间t 之间满足函数关系式：为了保证从采摘到邮寄到客户手中新鲜度不2
2030,010,1000
12,10100,20
t
t t y t +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪⨯≤≤⎪⎩低于，则脐橙从采摘到邮寄到客户手中的时间不能超过（ ）
85%（参考数据：） 2log 31
6≈．A. 20小时 B. 25小时 C. 28小时 D. 35小时
【答案】C 【解析】
【分析】由题意列不等式求解
【详解】由题意，当时，损失的新鲜度小于，没有超过；
10t <10%15%当时，令，即，所以. 10t ≥20301215%20t +⋅≤203022023,log 3 1.630
t
t ++≤≤≈28t ≤故选：C
7. 在平行四边形中，，点P 为平行四边形所在平面内一点，
ABCD 1,2,AB AD AB AD ==⊥ABCD 则的最小值是（ ）
()PA PC PB +⋅
A.
B. C.
D. 58
-12
-
38
-14
-
【答案】A 【解析】
【分析】建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值． (,)P x y 【详解】建立如图所示坐标系，设，则， (,)P x y (0,0),(1,0),(1,2)A B C 所以，，
(1,)PB x y =-- (,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--
故，
()(12)(1)PA PC PB x x +⋅=--+ 22
315(22)()22428y y x y ⎛⎫⎛
⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭所以时，取得最小值．
31
,42x y ==()PA PC PB +⋅ 5
8
-故选：A ．
8. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，
*n ∈N sin x
x
=，又根据泰勒展开式可以得到222222222111149x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
35
sin 3!5!x x x x =-+++
，根据以上两式可求得（
）
()()1
21121!
n n x n ---+- 22221111123n +++++= A.
B.
C.
D.
2
6
π2
3
π2
8
π2
4
π【答案】A 【解析】
【分析】由同时除以x ，再利用展开式中的系数可求出.
()()1
2135
1sin 3!5!21!n n x x x x x n ---=-++++- 2x 【详解】由，两边同时除以x ，
()()1
2135
1sin 3!5!21!n n x x x x x n ---=-++++- 得，
()()
1
2224
1sin 13!5!21!n n x x x x x n ---=-++++-
又 222222222sin 111149x x x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
展开式中的系数为， 2x 22222
11111123n π⎛⎫
-+++++ ⎪⎝⎭
所以， 22222
1111111233!n π⎛⎫
-
+++++=- ⎪⎝⎭
所以．
2
222211111236
n π+++++= 故选：A ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知两个不为零的实数x ，y 满足，则下列结论正确的是（ ） x y <A. B. ||31x y ->2xy y <C. D.
||||x x y y <11
e e x y x y
-<-【答案】AC 【解析】
【分析】根据题中条件，确定，可判断A 正确；由不等式的性质，当时，可判断B ||0x y ->0y <错；判断函数的单调性，可判断C 正确；取特殊值，，可判断D 错. ()||f x x x ==1x -1y =【详解】因为，所以，所以，则A 正确；
x y <||0x y ->||31x y ->因为，当时，，当时，，则B 错误；
x y <0y >2xy y <0y <2
xy y >令，易知在R 上单调递增，又，所以，即
22,0
(),0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩()f x x y <()()f x f y <，则C 正确；
||||x x y y <对于D ，若，，则，即D 错误. =1x -1y =111
2e e x y
--=->-故选：AC.
10. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结122i z =-i 1P 2z 2i 1z -=论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B.
1P ()2,2-122i z =+
C. 的
D. 的最小值为
21z z -1+21z z -【答案】ABC 【解析】
【分析】利用复数的几何意义可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数模的三角不等式可判断CD 选项.
【详解】对于A 选项，因为，则，A 对； 122i z =-()12,2P -对于B 选项，由共轭复数的定义可得，B 对； 122i z =+
对于C 选项，，则，
1i 23i z -=-1i z -=
=
，
()()212121i i i i 1z z z z z z -=---≤-+-=
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C 对； 21i z ⎫
=++⎪⎪⎭
21z z -1
对于D 选项，，
()()212112i i i i 1z z z z z z -=---≥---=
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D 错. 21i z ⎛=- ⎝21z z -1-故选：ABC.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，若M ，N 分别为棱，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -1CC 11C D 法正确的是（ ）
A.
