高考冲刺导数的单调性、极值点、极值、最值

微专题函数的单调性、极值点、极值、最值
【考情分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重要内容之一，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中.重点考查分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想，对学生的分析问题的能力要求较高，考查考生的逻辑推理、数学抽象的学科核心素养.
考点一 利用导数研究函数的单调性 【必备知识】
1、函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间),(b a 内 (1)如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在),(b a 单调递增； (2)如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在),(b a 单调递减； (3)如果0)('=x f ，那么函数)(x f y =在),(b a 上是常数函数. 2、由导数求单调区间的步骤 (1)求定义域.(2)求导数.
(3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间. 3、两个条件
(1)0)('>x f 是函数)(x f 为增函数的充分不必要条件. (2)0)('≤x f 是函数)(x f 为减函数的必要不充分条件. 4、三点注意
(1)在函数定义域内讨论导数的符号.
(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”. (3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间. 【典型例题】
【例1】已知函数11)1ln()(2--+-=x ax x x f ,当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性.
【解析】函数1
1
)1ln()(2--+-=x ax x x f 的定义域为),1(+∞∈x ，
则22
2
')1()
1
2()1()1()1(211)(---
=----+-=
x a a x x x ax x ax x x f ，令0)('=x f 解得a
a x 12-=，
当11
2=-a
a 即a=1时，0)1()(2
'>-=x x x f 恒成立，则)(x f 的单调递增区间为),1(+∞， 当112>-a a 即a>1时，)(x f 的单调递增区间为),12(+∞-a a ，单调递减区间为)1
2,0(a a -， 当
11
2<-a
a 即0<a<1时，)(x f 的单调递增区间为),1(+∞， 综上所述：当10≤<a 时，)(x f 的单调递增区间为),1(+∞；当a>1时，)(x f 的单调递增区间为
),12(
+∞-a a ，单调递减区间为)1
2,0(a
a -。

【方法归纳 提炼素养】——数学思想是分类讨论思想，核心素养是数学运算.
利用导数讨论(证明)函数)(x f 在),(b a 内单调性的步骤 (1)求)('x f .
(2)确认)('x f 在),(b a 内的符号.
(3)得出结论:0)('>x f 时为增函数,0)('<x f 时为减函数.
注:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类的标准（i ）按导函数是否有零点分大类；（ii ）在大类中再按导函数零点的大小比较分小类；（iii ）在小类中再按零点是否在定义域中分类.
【类比训练1】已知函数]1,0[,)1ln()1()(∈+-++-=x b ax x a e x x f x . （1）讨论)(x f 的单调性； 【解析】（1）()()1e 1
x x
f x x a x '⎡⎤=
+-⎣⎦+， 令()()1e x g x x a =+-，[]0,1x ∈，
则()()2e 0x g x x '=+>，则()g x 在[]0,1上单调递增， ∪.若1a ≤，则()()010g x g a ≥=-≥，则()()01
x g x f x x ⋅'=
≥+，则()f x 在[]0,1上单调递增； ∪.若2e a ≥，则()()12e 0g x g a ≤=-≤，则()()01
x g x f x x ⋅'=
≤+，则()f x 在[]0,1上单调递减；
∪.若12e a <<，则()010g a =-<，()12e 0g a =->，又()g x 在[]0,1上单调递增， 结合零点存在性定理知：存在唯一实数()00,1x ∈，使得()()0
001e 0x g x x a =+-=，
当[)00,x x ∈时，()0g x <，则()0f x '<，则()f x 在[)00,x 上单调递减， 当[]0,1x x ∈时，()0g x ≥，则()0f x '≥，则()f x 在[]0,1x 上单调递增.
综上，当1a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增； 当2e a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减；
当12e a <<时，存在唯一实数()00,1x ∈，使得()0
01e x x a +=，
()f x 在[)00,x 上单调递减，在[]0,1x 上单调递增.
【类比训练2】已知函数)(ln )(R m mx x x f ∈-=.
（1）若m=1，求曲线)(x f y =在点)1,1(-P 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 在),1(e 上的单调性. 【解析】（1）若m=1，则x x x f -=ln )(，11
)('-=
x
x f ， 所以011
1
)1('=-=f ，所以切线的斜率为0，所以切线方程为1-=y .
（2）因为x
mx
m x x f -=
-=
11)('，令1)(+-=mx x h ，)(x h 是过点（0,1）的一次函数， ∪当0≤m 时，在),1(e 上0)(>x h ，0)('>x f ，所以函数)(x f 在),1(e 上单调递增. ∪当0>m 时，)(x h 在),1(e 上是减函数，由)(x h 的图像可知， （i ）当
e m ≥1，
即e
m 1
0≤<时，0)(,0)(),,1('>>∈x f x h e x ，所以函数)(x f 在),1(e 上单调递增； （ii ）第e m <<
11，
即11<<m e 时，在)1,1(m 上0)(>x h ，函数)(x f 在)1,1(m 上单调递增，在),1
(e m
上0)(<x h ，)(x f 在),1
(e m
上单调递减； （iii ）第11
0≤<
m
，即1≥m 时，0)(,0)(),,1('<<∈x f x h e x ，函数)(x f 在),1(e 上单调递减 考点二 利用导数求函数的极值（点） 【必备知识】 1、函数的极值与导数
若函数)(x f y =在点a x =处的函数值)(a f 比它在a x =附近的其他值都小，0)(='a f ，并且在a x =的左侧0)('<x f ，在a x =的右侧0)('>x f ，那么点a x =叫做函数)(x f y =的极小值点，)(a f 叫做函数的极小值.
若函数)(x f y =在点b x =处的函数值)(b f 比它在b x =附近的其他值都大，0)(='b f ，并
且在b x =的左侧0)('>x f ，在b x =的右侧0)('<x f ，那么点b x =叫做函数)(x f y =的极大值点，)(b f 叫做函数的极小值.
注：极值点一点是方程0)(='x f 的根；但方程0)(='x f 的根不一定是函数的极值点。

