高中数学点到直线的距离苏教版必修公开课获奖课件

条直线中 x，y 的系数要保持一致．
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2．1.6 点到直线距离
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学习目旳 1.会应用点到直线距离公式求点到直线距离； 2．掌握两条平行直线间距离公式并会应用．
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课前自主学案
点
到
直
课堂互动讲练
线
距
离
知能优化训练
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课前自主学案
温故夯基 1．已知平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两点 间距离P1P2＝_____x_2_－__x_1_2_＋___y2_－__y_1_2_. 2．A(x1，y1)、B(x2，y2)中点为___(x_1_＋2__x_2_，__y1_＋_2．y2)
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【名师点评】 (1)针对这个类型的题目一般有两
种思路：
①利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化
为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距
离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点
时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点
等，以便于运算．
②利用两条平行直线间距离公式
d＝
|C1－C2| A2＋B2
(或求
＋By＋C1＝0与l2： Ax＋By＋C2＝0之间 距离d＝
法) • |A__x_0＋__B_y_0＋ __C_|____ |C1－C2|
_ A2＋B2
• __A_2_＋__B_2______
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思索感悟 1.点到直线距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l 上特殊状况与否还合用？ 提示：仍然适用． ①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式；
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②当 B＝0，A≠0 时， 直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA， d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式； ③当 P 点在直线 l 上时，有 Ax0＋By0＋C＝0，d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|＝0，适合公式．
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思索感悟 2．两平行线间距离可转化为其中一直线上任意一点 到另一条直线距离，而这一点选用有何规定？ 提醒：这一点选用品有任意性，一般选用计算较为 简便特殊点．
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【名师点评】 本题作了两次分类，第一次以l 与否垂直于x轴为原则分类，第二次以A，B与否 在l同侧为原则分类． 变式训练3 两条互相平行直线分别过点A(6,2) 和B(－3，－1)，假如两条平行直线间距离为d， 求： (1)d变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线方程．
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解：(1)如图，当两条平行直线与 AB 垂直时，两平 行 直 线 间 的 距 离 最 大 ， 为 d ＝ AB ＝
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方法感悟
1．求点到直线的距离时，应先将直线的方程化成
一般式，并要注意公式的分子中含有绝对值．
2．点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离为 d＝|x0－a|，
到直线 y＝b 的距离为 d＝|y0－b|.
3．利用两条平行直线间的距离公式
d＝
|C1－C2| A2＋B2
时，一定要先将直线方程转化为一般形式，且两
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变式训练1 已知点A(a,2)到直线3x＋4y－2＝0 距离为5，求a值． 解：d＝|3×a＋324＋×422－2|＝|6＋53a|＝5. ∴6＋3a＝±25. ∴a＝139或 a＝－331.
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两条平行线间距离 平行线间距离公式是把平行线间距离转化为一条直 线上点到另一条直线距离得到；此公式应用要注意 l1，l2方程一般形式中x，y系数与否相等，当两个方 程中x，y系数不相等时，要先化为相等，再运用此 公式．
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例2 求两平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－ 9＝0间距离 【思路点拨】 法一： 取点 ―→ 把点代入距离公式 ―→ 计算 法二： 统一系数 ―→ 用两平行线间的距离公式 ―→ 计算
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【解】 法一：在直线 l1：3x＋4y－5＝0 上任取一点， 不妨取点 P(3，－1)， 则点 P(3，－1)到直线 l2：6x＋8y－9＝0 的距离即为两 平行直线间的距离． 因此，d＝|3×6－628＋×812－9|＝110. 法二：把 l2：6x＋8y－9＝0 化为 3x＋4y－29＝0， 由两平行直线间的距离公式，得 d＝|－53－2＋－4292|＝110.
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【解】 (1)d＝|5×502－＋12－×102－2 9|＝193.
(2)d＝|2×－212＋＋122－10|＝2 5.
(3)将直线方程化为 x－y＝0，d＝ |21－2＋－－31|2＝522.
(4)将直线方程化为 3x－y－ 3＝0，d＝
|
3×－1－2－ 32＋－12
3|＝
3＋1.
【名师点评】 应先把直线方程化为一般形式再求 解，公式不要用错．
6＋32＋2＋12＝3 10，当两条平行线各自绕点 B，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于 0，所以 0<d≤3 10，即所求的 d 的变化范围是 (0,3 10]．
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(2)当 d 取最大值 3 10时，两条平行线都垂直于 AB，所以 k＝－k1AB＝－2－1－1＝－3，
6－－3 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
例3 (本题满分14分)两点A(1,0)，B(3,2)到直线l距 离均等于1，求直线l方程．
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【思绪点拨】 直线l位置应考虑如下三种状况： (1)l∥AB，即点A，点B在l同侧；(2)l过AB中点，即 点A，点B在l异侧；(3)l⊥x轴． 【规范解答】 (1)当 l 不垂直于 x 轴时， ①若 l∥AB，即 A，B 在 l 同侧，过 A，B 的直线方程 为 y＝ 3(x－1)，即 3x－y－ 3＝0.2 分 设 l： 3x－y＋c＝0，d＝|c＋2 3|＝1，∴c＝－ 3±2， ∴l： 3x－y－ 3＋2＝0 或 3x－y－ 3－2＝0.5 分
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②l 过线段 AB 的中点，即 A，B 在 l 异侧，线段 AB 的中点坐标为(2， 3).7 分 设 l：y－ 3＝k(x－2)，即 kx－y＋ 3－2k＝0， d＝|k＋k23＋－12k|＝1，求得 k＝ 33，∴l：x－ 3y＋1 ＝0.10 分 (2)当 l⊥x 轴时，显然 x＝2 成立． 综上，满足条件的直线 l 的方程为 3x－y－ 3＋2 ＝0 或 3x－y－ 3－2＝0 或 x－ 3y＋1＝0 或 x＝ 2.14 分
.
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(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可运用数形 结合来处理． ①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2， 则d＝|x2－x1|； ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2y＝y2， 则d＝|y2－y1|.
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变式训练2 求与直线2x－y－1＝0平行，且与直 线2x－y－1＝0距离为2直线方程． 解：法一：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y ＋C＝0(C≠－1)，则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2， ∴|C＋1|＝2 5，C＝±2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y －2 5－1＝0.
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知新益能
点到直线距离与两条平行线间距离
• 点到直线距离 • 两条平行直线间距离
定义
•
点到直线垂线段 长度
• 夹在两条平行直线间 公_垂__线__段______长
图示
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• 点到直线距离 • 两条平行直线间距离
• 点P(x0，y0)到直 • 两条平行直线l1：Ax
公式 线l：Ax＋By＋C ＝0距离d＝
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课堂互动讲练
考点突破 点到直线距离 求点到直线距离，要注意公式条件，要先将直线 方程化为一般式，对于特殊直线可采用数形结合 思想措施求解．
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例1 求下列点到直线的距离． (1)A(0,0)，l：5x－12y－9＝0； (2)A(－1,2)，l：2x＋y－10＝0； (3)A(2，－3)，l：x＝y； (4)A(－1,2)，l：y＝ 3x－ 3. 【思路点拨】 直接应用公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| 求值．
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法二：设所求直线上任意一点 P(x，y)， 则 P 到 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |22x2－＋y－－11|2＝ |2x－y5－1|＝2， ∴2x－y－1＝±2 5， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x －y－2 5－1＝0.
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距离公式综合应用 距离公式与数形结合、运动变化思想和措施结合 使用，可以起到事半功倍效果．