//BM DN B. 三棱锥的体积为1 M AND -C. 与BM 所成角的余弦值为
1B N 4
5
D. 过点B ，M ，N 的平面截该正方体所得截面的面积为 32
【答案】BC 【解析】
【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，得到，得到两者不平行；B 选
()()2,0,1,0,1,2BM DN =-=
项，利用等体积法求解；C 选项，利用空间向量求异面直线夹角公式进行求解；D 选项，作出辅助线，得到过点B ，M ，N 的平面截该正方体的截面，并求出面积.
【详解】A 选项，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
D 1,,DA DC DD ,,x y z
则，
()()()()()10,0,0,2,2,0,0,2,1,0,1,2,2,2,2D B M N B 则，
()()2,0,1,0,1,2BM DN =-=
设，则，，无解，故不平行，A 错误；
BM DN λ=
()()2,0,10,1,2λ-=20λ-=⋅,BM
DN
B 选项，正方形的面积为4，
11CDD C ，，，
112122CDM S CD CM =⋅=⨯= 111112122DD N S D D D N =⋅=⨯= 11111
22
MC N S C N C M =⋅= 所以，， 1341122DMN S =---
= 113
21332
A DMN DMN V S AD -=⋅=⨯⨯= 故三棱锥的体积为1，
B 正确；
M AND -C 选项，，，
()()()10,1,22,2,22,1,0B N =-=-- ()()()0,2,12,2,02,0,1BM =-=-
则
， 1114cos ,5B N BM
B N BM B N BM
⋅===⋅
故与BM 所成角的余弦值为
，C 正确； 1B N 4
5
D 选项，连接，， 1A B 1,A N MB 因为M
，N 分别为棱，的中点，
1CC 11C D 所以，其中不平行， 1//A B MN 1A N BM ==1,A N BM 故过点B ，M ，N 的平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 1A NMB 过点分别作⊥于点
，⊥于点， ,
M N MR 1A B R NT 1A B T 则
1RT MN AT BR ==
==
NT ===
故等腰梯形的面积为，D 错误.
1A NMB ()192
2
MN A B NT
+⋅=
=
故选：BC
12. 已知函数，则（
）
(
)*
()sin cos n
n
f x x x n =+∈N A. 对任意正奇数为奇函数 ,()n f x B. 当时，的单调递增区间是 4n =()f x ,()4k k k πππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
Z
C. 当时，在 3n =()f x 0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 对任意正整数的图象都关于直线对称
,()n f x 4
x π
=【答案】CD 【解析】
【分析】A.取，利用奇偶性的定义判断；B.由 判断；C. 由1n =44
13
()sin cos cos 444
f x x x x =+=
+，利用导数法判断；D.由 与是否相等判断.
3n =2f x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
()f x 【详解】取，则，从而，此时不是奇函数，则A 错误； 1n =()sin cos f x x x =+(0)10f =≠()f x 当时，
4n =
()2
442222()sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x =+=+-，
211cos413
1sin 21cos42444
x x x -=-=-=+则的递增区间为，则B 错误： ()f x ,()422k k k πππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣⎦
Z 当时，，
3n =2
2
'()3sin cos 3cos sin 3sin cos (sin cos )f x x x x x x x x x =-=-当时，；当时，， 0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
'()0f x <,42x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦'()0f x >所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x 0,
4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
,42ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
所以的最小值为 ()f x 33
4f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故C 正确； 因为， sin cos cos sin ()222n n n n f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+-=+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以的图象关于直线对称，则D 正确.