2、求函数)(x f 的极值的方法步骤 （1）求函数的定义域；
（2）求导函数)(x f '，并分解因式 （3）解方程0)('=x f 的根；
（4）列表判断在各极值点左、右两侧导函数)(x f '的符号及函数)(x f 的单调性； （5）下结论，写出极值（点）. 【典型例题】
【例2】已知x x g e x f x ln )(,)(==
（1）令)()()(x g x f x h -=，求证：)(x h 有唯一的极值点；
（2）若点A 为函数)(x f 上的任意一点，点B 为函数)(x g 上的任意一点，求A,B 两点之间距离的最小值． 【解析】（1）证明：由题意知()e ln x h x x =-，所以1()e x h x x
'=-， 由e x y =单调递增，1
y x
=
在(0)+∞，上单调递减， 所以()h x '在(0)+∞，上为单调递增， 又1e 202h ⎛⎫
'=< ⎪⎝⎭，(1)e 10h '=->，
所以存在唯一的0112x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，使得0()0h x '=，
当0(0)x x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()h x 有唯一的极值点．
（2）解：由()e x f x =，则()f x 在点(01)，处的切线为1y x =+， 又()ln g x x =，则()g x 在点(10)，处的切线为1y x =-，
由于()e x f x =与()ln g x x =互为反函数，即函数图象关于y x =对称，如图， 故而A B ，两点间的距离即为(01)，与(10)，之间的距离，所以A B ，两点间的距
．
【方法归纳提炼素养】——数学思想是函数与方程思想，核心素养是逻辑推理.利用导数研究函数极值的一般流程
【类比训练1】
(1)若函数在和处取得极值,求的值;
(2)在(1)的条件下,当时,恒成立,求的取值范围.
【解析】(1)∵,∴,
又函数在和处取得极值,
∴和是方程的两根,
∴,解得,经检验得符合题意,
∴
(2)由(1),
∴当或时,,单调递增,
当时,,单调递减,
,∴
∵当时,恒成立,
∴,解得
∴ 实数的取值范围为.
【类比训练2】 若函数4)2(33)(23-+++=x a ax x x f 有极值,则a 的取值范围是 . 【解析】由题意得)2(363)(2'+++=a ax x x f ，
若函数有极值,则一元二次方程0)2(3632=+++a ax x 有两个不同的实数根, 即0)2(334)6(2>+⨯⨯-=∆a a ，整理可得0)2)(1(36>-+a a ， 据此可得a 的取值范围是12-<>a a 或.
考点三 利用导数求函数的最值 【必备知识】
1、函数的最值与导数
（1）函数的最值存在性原理
如果在区间[]b a ,上函数)(x f 的图象是一条连续不断的曲线，那么函数)(x f 在区间[]b a ,上一定有最大值和最小值。

（1）函数在区间[]b a ,上的最大值和最小值只可能出现在极值点或区间端点处。

2、求函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最值的方法步骤 （1）求导函数)(x f '，并分解因式；
（2）解方程0)(='x f ，求出所有可能的极值点；
（3）求函数)(x f 的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)，比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值. 3、记住两个结论
(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点. (2)若函数在闭区间[a,b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点. 【典型例题】
【例3】已知R a ax x x x f ∈+-=,2ln )(2. (1)若0=a ，求)(x f 在],1[e 上的最小值； (2)求)(x f 的极值点。