()f x 4
x π
=故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 请写出渐近线方程为的一个双曲线方程____________.
y =【答案】（答案不唯一）
2
2
13
y x -=【解析】
【分析】先指定焦点所在位置，由题意可得，进行赋值即可得双曲线方程． ::a b c
【详解】若焦点在轴上，由题意可得：，
x ::2a b c =
不妨令，则双曲线方程．
12a b c ===，2
2
13
y x -=故答案为：．
（答案不唯一） 2
2
13
y x -=14. _____. tan 204sin 20︒+︒=
【解析】
【分析】将化为，化简得到，再将化为，展开得到
tan 20︒sin 20cos 20︒︒sin 202sin 40cos 20︒+︒
︒
sin 40︒()sin 6020︒-︒答案. 【详解】原式
sin 20sin 202sin 404sin 20cos 20cos 20︒︒+︒
=
+︒=
︒︒
()
sin 202sin 6020cos 20︒+︒-︒=
=
==
︒
【点睛】本题考查了三角恒等变换，将化为是解题的关键.
sin 40︒()sin 6020︒-︒
15. 在上､下底面均为正方形的四棱台中，已知，
1111ABCD A B C D -1111AA BB CC DD ====
，，则该四棱台的表面积为___________；该四棱台外接球的体积为___________.
2AB =111A B =
【答案】 ①. ②.
5+【解析】
【分析】在等腰梯形中，过作，垂足为H ，由题意可得，，11DCC D 1C 1C H DC ⊥12CH =
1C H =从而可求出四棱台的表面积，设，.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱AC BD O = 11111A C B D O ⋂=锥(如图). 由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在上，点O 到点B 与到点的距离相等，O 1OO 1B 到A ，A 1，C ，C 1，D ，D 1的距离相等，从而可求出球的半径，进而可求出四棱台外接球的体积
【详解】在等腰梯形中，过作，垂足为H ，易求，，则四棱11DCC D 1C 1C H DC ⊥12CH =
1C H =
台的表面积为. (12)14452S S S S +=++=++⨯
=+上底下底侧设，.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥(如图). AC BD O = 11111A C B D O ⋂=因为，，可知与相似比为1：2； 2AB =111A B =11SA B SAB △
则，，则，则 12SA AA ==AO =
SO =1OO =
由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上，由于，1OO 11B BOO 1OO =
，即点O 到点B 与到点的距离相等，同理O 到A ，A 1，C ，C 1，D ，11B O =
1OB OB ==1B
D 1，于是O 为外接球的球心，且外接球的半径
r =
.
故答案为： 5+
【点睛】关键点点睛：此题考查棱台的有关计算，考查多面体的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查计算能力，属于中档题
16. 已知抛物线：的焦点是，过的直线交于不同的A ，B 两点，则的C 24x y =F F l C ()
1AF BF +⋅最小值是______．
【答案】 3##3+【解析】
【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理、抛物线的定义和基本不等式l 1y kx =+可求出结果.
【详解】由题意知，，显然直线的斜率存在， ()0,1F l 设直线的方程为，，，
l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 由得，所以，所以，
24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩
2
440x kx --=124x x =-221212144x x y y =⋅=所以
()
()()121212111122AF BF y y y y y y +⋅=+++=+++
，
122333y y =++≥+=
当且仅当，. 1y =
2y =
故答案为：.
3+四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在平面四边形ABCD 中，若，，，，
6AB =10BC =12CD =120ABC ∠=︒．
ACB ACD ∠=∠
（1）求的值； cos BCD ∠（2）求AD 的长度． 【答案】（1）
71
98
（2） AD =【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再根据二倍角公ABC 14AC =sin BCA ∠=式求解即可得； 71cos 98
BCD ∠=
（2）结合（1）得，进而在中，根据余弦定理得. 13
cos 14
BCA ∠=ACD AD =【小问1详解】
解：在中，因为，，，
ABC 6AB =10BC =120ABC ∠=︒由余弦定理，可得， 2222cos 196AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠=所以． 14AC =又由正弦定理可得
，
sin sin AB AC
BCA ABC
=∠∠
所以 sin120sin AB BCA AC ⋅︒∠=
=
所以． 2
71
cos 12sin 98
BCD BCA ∠=-∠=【小问2详解】
解：由（1），因为为锐角，可得． BCA ∠13cos 14
BCA ∠==
在中，根据余弦定理，可得
ACD 2222cos AD AC CD AC CD BCA =+-⋅⋅∠， 2213
1412214122814
=+-⨯⨯⨯
=
所以．
AD =18. 大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种
日期，在A ，B 两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A 试验田播种该品种大豆，7月10日在B 试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照，，进行分组，得到如下表格： [)100,150[)150,200[]200,250
[)100,150
[)150,200
[]200,250A 试验田/份 3 6 11 B 试验田/份
6
10
4
把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满． （1）判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？
（2）从A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；
（3）用样本估计总体，从A 试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X ，求X 的数学期望和方差．
参考公式：，其中．
()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()20P K k ≥0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
0k 2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】（1）有 （2）
16
25（3）， ()55E X =99()4
=D X 【解析】
【分析】（1）根据完成列联表，然后根据公式计算，再与临界值
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++2K 表比较可得结论，
（2）A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆中，籽粒饱满的概率分别为
两份大豆都籽粒不饱满的概111
,,205
率为
，再结合对立事件概率和为1求解即可； 94920525
⨯=（3）根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解. 【小问1详解】
列联表为
22⨯
6月25日播种
7月10日播种
合计 饱满 11 4 15 不饱满 9 16 25 合计
20
20
40
，
()()()()()
()
2
2
240111649 5.227 5.024********n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关． 【小问2详解】
A ，
B 两块实验田中各抽取一份大豆， 抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别为
，， 11201
5
两份大豆籽粒都不饱满的概率为 111911,20525
⎛⎫⎛⎫-
⨯-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为
. 91251625
-
=【小问3详解】
从A 试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满的概率为， 1120
则，故， 11~(100,
)20X B 11()1005520=⨯=E X . 111199()100(1)20204
=⨯
⨯-=D X 19. 如图，在中，，，，M ，N 分别为AB 、BC 的中点，将ABC 2
CAB π
∠=
4AB =1AC =BMN
沿MN 向上折起到点P 处，使得．
3PC =
（1）求证：平面平面ACNM ；
PMN ⊥
（2）求二面角M -PC -A 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析
（2【解析】
【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的平面角的关系求解. 【小问1详解】 在中，M ，N 分别为AB 、BC 的中点，
ABC 2
CAB π
∠=
则，所以折叠后有，． AB MN ⊥MN AM ⊥PM MN ⊥因为，所以． 4AB =1
22
AM PM AB ===
又，所以． 1AC =MC =又，
3PC =所以，即．
222PM MC PC +=PM MC ⊥平面，，
,MC MN ⊂ACNM MC MN M = 所以平面，
PM ⊥ACNM 又平面，所以平面平面ACNM ． PM ⊂PMN PMN ⊥【小问2详解】
由（1）知MA ，MN ，MP 两两垂直，分别以MA ，MN ，MP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则，，，，
()0,0,0M ()2,0,0A ()2,1,0C ()002P ,,所以，，．
()2,1,2PC =- ()0,1,0AC = ()2,1,0CM =--
设平面PAC 的一个法向量，
()111,,n x y z =
则，即，解得，令，得，所以．
00n PC n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 11112200x y z y +-=⎧⎨=⎩1110x z y =⎧⎨=⎩11z =111
101
x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()1,0,1n = 设平面PCM 的一个法向量，
()222,,m x y z =
则，即，解得，令，得，所以
00m PC m CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
2222222020x y z x y +-=⎧⎨--=⎩22220y x z =-⎧⎨=⎩21x =222
0y z =-⎧⎨=⎩．
()1,2,0m =-
所以，
cos ,m n n m m n
⋅〈〉==⋅
由图知二面角M -PC -A 为锐二面角， 所以二面角M -PC -A
20. 在①
；②，；③这三个条件中任选12311111
n n S S S S n ++++=+ 12a =12n n na S +=2
42n n n S a a =+一个，补充到下面横线处，并作答． 已知正项数列的前n 项和为， ，．
{}n a n S *n ∈N （1）求数列的通项公式；
{}n a （2）若数列满足，记表示x 除以3的余数，求．
{}n b 2
2n a n
b =()x Ω211n i i b +=⎛⎫
Ω ⎪⎝⎭
∑注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分． 【答案】（1）
2n a n =（2）
2112n i i b +=⎛⎫Ω= ⎪⎝⎭
∑【解析】
【分析】（1）选条件①时，利用，可求出数列的通项公式；选条件②时，化
11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩{}n a 简可得
为常数列，进而求出数列的通项公式；选条件③时，利用()121n n
a a n n n
+=≥+{}n a ，可求出数列的通项公式；
1
1,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a
（2）依题意可知，所以，再利用二项式定理解决整除和余数问
2n
n b =()2121221
2122212
n n n i
i b +++=-=
=--∑题.