【解析】（1）x
x x f 2'
21)(-=，因为],1[e x ∈，所以0)('
<x f 所以)(x f 在],1[e 上是减函数，
所以最小值为2
1)(e e f -=
（2）定义域为),0(+∞，x
ax x x f 1
22)(2'
++-=
令0)('
=x f 得2
2
,222221++=+-=a a x a a x
因为0,021><x x ，所以当),0(2x x ∈时，0)('>x f ，当),(2+∞∈x x 时0)('
<x f 所以)(x f 在),0(2x 单调递增，在),(2+∞x 单调递减， 所以2x 为极大值点，无极小值点。

【方法归纳 提炼素养】——数学思想是函数与方程思想，核心素养是数学运算.
解决函数极值、最值问题的策略
(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.
(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论. (3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 【类比训练1】已知函数x
e
ax x f 1
)(-=
. (1)当1=a 时,求函数)(x f 的单调区间; (2)当0<a 时,求函数)(x f 在区间]1,0[上的最小值. 【解析】(1)当1=a 时,x e x x f 1)(-=
,R x ∈,∴x e
x x f 2)('
+-=, 令0)('
>x f ,解得2<x ;令0)('
<x f ,解得2>x ; ∴)(x f 在)2,(-∞递增,在),2(+∞递减. (2)由x e ax x f 1)(-=
得,]1,0[,1)('
∈++-=x e
a ax x f x
, 令0)('
=x f ,∵0<a ,解得11
1<+=a
x , ①01
1≤+
a
时,即01<≤-a 时,0)('≥x f 对]1,0[∈x 恒成立, ∴)(x f 在]1,0[递增,1)0()(min -==f x f ; ②当11
10<+
<a
时,即1-<a 时,)(),(,'x f x f x 在]1,0[上的情况如下:
∴a
e a
f x f 11min )1()(+=+=, 综上,01<≤-a 时,1)(min -=x f ,1-<a 时，a
e
a x f 11min )(+=
.
【类比训练2】函数f(x)=ln x -x 在区间(0,e]上的最大值为 ( )
A.1-e
B.-1
C.-e
D.0
【解析】选B.因为x
x
x x f -=
-=
111)(', 当)1,0(∈x 时,0)('>x f ;当],1(e x ∈时,0)('<x f , 所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e], 所以当x=1时,f(x)取得最大值ln1-1=-1.
做高考真题 提能力素养
【选择题组】
【2017·全国甲卷理科·T11】若x=-2是函数f(x)=(2x +ax -1)1x e -的极值点,则f(x)的极小值为 ( ) A.-1
B.-23e -
C.53e -
D.1
【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1x e -+(2x +ax -1)1x e -=[2x +(a+2)x+a -1]1x e -, 因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x -x -1)1x e -,故f'(x)=(2x +x -2)1x e -,
令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减, 所以f(x)极小值为f(1)=(1-1-1)11e -=-1. 【非选择题组】
1、【2019·北京卷】 设函数f(x)=e x +ae -x (a 为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R 上的增函数,则a 的取值范围是 . 【答案】-1 (-∞,0]
【解析】因为f(x)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以e 0+ae -0=0,解得a=-1. 因为f(x)在R 上为增函数,所以f'(x)=e x -a
e x ≥0在R 上恒成立,即a≤e 2x 在R 上恒成立, 又因为e 2x >0,所以a≤0,即a 的取值范围为(-∞,0].
2、【2018·全国卷Ⅰ】 已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 . 【答案】-3√3
2
【解析】 因为f(x+2π)=2sin(x+2π)+sin(2x+4π)=f(x),所以2π是函数f(x)的一个周期, 不妨取区间[0,2π]进行分析.f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2, 令f'(x)=0,解得cos x=1
2或cos x=-1.
当x 在[0,2π]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x 0,π
3 π3 π
3,π π π,5
3π 5
3π 53
π,2π f'(x) + 0 - 0 - 0 + f(x)
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
可知函数f(x)在[0,2π]上的极小值即为函数f(x)在定义域上的最小值, 所以f(x)min =f (5
3π)=2sin 5
3π+sin 10
3π=-3√3
2
. 3、【2018·江苏卷】 若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 【答案】-3
【解析】由题意得,f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x ∈(0,+∞),f'(x)>0,
则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去. 当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=a
3,则当x ∈0,a
3时,f'(x)<0,当x ∈a 3
,+∞时,f'(x)>0,
因此函数f(x)的单调递减区间是0,a
3,单调递增区间是a 3
,+∞,
在x=a
3处f(x)取得极小值f (a
3)=-a 3
27+1.
而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以f (a
3)=-a 3
27+1=0,解得a=3, 因此f(x)=2x 3-3x 2+1,则f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,结合x ∈[-1,1],得x=0或x=1.
而当x ∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x ∈(0,1)时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数, 所以f(x)max =f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min =-4, 故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.
4、【2019·全国卷∪】已知函数f (x )=2x 3-ax 2+b. (1)讨论f (x )的单调性.