【小问1详解】 选条件①时， 当时，
，解得，所以． 1n =111
2
S =12S =12a =当时，，， 2n ≥12311111n n S S S S n ++++=+ 123111111n n S S S S n
--++++= 两式相减得
，即，， ()
111n S n n =+()1n S n n =+2n ≥当时满足上式，所以． 1n =()1n S n n =+所以当时，，
2n ≥()()1112n
n n a S S n n n n n -=-=+--=又，所以． 12a =2n a n =选条件②时， 因为，
12n n na S +=当时，， 1n =2124a S ==当时，， 2n ≥()112n n n a S --=两式相减，得，所以， ()11n n na n a +=+()121n n
a a n n n
+=≥+又
，所以， 21221a a
==()*11n n a a n n n
+=∈+N 所以数列为常数列，又，所以，
n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
121a =2n a n =所以． 2n a n =选条件③时，
当时，，因为，所以． 1n =2
11142a a a =+10a >12a =由，当时，， 242n n n S a a =+2n ≥2
11142n n n S a a ---=+两式相减，得，
22
11422n n n n n a a a a a --=-+-整理得，所以．
22
11220n n n n a a a a -----=()()1120n n n n a a a a --+--=因为，所以， 0n a >()122n n a a n --=≥所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
{}n a
所以． 2n a n =【小问2详解】
由题知，
2n
n b =所以，
()2121
221
2122212
n n n i i b +++=-=
=--∑又，
()
1
22
12
242312n n n +++-=-=+-而
()
1
011211
1111131233332n n n n n n n n n n n C C C C C ++-+++++++-=+++++- 01121111133331n n n n
n n n n C C C C +-++++=++++-
()
011221111333312n n n n n n n n C C C C --++++=++++-+ 所以．
2112n i i b +=⎛⎫
Ω= ⎪⎝⎭
∑21. 已知点，动点 到直线的距离与到点的距离的比为2，设动点的轨迹为曲线. ()1,0A M 4x =A M C （1）求曲线的方程；
C （2）若点，点，为曲线上位于轴上方的两点，且，求四边形的面积()1,0B -P Q C x PA QB ∥PABQ 的最大值.
【答案】（1）
22
143
x y +=（2）3 【解析】
【分析】（1）直接法求点的轨迹方程 ；
（2） 由已知得，为所求椭圆的焦点，通过计算，可得四边形为平行四边形，A B C =PE QF PEFQ 将所求四边形
的面积转化为求三角形的面积，从而得到PABQ POE 2POE PABQ S S ==
四边形△，利用换元法及导数法即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 设
，所以
(),M x y 2=4x -=两边平方，得，
()()2
2
24414x x y -=-+化简，得，即曲线的方程为.
22143x y +=C 22
143
x y +=【小问2详解】
如图，由（1）知曲线为椭圆，，为其焦点，延长与椭圆相交于另一点，延长与椭圆相C A B PA E QB 交于另一点
.F 设直线的方程为，，，
PE 1x my =+()11,P x y ()22,E x y 联立方程消去并化简，得， 22
1,43
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
x ()22
34690,m y my ++-=所以，， 122634m y y m +=-+122
9
34
y y m =-+所以
PE =
=
()
22
121.34m m +==+因为，所以，设的方程为， //PA QB //PE QF QF 1x my =-同理可求，所以，所以四边形为平行四边形，
(
)2212134
m QF m +=
+PE QF =PEFQ 所以四边形的面积. PABQ 2PQE
POE PABQ S S S
==四边形△△点到直线的距离，
O PE
d =
=
所以 ()
2
2121112234POE
m
S PE d m +=⋅=⨯=+△所以.
2POE
PABQ S S ==
四边形△，所以
，
()1t t =≥21212
1313PABQ t S t t t
=
=
++四边形令，则，显然当时，， 13y t t =+222
131
3t y t t
-=-='1t ≥0'>y 所以在上单调递增，所以当，
13y t t
=+[)1,+∞1t =
即时，取得最小值，且， 0m =y min 4y =所以，即四边形的最大值为3.
()
max
3PABQ
S =四边形PABQ 22. 已知函数（）．
()e x
f x x mx =-m ∈R （1）当时，求的单调区间；
2e m -<-()f x （2）令，若是函数的极值点，且，求证：
()()ln F x f x m x =-0x ()F x ()00F x >．
()30022F x x x >-+【答案】（1）单调递增区间为，无减区间 (),-∞+∞（2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）求出，令，再次利用导数判断函数的单调性得出，进而()f x '()()g x f x '=()min 0g x >可得结果；
（2）求出，当时，显然不成立，当时，求出极值点满足，结合常见不等
()F x '0m ≤0m >0x 00e x
m x =式，再利用导数证明不等式成立即可. e 1x x >+1ln 22x x x -->-【小问1详解】
，令，则．
()()1e x f x x m '=+-()()1e x g x x m =+-()()2e x g x x '=+当时，，当时，，
<2x -()0g x '
<2x >-()0g x '>所以函数在上单调递减；在上单调递增，
()g x (),2-∞-()2,-+∞所以．
()()2
min 2e g x g m -=-=--又，则，则，
2e m -<-2e 0m --->()min 0g x >所以对任意恒成立，所以的单调递增区间为，无减区间． ()0f x ¢>x ∈R ()f x (),-∞+∞【小问2详解】
证明：（），
()()()ln e ln x
F x f x m x x m x x =-=-+0x >则， ()()()11e 11e x
x m F x x m x x x ⎛
⎫⎛⎫'=+-+
=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭当时，，则函数在上单调递增，故函数无极值点，不合题意； 0m ≤()0F x '>()F x ()0,∞+当时，令，因为函数，在上单调递增， 0m >()e x
m h x x =-
e x y =m
y x
=-()0,∞+所以函数在上单调递增． ()e x
m
h x x
=-
()0,∞+
取满足，则，， b 10min ,22m b ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
e b <2m b -<-
所以，又， ()e 20b m h b b
=-<-<()e 10m h m =->所以，使得，即， ()0,x b m ∈()000e 0x m h x x =-=()()0
0001e 0x m F x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭'此时．
00e x m x =当时，，当时，，
00x x <<()0F x '<0x x >()0F x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增，
()F x ()00,x ()0,x +∞所以是函数的唯一的极值点，
0x ()F x 所以． ()()()()000000000min e ln e 1ln x x F x F x x m x x x x x ==-+=--因为，所以，
()00F x >()0000e 1ln 0x x x x -->令，则， ()1ln x x x ϕ=--()110x x ϕ=--
<'所以在上单调递减，
()1ln x x x ϕ=--()0,∞+又，所以当时，，
()10ϕ=()00x ϕ>001x <<令，，则， ()()e 1x t x x =-+01x <<()e 1x
t x '=-当时，，则在上单调递增， 01x <<()e 10x
t x '=->()t x ()0,1所以，所以．
()()00t x t >=e 1x x >+令，，则， ()()1ln 22ln 1m x x x x x x =----=--01x <<()1x
m x x
'-=当时，，所以函数在上单调递减，
01x <<()0m x '<()m x ()0,1所以，所以，
()()10m x m >=1ln 22x x x -->-所以， ()()()()03000000000e
1ln 12222x F x x x x x x x x x =-->+-=-+即，所以．
()300022F x x x >-+()30022F x x x >-+【点睛】关键点点睛：本题解题关键是设出隐零点并结合不等式与不等式e 1x x >+1ln 22x x x -->-证明，考查学生逻辑推理能力，是一道难题.。