(2)是否存在a ,b ,使得f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a ,b 的所有值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)f'(x )=6x 2-2ax=2x (3x -a ). 令f'(x )=0,得x=0或x=a
3.
若a>0,则当x ∪(-∞,0)∪(a 3,+∞)时,f'(x )>0,当x ∪(0,a
3)时,f'(x )<0, 故f (x )在(-∞,0),(a 3,+∞)单调递增,在(0,a
3)单调递减; 若a=0,f (x )在(-∞,+∞)单调递增;
若a<0,则当x ∪(-∞,a 3)∪(0,+∞)时,f'(x )>0,当x ∪(a
3,0)时,f'(x )<0, 故f (x )在(-∞,a 3),(0,+∞)单调递增,在(a
3,0)单调递减. (2)满足题设条件的a ,b 存在.
(i)当a ≤0时,由(1)知,f (x )在[0,1]单调递增,所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)=b ,最大值为f (1)=2-a+b.
此时a ,b 满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.
(ii)当a ≥3时,由(1)知,f (x )在[0,1]单调递减,所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)=b ,最小值为f (1)=2-a+b.
此时a ,b 满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.
(iii)当0<a<3时,由(1)知,f (x )在区间[0,1]的最小值为f (a
3)=-a 3
27+b ,最大值为b 或2-a+b. 若-a 3
27+b=-1,b=1,则a=3√23
,与0<a<3矛盾.
若-a 327+b=-1,2-a+b=1,则a=3√3或a=-3√3或a=0,与0<a<3矛盾.
综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f (x )在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1. 5、【2019·江苏卷】设函数f(x)=(x -a)(x -b)(x -c),a,b,c∪R,f'(x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c,f(4)=8,求a 的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值; (3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤4
27. 【解析】(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x -a)(x -b)(x -c)=(x -a)3.
因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.
(2)因为b=c,所以f(x)=(x -a)(x -b)2=x 3-(a+2b)x 2+b(2a+b)x -ab 2, 从而f'(x)=3(x -b)x -2a+b 3
.令f'(x)=0,得x=b 或x=
2a+b 3
.
因为a,b,2a+b 3
都在集合{-3,1,3}中,且a≠b,
所以
2a+b
3=1,a=3,b=-3.
此时,f(x)=(x -3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x -1). 令f'(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x)
∪
极大值
∪
极小值
∪
所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)×(1+3)2=-32.
(3)证明:因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x -b)(x -1)=x 3-(b+1)x 2+bx, f'(x)=3x 2-2(b+1)x+b.
因为0<b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b -1)2+3>0, 则f'(x)有2个不同的零点,设为x 1,x 2(x 1<x 2). 由f'(x)=0,得x 1=b+1−√b 2-b+1
3
,x 2=
b+1+√b 2-b+1
3
.
列表如下:
x (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x)
∪
极大值
∪
极小值
∪
所以f(x)的极大值M=f(x 1). 解法一:
M=f(x 1)=x 13-(b+1)x 12
+bx 1
=[3x 12
-2(b+1)x 1+b](x 13-b+19)-2(b 2-b+1)9x 1+b(b+1)9
=
-2(b 2-b+1)(b+1)27
+
b(b+1)
9
+2
27(√b 2-b+1)3
=
b(b+1)27
-
2(b−1)2(b+1)27
+227
(√b(b −1)+1)3≤b(b+1)27
+227≤427
.因此M≤4
27
.
解法二:
因为0<b≤1,所以x 1∪(0,1).
当x∪(0,1)时,f(x)=x(x -b)(x -1)≤x(x -1)2. 令g(x)=x(x -1)2,x∪(0,1),则g'(x)=3(x −1
3)(x -1). 令g'(x)=0,得x=1
3.列表如下:
x (0,13) 13 (13,1) g'(x) + 0 - g(x)
∪
极大值
∪
所以当x=1
3时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max =g (1
3)=4
27. 所以当x∪(0,1)时,f(x)≤g(x)≤4
27.因此M≤4
27.
6、【2018·北京卷】设函数f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x . (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a 的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x ,
所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e x +[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x =[ax 2-(2a+1)x+2]e x , f'(1)=(1-a)e.
由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1, 此时f(1)=3e≠0, 所以a 的值为1.
(2)由(1)得f'(x)=[ax 2-(2a+1)x+2]e x =(ax-1)(x-2)e x .
若a>1
2,则当)2,1(a
x 时,f'(x)<0;
当x ∈(2,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在x=2处取得极小值.
若a≤1
2,则当x ∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤1
2x-1<0, 所以f'(x)>0,
所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是),2
1
( .。